초입자 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[이론물리학]]에서 '''초입자'''(超粒子, {{llang|en|superparticle}})는 [[초공간]] 속을 움직이는 입자이다.<ref>{{저널 인용|제목=Quantum superspace | 이름=Lars | 성=Brink | 이름2=John H. | 성2=Schwarz | 저널=Physics Letters B | 권=100 | 호=4 | 날짜=1981 | doi=10.1016/0370-2693(81)90093-9 | 언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Classical superstring mechanics | 이름=Warren | 성=Siegel | 저널=Nuclear Physics B | 권=263 | 쪽=93–104 | 호=1 | 날짜=1985-01-13 | doi=10.1016/0550-3213(86)90029-5 | bibcode=1986NuPhB.263...93S | 언어=en}}</ref>{{rp|§3}} [[초장 (물리학)|초장]]의 한 양자를 나타내며, 그 [[힐베르트 공간]]은 그 [[초다중항]]에 속하는 입자들의 (1입자) 힐베르트 공간들의 [[직합]]이다.

== 정의 ==
=== 입자 ===
우선, 무질량 비초대칭 입자는 다음과 같이 묘사된다. 그 좌표가 <math>x^m \in \mathbb R^D</math>라고 하자. 그렇다면, [[운동 방정식]]은
:<math>\eta^{ab}p_a p^b = 0</math>
이다. 이에 따라서, 세계선 위의 [[라그랑지언]]
:<math>L = \int \mathrm dt\,\dot x^m e_m{}^a(x)p_a - \frac12\lambda \eta^{ab}p_ap_b</math>
을 적을 수 있다. 여기서
* <math>t\in\mathbb R</math>는 [[세계선]]의 임의의 좌표이며, 윗점은 <math>\partial /\partial t</math>를 뜻한다.
* <math>\eta_{ab}</math>는 상수 계량 텐서이다.
* <math>\lambda\colon \mathbb R\to\mathbb R^+</math>는 세계선의 1×1 [[필바인]]이며, 이는 세계선 [[미분 동형 사상]] [[게이지 대칭]]의 [[게이지 장]]이다. 이는 또한 [[운동 방정식]] <math>p^2 = 0</math>의 [[라그랑주 승수]]이다.
* <math>e_m{}^a</math>는 시공간의 [[필바인]]이다. 즉, <math>\eta_{ab}e_m{}^ae_n{}^b = g_{mn}</math>가 시공간의 [[계량 텐서]]이다.
* <math>x^m</math>는 입자의 위치이며, <math>p_a</math>는 입자의 운동량이다. 이들은 독립된 장으로 취급한다.
이제, <math>(\lambda,x,p)</math>에 대한 [[오일러-라그랑주 방정식]]은 각각 다음과 같다.
* <math>\lambda</math>: <math>p^2 = 0</math>
* <math>x</math>: <math> (\partial/\partial t)e_m{}^a p_a  = \dot x^m p_a \partial e_m{}^a / \partial x</math>
* <math>p</math>: <math>\dot x^m e_m{}^a(x) = \lambda \eta^{ab} p_b</math>
특히, <math>\lambda</math>의 값은 운동 방정식으로 결정되지 않으며, 이는 게이지 변환으로 사실 (예를 들어) <math>\lambda = 1</math>로 게이지 고정을 가할 수 있다. 이를 가하고, <math>p</math>의 운동 방정식을 사용하여 <math>p</math>를 <math>x</math>에 대한 표현
:<math>p_a = \eta_{ab} \dot x^m e_m{}^b</math>
로 대체하면, 작용은 다음과 같다.
:<math>L = \int \mathrm dt \,\dot x^m e_m{}^a \eta_{ab} e_n{}^b \dot x^n = \int \mathrm dt g_{mn} \dot x^m \dot x^n</math>

=== 초입자 ===
'''초입자'''는 [[초공간]] 속에서 움직이는 입자이다. 즉, 그 좌표는
:<math>x^M=(x^m, \theta^\mu) \in \mathbb R^{D|D'}</math>
의 꼴이며, 여기서 <math>m</math>은 실제 공간 벡터의 지수, <math>\mu</math>는 어떤 스피너 지수를 뜻한다.

초입자의 운동은 다음과 같은 두 [[운동 방정식]]으로 결정된다.
:<math>\eta^{ab}p_a p_b = 0</math>
:<math>p_a\gamma^a d = 0</math>
여기서 <math>p_A = (p_a, d_\alpha)</math>는 각각 <math>x^m</math>과 <math>\theta</math>에 대한 [[일반화 운동량]]이다. (첫째 식은 일반 입자에도 존재하지만, 둘째 식은 초입자 고유의 것이다.)

이제, 다음과 같은 라그랑지언을 생각하자.
:<math>L = \int \mathrm dt\,\left(
\dot x^M e_M{}^A\,
-\frac12\lambda \eta^{ab}p_ap_b
-\mathrm i\lambda' (p_a\gamma^a) d = 0
\right)</math>
여기서
* <math>t\in\mathbb R</math>는 [[세계선]]의 (임의의) 좌표이다. 이에 대한 미분은 윗점 <math>\partial A/\partial t = \dot A</math>로 표기된다.
* <math>x\colon \mathbb R\to \mathbb R^{D|D'}</math>는 초입자의, 초공간 속의 좌표이다.
* <math>\lambda \colon \mathbb R \to \mathbb R</math>, <math>\lambda' \colon \mathbb R \to \mathbb R^{D'}</math>는 두 [[운동 방정식]]에 대한 [[라그랑주 승수]]이다. <math>\lambda</math>는 스칼라이며, <math>\lambda'</math>은 스피너이다. 이들은 또한 [[게이지 변환]]의 [[게이지 장]]을 이루며, 이에 따라 <math>\lambda = 1</math>, <math>\lambda' = 0</math>인 게이지를 고를 수 있다.
또한, 시공간 초[[필바인]]의 성분은 다음과 같다.
:<math>e_M{}^A(x,\theta) =
\begin{pmatrix}
e_m{}^a(x) & 0 \\
-\mathrm i\gamma^a\theta & \delta^\alpha_\mu
\end{pmatrix}
 </math>

그렇다면, <math>\lambda</math>, <math>\lambda'</math>에 대한 [[오일러-라그랑주 방정식]]은 각각
:<math>p^2 = 0</math>
:<math>p_a\gamma^a d = 0</math>
이 되며, <math>p_A</math>에 대한 [[오일러-라그랑주 방정식]]은
:<math> 
(\dot x^m e_m{}^a(x) - \mathrm i \dot\theta \gamma^a\theta) = \lambda \eta^{ab} p_b + \mathrm i \lambda' \gamma^a d</math>
:<math>\dot\theta^\beta = \mathrm i p_a \lambda'_{\alpha} \gamma^{a\alpha\beta}</math>
이다. 이는 운동량 <math>p_a</math>와 초운동량 <math>d_\alpha</math>를 [[초공간]] 좌표 <math>(x^m, \theta^\mu)</math>로부터 결정한다.

만약 <math>\lambda = 1</math>, <math>\lambda' = 0</math> 게이지를 사용할 경우,
:<math>p_a = \dot x^m e_{ma}</math>
:<math>\dot\theta = 0</math>
가 된다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=superparticle}}
* {{nlab|id=spinning particle}}

[[분류:이론물리학]]
[[분류:초대칭]]