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구각 정리란 구의 내부에 있는 점에서는, 그 점에 미치는 중력은 0이고, 구 외부의 점에서는 구의 질량이 구의 중심에 집중되어 있는 것처럼 작용한다는 정리이다.

[[파일:구각 정리 그림1.png|가운데|섬네일|500x500픽셀]]



먼저 입자가 구 껍질 바깥에 있을 때 ( a > R )


균일한 구 껍질에서

밀도는 다음과 같다.

<math>\delta = {\operatorname{d}\!M\over\operatorname{d}\!A} = \frac{M}{4\pi r^2}</math>



미소 면적은 다음과 같다.

<math>dA = Rd\theta Rsin\theta d\phi = R^2sin\theta d\theta d\phi</math>



코사인 제2 법칙에 의해

<math>a^2 + b^2 - 2abcos\alpha = R^2</math>


양 변에 미소변화량을 취하면

<math>2bdb - 2ad(bcos\alpha ) = 0</math>

<math>d(bcos\alpha) = \frac{bdb}{a}</math>



또, 코사인 법칙에 의해

<math>Rcos\theta + bcos\alpha = a</math>


양 변에 미소변화량을 취하면

<math>Rd(cos\theta) + d(bcos\alpha) = 0</math>



따라서

<math>sin\theta d\theta = -(cos\theta)</math>

<math>= \frac{d(bcos\alpha)}{R} = \frac{bdb}{Ra}</math>



중력

<math>F = - \int \frac{GdMm}{b^2}
  = - \int \frac{G\delta dAm}{b^2}</math>

<math>= - G\delta R^2m\int_{0}^{\pi} \frac{sin\theta d\theta}{b^2}cos\alpha \int_{0}^{2\pi} d \phi</math>

<math>=-G\delta R^2m \int_{a-R}^{a+R} \frac{1}{b^2} \frac{bdb}{Ra} \frac{a^2 + b^2 - R^2}{2ab} \int_{0}^{2\pi} d\phi</math>

<math>= - \frac{G\delta Rm}{2a^2} \int_{a-R}^{a+R} (\frac{(a^2-R^2)}{b^2}db + db) \int_{0}^{2\pi} d\phi</math>

<math>= - \frac{GRm}{2a^2} (\frac{M}{4\pi R^2}) (4R) (2\pi)</math>

<math>= - \frac{GMm}{a^2}</math>



또한 구 껍질 안에 있을 때는


<math>F</math> 계산 식 중간에 적분 범위 (<math>a-R</math> 에서 <math>a+R</math> ) 을 (<math>R-a</math> 에서 <math>R+a</math>)로 바꿔서 계산해야 하므로

<math>F=0</math>

이 된다.