초거리 공간 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''초거리 공간'''(超距離空間, {{llang|en|ultrametric space}})은 [[삼각 부등식]]보다 더 강한 부등식을 만족시키는 [[거리 공간]]이다.

== 정의 ==
[[집합]] <math>M</math> 위의 '''초거리 함수'''({{llang|en|ultrametric}})는 다음 조건들을 만족시키는 [[함수]]
:<math>d\colon M\times M\to\mathbb R_{\ge0}</math>
이다.
* (대칭성) 모든 <math>x,y\in M</math>에 대하여, <math>d(x,y)=d(y,x)</math>
* 모든 <math>x,y\in M</math>에 대하여, <math>d(x,y)=0\iff x=y</math>
* ('''초거리 부등식''' {{llang|en|ultrametric inequality}}) 모든 <math>x,y\in M</math>에 대하여, <math>d(x,z)\le\max\{d(x,y),d(y,z)\}</math>
'''초거리 공간'''은 초거리 함수를 갖춘 집합이다.

== 성질 ==
[[파일:Strong triangle ineq.svg|섬네일|오른쪽|초거리 공간에서 가능한 삼각형]]
초거리 함수는 [[거리 함수]]이며, 따라서 초거리 공간은 [[거리 공간]]이다.

초거리 공간에서, 모든 [[삼각형]]은 [[이등변 삼각형]]이며, 밑변이 같은 두 변보다 더 길지 않다. 즉, 임의의 <math>x,y,z\in M</math>에 대하여, 다음 세 조건 가운데 항상 하나 이상이 성립한다.
* <math>d(x,y)=d(y,z)</math>
* <math>d(y,z)=d(z,x)</math>
* <math>d(z,x)=d(x,y)</math>

초거리 공간 <math>(M,d)</math>의 [[열린 공]]에 대하여, 다음이 성립한다.
* 열린 공 속의 모든 점은 공의 중심이다. 즉, 만약 <math>d(x,y)<r</math>라면 <math>B(x,r)=B(y,r)</math>이다.
* 서로 교차하는 두 열린 공의 경우, 하나가 다른 하나의 [[부분 집합]]이다. 즉, <math>B(x,r)\cap B(y,s)\ne\varnothing</math>이라면 <math>B(x,r)\subseteq B(y,s)</math>이거나 <math>B(y,s)\subseteq B(x,r)</math>이다.
* 열린 공과 닫힌 공은 모두 [[열린닫힌집합]]이다.

== 예 ==
[[집합]] <math>S</math> 위의 [[이산 거리 공간]]은 초거리 공간이다.

[[p진수]]의 공간은 p진 노름을 부여하면 [[완비 거리 공간|완비]] 초거리 공간을 이룬다.

== 참고 문헌 ==
{{위키공용분류}}
* {{서적 인용
 | last = Kaplansky | first = I.
 | isbn = 0-8218-2694-8
 | publisher = AMS Chelsea Publishing
 | title = Set Theory and Metric Spaces
 | 날짜 = 1977}}
* {{저널 인용|제목=Pictures of ultrametric Spaces, the ''p''-adic numbers, and valued fields|url=https://www.colby.edu/math/faculty/Faculty_files/hollydir/Holly01.pdf|이름=Jan E.|성=Holly|jstor=2695615|doi=10.2307/2695615|저널=The American Mathematical Monthly|권=108|호=8|날짜=2001-10|쪽=721–728|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:계량기하학]]
[[분류:거리 공간]]