체흐 신경 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Constructing nerve.png|thumb|right|원 <math>\mathbb S^1</math>은 세 개의 원소를 갖는 [[열린 덮개]]를 갖는다. 각 [[열린집합]]은 체흐 신경의 꼭짓점(0차 단체)에 대응하며, 두 열린집합의 교집합은 체흐 신경의 변(1차 단체)에 대응한다. 이 예에서 세 개의 열린집합의 교집합(즉, 2차 단체)은 존재하지 않는다.]]
[[범주론]]과 [[대수적 위상수학]]에서 '''체흐 신경'''(Čech神經, {{llang|en|Čech nerve}})은 (충분한 [[올곱]]을 갖는) [[범주 (수학)|범주]]에서, 어떤 사상을 통해 정의되는 [[단체 대상]]이다. 기하학적으로, 이 사상은 대략 어떤 “덮개”로 해석된다. [[체흐 코호몰로지]]를 구성하는 데 사용된다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>
* <math>\mathcal C</math> 속의 [[사상 (수학)|사상]] <math>f\colon U\to X</math>
그렇다면, (만약 모든 [[올곱]]들이 존재한다면) 다음과 같은 [[단체 대상]]
:<math>\operatorname{\check C}(f) \colon \triangle^{\operatorname{op}} \to \mathcal C</math>
을 정의할 수 있다.
* 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여,
*:<math>\operatorname{\check C}(f)_n = U^{\times_X (n+1)} = \overbrace{U\times_XU\times_X\dotsb\times_XU}^{n+1} </math>
* 면 사상은 다음과 같다. (즉, <math>i</math>번째 성분만을 제외한, [[올곱]]의 표준적 사영 사상이다.)
*:<math>\partial_i^n \colon U^{\times_X (n+1)} \to U^{\times_X n} \qquad(0\le i\le n)</math>
*:<math>\partial_i^n = \operatorname{proj}_{0,1,2,\dotsc,\hat\imath,\dotsc,n} = 
\underbrace{\operatorname{id}_U \times_X \dotsb \times_X \operatorname{id}_U}_i \times_X f \times_X \underbrace{\operatorname{id}_U \times_X \dotsb\times_X \operatorname{id}_U}_{n-i}
</math>
* 퇴화 단체 사상은 다음과 같다.
*:<math>s_i^n \colon U^{\times_X (n+1)} \to U^{\times_X(n+2)} \qquad(0\le i\le n)</math>
*:<math>s^n = \underbrace{\operatorname{id}_U \times_X \dotsb \times_X \operatorname{id}_U}_i \times_X \operatorname{diag}_U \times_X \underbrace{\operatorname{id}_U \times_X \dotsb\times_X \operatorname{id}_U}_{n-i}</math>
이를 <Math>U\to X</math>의 '''체흐 신경'''이라고 한다.

