초콤팩트 기수 문서 원본 보기

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[[집합론]]에서 '''초콤팩트 기수'''(超compact基數, {{llang|en|supercompact cardinal}})는 [[가측 기수]]보다 더 강한 폐포 성질을 갖춘 [[큰 기수]]이다. 초콤팩트 기수는 반사 성질을 보인다. 즉, 초콤팩트 기수 이상에서 일어나는 현상은 반드시 초콤팩트 기수 미만에서도 일어난다.

== 정의 ==
[[순서수]] <math>\alpha</math> 및 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>에 대하여, 다음 성질들을 만족시키는 [[추이적 모형]] <math>M</math>이 존재한다면 <math>\kappa</math>를 <math>\alpha</math>-'''초콤팩트 기수'''라고 한다.
* [[기본 매장]] <math>j\colon M\to V</math>가 존재한다. 여기서 <math>V</math>는 [[폰 노이만 전체]]이다.
* <math>j</math>의 임계점은 <math>\kappa</math>이다.
* <math>j(\kappa)>\alpha.</math>
* 임의의 함수 <math>f\colon\alpha\to M</math>에 대하여, <math>f\in M</math>이다.
'''초콤팩트 기수'''는 모든 순서수 <math>\alpha</math>에 대하여 <math>\alpha</math>-콤팩트한 기수이다.

== 성질 ==
초콤팩트 기수는 [[큰 기수]]이다. 즉, 이러한 기수의 존재는 [[선택 공리]]를 추가한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]으로 증명할 수 없다.

모든 초콤팩트 기수는 [[강콤팩트 기수]]이다.

초콤팩트 기수는 반사 성질({{llang|en|reflection property}})을 보인다. 즉, 임의의 초콤팩트 기수 <math>\kappa</math> 및 대부분의 기수 성질에 대하여, 이 성질을 만족시키는 <math>\kappa</math> 이상의 기수가 존재한다면, 이 성질을 만족시키는 <math>\kappa</math> 미만의 기수 역시 존재한다. 예를 들어, 만약 [[일반화 연속체 가설]]이 <math>\kappa</math> 미만에서 성립한다면, 이는 모든 기수에 대하여 성립한다.

만약 적어도 하나의 초콤팩트 기수가 존재한다면, <math>L(\mathbb R)</math>에 국한된 [[결정 공리]] <math>\mathsf{AD}^{L(\mathbb R)}</math>가 성립한다.<ref>{{저널 인용|제목=Supercompact cardinals, sets of reals, and weakly homogeneous trees|이름=W. Hugh|성=Woodin|저자링크=윌리엄 휴 우딘|jstor=32425|pmc=282022|doi=10.1073/pnas.85.18.6587 |저널=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|날짜=1988-09|권=85|호=18|쪽=6587–6591|언어=en}}</ref> 하나의 초콤팩트 기수의 존재 대신, 무한히 많은 [[우딘 기수]]의 존재를 가정하여도 같은 결과가 성립한다.<ref>{{저널 인용|제목=Projective determinacy|이름=Donald A.|성=Martin|이름2=John R.|성2=Steel|pmc=282021|저널=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|날짜=1988-09|권=85|호=18|쪽=6582–6586|doi=10.1073/pnas.85.18.6582 |jstor=32424|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=A Proof of Projective Determinacy|이름=Donald A.|성=Martin|공저자=John R. Steel|저널=Journal of the American Mathematical Society|권=2|호=1|날짜=1989-01|쪽=71–125|jstor=1990913|doi=10.1090/S0894-0347-1989-0955605-X |언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[강콤팩트 기수]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | last=Kanamori | first=Akihiro | 저자링크=가나모리 아키히로 | 날짜=2003 | 출판사=Springer-Verlag | 제목=The higher infinite: large cardinals in set theory from their beginnings | 판=2판 | isbn=978-3-540-88866-6 | zbl = 1022.03033 | 총서 = Springer Monographs in Mathematics | issn = 1439-7382 | doi = 10.1007/978-3-540-88867-3 | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://cantorsattic.info/Supercompact|제목=Supercompact cardinal|웹사이트=Cantor’s Attic|언어=en|확인날짜=2015-01-06|보존url=https://web.archive.org/web/20141225200751/http://cantorsattic.info/Supercompact|보존날짜=2014-12-25|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/supercompact+cardinal|제목=Supercompact cardinal|웹사이트=nLab|언어=en}}

{{집합론}}

{{전거 통제}}

[[분류:큰 기수]]