초자연 변환 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[범주론]]에서 '''초자연 변환'''(超自然變換, {{llang|en|extranatural transformation}})은 [[자연 변환]]의 개념의 일반화이다.<ref name="MacLane">{{서적 인용 |last=Mac Lane |first=Saunders |저자링크=손더스 매클레인|제목=Categories for the working mathematician |publisher=Springer |날짜=1998 |판=2판 |series=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권= 5 |isbn=978-1-4419-3123-8 | zbl=0906.18001 | mr=1712872 |doi=10.1007/978-1-4757-4721-8|언어=en }}</ref>{{rp|§Ⅸ.4}}<ref name="Loregian"/> [[자연 변환]]과 달리, 초자연 변환은 정의역이 서로 다른 두 [[함자 (수학)|함자]] 사이에도 정의될 수 있다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.

* 범주 <math>\mathcal A</math>, <math>\mathcal B</math>, <math>\mathcal C</math>, <math>\mathcal D</math>
* 두 함자
*:<math>F\colon \mathcal A\times\mathcal B^{\operatorname{op}}\times\mathcal B \to \mathcal D</math>
*:<math>G\colon \mathcal A\times\mathcal C^{\operatorname{op}}\times\mathcal C \to \mathcal D</math>
그렇다면, <math>\mathcal A</math>에 대하여 자연적이며, <math>\mathcal B</math>와 <math>\mathcal C</math>에 대하여 초자연적인 '''초자연 변환''' <math>\eta\colon F\xrightarrow{..} G</math>은 다음과 같은 데이터로 주어진다.<ref name="MacLane"/>{{rp|219, §§Ⅸ.4}}<ref name="Loregian">{{저널 인용|arxiv=1501.02503 | bibcode=2015arXiv150102503L | 제목=This is the (co)end, my only (co)friend | 이름=Fosco | 성=Loregian | 날짜=2015 | 언어=en}}</ref>{{rp|Definition 1.5}}
* 각 <math>A\in\mathcal A</math>, <math>B\in\mathcal B</math>, <math>C\in\mathcal C</math>에 대하여, 사상 <math>\eta_{A,B,C}\colon F(A,B,B) \to G(A,C,C)</math>
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* (<math>\mathcal A</math>에서의 자연성) 각 <math>(B,C)\in\mathcal B\times\mathcal C</math>에 대하여, <math>\eta_{-,B,C} \colon F(-,B,B)\Rightarrow F(-,C,C)</math>는 [[자연 변환]]이다. 즉, 임의의 사상 <math>f\in\hom_{\mathcal A}(A,A')</math>에 대하여 다음 그림이 가환 그림이다.
*:<math>\begin{matrix}
F(A,B,B) & \to & G(A,C,C) \\
\downarrow && \downarrow \\
F(A',B,B) & \to & G(A',C,C)
\end{matrix}</math>
* (<math>\mathcal B</math>에서의 초자연성) 각 <math>(A,C)\in\mathcal A\times\mathcal C</math> 및 <math>g\in\hom_{\mathcal B}(B,B')</math>에 대하여, 다음 그림이 가환 그림이다.
*:<math>\begin{matrix}
F(A,B',B) & \to & F(A,B,B) \\
\downarrow && \downarrow \\
F(A,B',B') & \to & G(A,C,C)
\end{matrix}</math>
* (<math>\mathcal C</math>에서의 초자연성) 각 <math>(A,B)\in\mathcal A\times\mathcal B</math> 및 <math>h\in\hom_{\mathcal C}(C,C')</math>에 대하여, 다음 그림이 가환 그림이다.
*:<math>\begin{matrix}
F(A,B,B) & \to & G(A,C,C) \\
\downarrow && \downarrow \\
G(A,C',C') & \to & G(A,C,C')
\end{matrix}</math>

== 연산 ==
임의의 초자연 변환은 임의로 합성될 수 없으나, 합성이 가능한 경우는 '''끈 그림'''({{llang|en|string diagram}})이라는 위상수학적 모형으로 계산될 수 있다.

