천 특성류 문서 원본 보기

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[[대수적 위상수학]]과 [[미분기하학]]에서 '''천 특성류'''([陳]特性類, {{llang|en|Chern class}})는 복소 [[벡터 다발]]에 대한 [[특성류]]이다. [[매끄러운 다양체]] 위의 한 [[벡터 다발]]에 대한 위상적 불변량이다. 두 벡터 다발이 사실 같은 다발인지 판별하는 데 유용하다.

천 특성류와 천 지표는 [[아티야-싱어 지표 정리]] 및 [[그로텐디크-리만-로흐 정리]] 등에서 쓰인다.

== 정의 ==
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 복소 [[벡터 다발]] <math>E</math>를 생각하자. 벡터 다발에 임의의 [[코쥘 접속]] <math>A\in C^\infty\big(T^*M\otimes\operatorname{End}(E)\big)</math>와 그 [[곡률]]
:<math>R_A=dA+[A\wedge A]\in C^\infty\big(\bigwedge{}^2T^*M\otimes\operatorname{End}(M)\big)</math>
를 정하자. 그렇다면 다음 다항식을 정의할 수 있다.
:<math>C(t;A)=\det(1+itR_A/2\pi)</math>.
여기서 <math>t</math>는 형식적인 변수다. (<math>R_A</math>는 2-형식이고, 짝수 차원의 미분형식은 가환하므로 행렬식을 정의할 수 있다.) <math>C</math>는 닫혀 있음을 보일 수 있다. 따라서 [[동치류]]
:<math>c(t,A)=[C(t;A)]\in\bigoplus_kH^{2k}(M;\mathbb C)[t]</math>
를 정의할 수 있다. 이는 [[코쥘 접속]] <math>A</math>에 관계없음을 보일 수 있다. 즉
:<math>c(t,A)=c(t)</math>
이다. 천 특성류의 원소 <math>c_k\in H^{2k}(M,\mathbb C)</math>는 <math>c(t)</math>의 [[테일러 급수]]
:<math>c(t)=\sum_kc_kt^k</math>
의 계수다.

실수 벡터 다발에 대해서도 유사한 특성류를 정의할 수 있는데, 이를 [[폰트랴긴 특성류]]라고 한다. 또한, [[슈티펠-휘트니 특성류]]도 실수 벡터 다발에 대한 천 특성류에 대응하는 객체로 생각할 수 있다.

=== 대수적 천 특성류 ===
천 특성류는 [[대수기하학]]에서도 등장한다. 이 경우 천 특성류는 [[비특이 대수다양체]]에 대하여 정의되며, [[특이 코호몰로지]] 대신 이보다 더 많은 정보를 담고 있는 [[저우 환]] 속의 원소가 된다. 구체적으로, 비특이 [[준사영 대수다양체]] <math>X</math> 위에, <math>r</math>차원 국소 자유 [[가군층]] <math>\mathcal E</math>가 주어졌을 때, <math>\mathcal E</math>의 '''(대수적) 천 특성류'''<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=Algebraic geometry|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|429}}
:<math>c^\bullet(\mathcal E)\in A^\bullet(X)</math>
는 (정수 계수) [[저우 환]] <math>A^\bullet(X)</math>의 원소이다. 마찬가지로, '''(대수적) [[천 지표]]'''<ref name="Hartshorne"/>{{rp|431}}
:<math>\operatorname{ch}(\mathcal E)\in A^\bullet(X)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C</math>
를 유리수 계수 저우 환 속에 정의할 수 있다.

== 성질 ==
복소수 <math>n</math>차원 복소다양체 <math>M</math>의 [[접다발]] <math>TM</math>의 천 특성류 <math>c_k(TM)</math>는 <math>TM</math>이 <math>(n-k+1)</math>개의, 모든 곳에서 [[선형 독립]]인 [[단면 (올다발)|단면]]을 갖는 것에 대한 방해 조건({{llang|en|obstruction}})이다. 즉, <math>c_k(TM)=0</math>이어야지만 이만큼의 선형 독립 벡터장들이 존재할 수 있다.<ref>{{서적 인용|이름=Jean-Paul|성=Brasselet|이름2=José|성2=Seade|이름3=Tatsuo|성3=Suwa|제목=Vector fields on singular varieties|총서=Lecture Notes in Mathematics|권=1987|날짜=2009|isbn=978-3-642-05204-0|doi=10.1007/978-3-642-05205-7|출판사=Springer|issn=0075-8434|언어=en}}</ref>{{rp|8, Remark 1.3.1}} 특히, <math>c_n(TM)</math>은 모든 곳에서 0이 아닌 벡터장이 존재할 방해 조건이며, <math>c_1(TM)</math>은 모든 곳에서 0이 아닌 (복소수) [[필바인]]이 존재할 방해 조건이다.

복소수 <math>n</math>차원 복소다양체 <math>M</math>의 최고차 천 특성류 <math>c_n(TM)</math>는 그 [[오일러 특성류]] <math>e(TM)</math>과 같다.

