초안:구각정리

틀:초안 문서 구각 정리란 구의 내부에 있는 점에서는, 그 점에 미치는 중력은 0이고, 구 외부의 점에서는 구의 질량이 구의 중심에 집중되어 있는 것처럼 작용한다는 정리이다.

먼저 입자가 구 껍질 바깥에 있을 때 ( a > R )

균일한 구 껍질에서

밀도는 다음과 같다.

$\delta =\frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}A}=\frac{M}{4\pi r^2}$

미소 면적은 다음과 같다.

$dA=Rd\theta Rsin\theta d\varphi =R^{2}sin\theta d\theta d\varphi$

코사인 제2 법칙에 의해

$a^2+b^2-2abcos\alpha =R^2$

양 변에 미소변화량을 취하면

$2bdb-2ad(bcos\alpha )=0$

$d(bcos\alpha )=\frac{bdb}{a}$

또, 코사인 법칙에 의해

$Rcos\theta +bcos\alpha =a$

양 변에 미소변화량을 취하면

$Rd(cos\theta )+d(bcos\alpha )=0$

따라서

$sin\theta d\theta =-(cos\theta )$

$=\frac{d(bcos\alpha )}{R}=\frac{bdb}{Ra}$

중력

$F=-\int \frac{GdMm}{b^2}=-\int \frac{G\delta dAm}{b^2}$

$=-G\delta R^{2}m\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{sin\theta d\theta }{b^2}cos\alpha \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi$

$=-G\delta R^{2}m\underset{a-R}{\overset{a+R}{\int }}\frac{1}{b^2}\frac{bdb}{Ra}\frac{a^2+b^2-R^2}{2ab}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi$

$=-\frac{G\delta Rm}{2a^2}\underset{a-R}{\overset{a+R}{\int }}(\frac{(a^2-R^2)}{b^2}db+db)\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi$

$=-\frac{GRm}{2a^2}(\frac{M}{4\pi R^2})(4R)(2\pi )$

$=-\frac{GMm}{a^2}$

또한 구 껍질 안에 있을 때는

$F$ 계산 식 중간에 적분 범위 ($a-R$ 에서 $a+R$ ) 을 ($R-a$ 에서 $R+a$)로 바꿔서 계산해야 하므로

$F=0$

이 된다.