== 예 ==
=== 열린 덮개 ===
[[매끄러운 다양체]]와 [[매끄러운 함수]]의 범주 <math>\operatorname{Diff}</math>에서, 매끄러운 다양체 <math>M</math>의 [[열린 덮개]] <math>\mathcal U = \{U_i\}_{i\in I}</math>가 주어졌다고 하자. (대신 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주를 사용할 수도 있다.) 그렇다면,
:<math>\tilde X = \bigsqcup_{i\in I}U_i</math>
를 정의하면, 표준적인 사영 사상
:<math>f\colon\tilde X \to X</math>
이 존재하며, 이에 대한 체흐 신경을 구성할 수 있다. 즉, 이 경우 구체적으로
* 0차 단체는 <math>x\in U_i</math>인 순서쌍 <math>(x,i)</math>이다. 0차 단체의 공간은 <math>\tilde X=\textstyle\bigsqcup_{i\in I}U_i</math>이다.
* 1차 단체는 <math>x\in U_i \cap U_j</math>인 순서쌍 <math>(x,i,j)</math>이다. 2차 단체의 공간은 <math>\textstyle\tilde X\times_X\tilde X = \bigsqcup_{i,j\in I} U_i\cap U_j</math>이다.
** 1차 단체 <math>(x,i,j)</math>의 두 면(끝점)은 <math>\partial_0^1(x,i,j) = (x,j)</math> 및 <Math>\partial_1^1(x,i,j) = (x,i)</math>이다.
** 0차 단체 <math>(x,i)</math>에 대응하는 퇴화 1차 단체는 <math>s_0^0(x,i) = (x,i,i)</math>이다.
* 2차 단체는 <math>x\in U_i \cap U_j\cap U_k</math>인 순서쌍 <math>(x,i,j,k)</math>이다. 2차 단체의 공간은 <math>\textstyle\tilde X\times_X\tilde X\times_X\tilde X = \bigsqcup_{i,j,k\in I} U_i\cap U_j\cap U_k</math>이다.
** 2차 단체 <math>(x,i,j,k)</math>의 세 면(변)은 <math>\partial_0^2(x,i,j,k) = (x,j,k)</math>, <math>\partial_1^2(x,i,j,k) = (x,i,k)</math>, <math>\partial_2^2(x,i,j,k) = (x,i,j)</math>이다.
** 1차 단체 <math>(x,i,j)</math>에 대응하는 퇴화 2차 단체는 <math>s_0^1(x,i,j) = (x,i,i,j)</math>, <math>s_1^1(x,i,j) = (x,i,j,j)</math>이다.

[[체흐 코호몰로지]]는 이 [[단체 대상]]에 대한 [[코호몰로지]] 이론이다.

=== 분류 공간 ===
{{본문|분류 공간}}
[[위상군]] <math>G</math>가 주어졌다고 하자. 이제, [[자명군]]으로 가는 (유일한) [[군 준동형]]
:<math>G\to 1</math>
을 생각하자. 이에 대한 체흐 신경은 다음과 같다.
* 0차 단체는 <math>g\in G</math>이다. 0차 단체의 공간은 <math>G</math>이다.
* 1차 단체는 <math>(g,h)\in G^2</math>이다. 1차 단체의 공간은 <math>G^2</math>이다.
** 0차 단체의 퇴화 단체는 <math>(g,g)</math>의 꼴이다.
** 1차 단체의 면은 <math>\partial_0^1(g,h) = h</math>, <math>\partial_1^1(g,h) = g</math>이다.
* 2차 단체는 <math>(g,h,k)\in G^3</math>이다. 2차 단체의 공간은 <math>G^3</math>이다.

이와 같이, [[단체군]] <math>\mathrm EG</math>를 정의할 수 있다. 이 위에는 다음과 같은 <math>G</math>의 [[오른쪽 군 작용]]이 존재한다.
:<math>g \colon (h_0,h_1,h_2,\dots,h_n) \mapsto  (h_0g,h_1g,h_2g,\dots,h_ng)</math>
이 [[오른쪽 군 작용]]은 [[추이적 작용]]이며, 기하학적 실현을 취하면 이는 <math>G</math>-[[주다발]]
:<math>G\hookrightarrow\mathrm EG \twoheadrightarrow \mathrm BG = \frac{\mathrm EG}G</math>
을 이룬다. 이는 위상군 <math>G</math>의 [[분류 공간]]이며, 만약 <math>G</math>가 이산군이라면 [[에일렌베르크-매클레인 공간]] <math>\operatorname K(G,1)</math>을 이룬다.

== 역사 ==
이러한 “단체”는 위상 공간의 범주에서 [[에두아르트 체흐]]가 도입하였다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|last=Artin|first=Michael|title=Etale homotopy|year=1969|publisher=Springer|author2=Mazur, Barry}}
* {{nlab|id=nerve+theorem|title=Nerve theorem}}
* [[사무엘 에일렌베르크|Samuel Eilenberg]] and Norman Steenrod: ''Foundations of Algebraic Topology'', Princeton University Press, 1952, p.&nbsp;234.

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Čech nerve}}
* {{nlab|id=Čech methods}}
* {{nlab|id=Čech cohomology}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:범주론]]