== 예 ==
자명한 복소수 벡터 다발의 천 특성류는 항상 0이다. 벡터 다발의 쌍대다발의 천 특성류는 원래 벡터 다발의 천 특성류의 &minus;1배이다.
:<math>c(E^*)=-c(E)</math>

=== 리만 곡면 ===
콤팩트 [[리만 곡면]] <math>\Sigma</math> 위의, [[인자 (대수기하학)|인자]] <math>D</math>에 대응하는 [[선다발]] <math>\mathcal L(D)</math>의 천 수는 그 차수 <math>\deg D</math>와 같다.
:<math>c(\mathcal L(D))=1+(\deg D)[\Sigma]\in H^\bullet(\Sigma;\mathbb Z)</math>
특히, 리만 곡면의 [[접다발]] <math>\operatorname T\Sigma</math> 및 [[표준 선다발]](=[[공변접다발]]) <math>\operatorname T^*\Sigma</math>의 차수는 각각 <math>\chi(\Sigma)=2-2g</math> 및 <math>-\chi(\Sigma)=2g-2</math>이므로, 이들의 천 특성류는 다음과 같다.
:<math>c(\operatorname T\Sigma)=1+\chi(\Sigma)[\Sigma]</math>
:<math>c(\operatorname T^*\Sigma)=1-\chi(\Sigma)[\Sigma]</math>
만약 <math>g=1</math>일 경우 ([[원환면]] = 복소수 [[타원 곡면]]), 접다발 및 표준 선다발이 자명한 선다발임을 알 수 있다. <math>g\ne1</math>일 경우, 리만 곡면 위의 모든 [[벡터장]] <math>V</math>은 적어도 하나의 영점을 갖는다. 이는 [[푸앵카레-호프 정리]]
:<math>\sum_{z\colon V(z)=0}\operatorname{index}_zV=\chi(\Sigma)</math>
의 한 예이다.

=== 복소수 사영 공간 ===
[[복소수 사영 공간]] <math>\mathbb{CP}^n</math>의 경우, 다음과 같은 [[오일러 완전열]]이 존재한다.
:<math>0\to\mathcal O_{\mathbb{CP}^n}\to\mathcal O_{\mathbb{CP}^n}(1)^{\oplus(n+1)}\to\operatorname T\mathbb{CP}^n\to0</math>
여기서 <math>\mathcal O_{\mathbb{CP}^n}</math>은 [[구조층]]이며, 이는 자명한 선다발이다 (복소수 사영 공간 위에 존재하는 [[정칙 함수]]는 [[상수 함수]]밖에 없다). <math>\mathcal O_{\mathbb{CP}^n}(1)</math>은 [[세르 뒤틀림층]](=<math>\mathbb{CP}^n</math>의 정의에 따라 존재하는 선다발의 쌍대 다발)이다.

[[완전열]]의 첫 항이 자명하므로, 복소수 사영 공간의 접다발의 천 특성류는 다음과 같다.
:<math>c(\operatorname T\mathbb{CP}^n)=c(\mathcal O_{\mathbb{CP}^n}(1))^{n+1}=(1+c_1(\mathcal O_{\mathbb CP^n}(1)))^{n+1}</math>

== 역사 ==
[[천싱선]]이 1946년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|성=Chern|이름=Shiing-Shen|저자링크=천싱선|연도=1946|월=1|제목=Characteristic classes of Hermitian manifolds|저널=Annals of Mathematics|권=47|호=1|쪽=85–121|doi=10.2307/1969037|mr=0015793|zbl=0060.41416}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[폰트랴긴 특성류]]
* [[슈티펠-휘트니 특성류]]
* [[오일러 특성류]]
* [[양자 홀 효과]]

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=현대 기하학 입문|저자=권영현|공저자=윤달선|위치=서울|출판사=경문사|isbn=89-7282-535-2|url=http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=4893|access-date=2013-07-18|archive-date=2021-10-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20211028073930/https://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=4893|url-status=}}
* {{서적 인용|제목=지표이론|저자=조용승|출판사=경문사|isbn=978-89-6105-622-9|날짜=2012|url=http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=7500|언어=ko|확인날짜=2014-11-12|보존url=https://web.archive.org/web/20141112075225/http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=7500|보존날짜=2014-11-12|url-status=dead}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Chern class}}
* {{매스월드|id=ChernClass|title=Chern class}}
* {{매스월드|id=ChernNumber|title=Chern number}}
* {{nlab|id=Chern class}}
* {{nlab|id=first Chern class|title=First Chern class}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Chern_class|제목=Chern class|웹사이트=Topospaces|언어=en|확인날짜=2015-07-03|보존url=https://web.archive.org/web/20150704003424/http://topospaces.subwiki.org/wiki/Chern_class|보존날짜=2015-07-04|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://works.bepress.com/zach_teitler/2/|제목=An informal introduction to computing with Chern classes|이름=Zach|성=Teitler|날짜=2004|출판사=Bepress SelectedWorks|언어=en|확인날짜=2015-07-03|보존url=https://web.archive.org/web/20150704062154/http://works.bepress.com/zach_teitler/2/|보존날짜=2015-07-04|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2011/08/05/chern-classes/|제목=Chern classes|웹사이트=Climbing Mount Bourbaki|이름=Akhil|성=Mathew|날짜=2011-08-05|언어=en|확인날짜=2015-07-03|보존url=https://web.archive.org/web/20150713202048/https://amathew.wordpress.com/2011/08/05/chern-classes/|보존날짜=2015-07-13|url-status=dead}}

{{전거 통제}}

[[분류:특성류]]
[[분류:중국 수학]]