구체적으로, <math>\mathcal A\times\mathcal B^{\operatorname{op}}\times\mathcal B\to \mathcal D</math>에서 <math>\mathcal A\times\mathcal C^{\operatorname{op}}\times\mathcal C\to \mathcal D</math>로 가는 초자연 변환은 다음과 같은 꼴의 '''끈 그림'''({{llang|en|string diagram}})으로 나타낼 수 있다.<ref name="Loregian"/>{{rp|§1}}

<pre lang="en" style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;">
A B B
│ ╰─╯
│ ╭─╮
A C C
</pre>

두 초자연 변환의 합성은 위와 같은 끈 그림의 합성으로 나타내어지는데, 이 경우 합성된 끈 그림이 순환을 갖지 않아야 한다. 예를 들어

<pre lang="en" style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;">
    A
╭─╮ │
A A A
│ ╰─╯
│ ╭─╮
A C C
</pre>
는 가능하며, 초자연 변환
<pre lang="en" style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;">
A
│
│ ╭─╮
A C C
</pre>
을 정의한다. 반면, 예를 들어
<pre lang="en" style="line-height: 1.0; font-family: consolas,lucida console,courier new,courier,monospace;">
A
│ ╭─╮
A B B
│ ╰─╯
A
</pre>
와 같은 합성은 불가능하다.

== 예 ==
[[닫힌 모노이드 범주]] <math>(\mathcal C,\otimes)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[지수 대상]]의 텐서곱 함자
:<math>(\hom\otimes\operatorname{id}) \colon \mathcal C^{\operatorname{op}}\times\mathcal C\otimes\mathcal C\to \mathcal C</math>
:<math>(\hom,\operatorname{id})\colon (x,y,z) \mapsto x^y\otimes z</math>
및 [[항등 함자]]
:<math>\operatorname{id}_{\mathcal C} \colon \mathcal C\to\mathcal C</math>
가 존재한다. 이 사이에는 다음과 같은 초자연 변환이 존재한다.
:<math>\operatorname{eval} \colon (\hom\otimes\operatorname{id}) \xrightarrow{..}\operatorname{id}</math>
:<math>\operatorname{eval}_{X,Y} \colon X^Y\otimes Y\to X</math>
이는 <math>X</math>에 대하여 자연적이며, <math>Y</math>에 대하여 초자연적인 초자연 변환이다.<ref name="MacLane"/>{{rp|220, §Ⅸ.4}}

예를 들어, 만약 <math>(\mathcal C,\otimes)</math>가 [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 유한 차원 [[벡터 공간]]의 범주 <math>\operatorname{fgMod}_K</math>이며, <math>X = K</math>일 때, 이는 벡터 공간과 그 [[쌍대 공간]] 사이의 [[내적]]
:<math>\langle-,-\rangle \colon V^* \otimes_K V \to K</math>
에 해당한다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=extranatural transformation|title=Extranatural transformation}}
* {{nlab|id=dinatural transformation|title=Dinatural transformation}}
* {{웹 인용 | url=http://xwww.uni-math.gwdg.de/upmeier/notes/ends_and_coends.pdf | 성=Upmeier | 이름=Markus | 제목=Dinatural transformations | date=2012-09-07 | 언어=en | 확인날짜=2017-08-18 | 보존url=https://web.archive.org/web/20170818045149/http://xwww.uni-math.gwdg.de/upmeier/notes/ends_and_coends.pdf | 보존날짜=2017-08-18 | url-status=dead }}
* {{웹 인용|url=https://math.stackexchange.com/questions/1186621/intuition-for-dinatural-and-extranatural-transformations | 제목=Intuition for dinatural and extranatural transformations | 웹사이트= Math Overflow | 언어=en}}

[[분류:범주론]]