천 지표 문서 원본 보기

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[[대수적 위상수학]]에서 '''천 지표'''([陳]指標, {{llang|en|Chern character}})는 복소수 [[벡터 다발]]에 대응되는 유리수 계수 [[특성류]]이다. [[위상 K이론]]에서 (유리수 계수) [[특이 코호몰로지]]로 가는 [[환 준동형]]을 이룬다.

== 정의 ==
위상 공간 <math>X</math>가 주어졌다고 하자. 그 위의 [[유리수]] 계수 [[호몰로지 군]]
:<math>\operatorname H^\bullet(X;\mathbb Q)</math>
은 유리수 [[벡터 공간]]이다. 이 경우,
:<math>\overbrace{\operatorname H^\bullet(X;\mathbb Q)}</math>
가 그 속의 (형식적) 가산 무한 합들의 유리수 벡터 공간이라고 하자. 즉, <math>\operatorname H^\bullet(X;\mathbb Q)</math>의 임의의 [[기저 (선형대수학)|기저]] <math>(\alpha_i)_{I\in I}</math>를 잡으면
:<math>\operatorname H^\bullet(X;\mathbb Q)\cong\bigoplus_{i\in I}\mathbb Q</math>
인데,
:<math>\overbrace{\operatorname H^\bullet(X;\mathbb Q)}=\prod_{i\in I}\mathbb Q</math>
로 정의하자. (만약 <math>\operatorname H^\bullet(X;\mathbb Q)</math>가 유한 차원이라면, 즉 만약 <math>I</math>가 [[유한 집합]]이라면, <math>\overbrace{\operatorname H^\bullet(X;\mathbb Q)}=\operatorname H^\bullet(X;\mathbb Q)</math>이다.)

=== 분할 원리를 통한 정의 ===
<math>X</math> 위의 복소수 [[선다발]] <math>L</math>의 '''천 지표'''는 1차 천 특성류의 (형식적) [[지수 함수]]다. 즉, 다음과 같다.
:<math>\operatorname{ch}(L)=\exp(c_1(L))
=\sum_{i=0}^\infty\frac1{i!}\operatorname c_1(L)^i
\in\overbrace{\operatorname H^\bullet(X;\mathbb Q)}</math>
일반적인 복소수 [[벡터 다발]]은 분할 원리에 따라 선다발의 합 <math>E=L_1\oplus\cdots\oplus L_n</math>인 것처럼 여길 수 있으며, 천 특성류는 이에 따라 다음과 같다.
:<math>\operatorname{ch}(E)=\sum_{i=1}^n\exp(c_1(L_i))</math>

=== 직접적 정의 ===
분할 원리를 통해 얻는 표현을 그냥 직접적으로 천 지표의 정의로 놓을 수도 있다. 이에 따라, 천 지표는 구체적으로 다음과 같다.
:<math>\operatorname{ch}(E)=\dim_{\mathbb C}E+\operatorname c_1(E)+\frac12\left(\operatorname c_1(E)-2\operatorname c_2(E)\right)
+\frac16\left(\operatorname c_1(E)^3-3\operatorname c_1(E)\operatorname c_2(E)+3\operatorname c_3(E)\right)+\cdots</math>
여기서 <math>\operatorname c_i(E)\in\operatorname H^i(E;\mathbb Q)</math>는 유리수 계수 <math>2i</math>차 [[천 특성류]]이다. (정수 계수로 정의되는 천 특성류와 달리 천 지표는 유리수 계수만으로 정의된다.)

=== 천-베유 이론을 통한 정의 ===
만약 <math>X</math>가 [[매끄러운 다양체]]이며, 그 위의 <math>n</math>차원 복소수 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E</math>가 [[코쥘 접속]] <math>\nabla</math>를 가졌을 경우, [[천-베유 준동형]]을 통해 복소수 계수 천 지표는 다음과 같은 표현으로 주어진다.
:<math>\operatorname{ch}(E)=
\left[
\operatorname{tr}\exp\frac{\mathrm iF_\nabla}{2\pi}
\right]</math>
여기서
* <math>F_\nabla\in\Omega^2(X;\operatorname{End}_{\mathbb C}(E))</math>는 <math>\nabla</math>의 [[리만 곡률]]이며, [[벡터 값 미분 형식|<math>\operatorname{End}_{\mathbb C}(E)</math>값 2차 미분 형식]]이다.
* <math>\exp</math>는 <math>\overbrace{\operatorname H^\bullet(X;\mathbb Q)}</math> 속의 형식적 [[지수 함수]]이다. 즉, <math>\operatorname{End}_{\mathbb C}(E)</math> 성분은 합성하고, [[2차 미분 형식]] 성분은 [[쐐기곱]]을 취한다. (만약 <math>X</math>가 추가로 [[콤팩트 공간]]이라면 <math>n</math>차 초과의 [[베티 수]]가 0이므로 이 급수는 유한하다.)
* <math>\operatorname{tr}\colon\Omega^\bullet(X;\operatorname{End}(E))\to\Omega^\bullet(X;\mathbb C)</math>는 <math>\exp(\mathrm iF_\nabla/2\pi)\in\Omega^\bullet(X;\operatorname{End}(E))</math>에서 <math>\operatorname{End}(E)</math> 성분의 [[대각합]]을 취하는 연산이다.
* <math>[-]\colon\Omega^\bullet(M;\mathbb C)\to\operatorname H^\bullet(M;\mathbb C)</math>는 [[드람 코호몰로지]]에서 [[미분 형식]]에 대응하는 [[코호몰로지류]]를 취하는 연산이다.

== 성질 ==
천 지표는 (복소수) [[위상 K이론]]에서 유리수 계수 [[특이 코호몰로지]]로 가는 [[환 준동형]]을 이룬다.
:<math>\operatorname{ch}\colon\operatorname K(X)\to\operatorname H(X;\mathbb Q)</math>

즉, 같은 위상 공간 위의 두 복소수 [[벡터 다발]]에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{ch}(E\oplus F)=\operatorname{ch}(E)+\operatorname{ch}(F)</math>
:<math>\operatorname{ch}(E\otimes F)=\operatorname{ch}(E)\smile\operatorname{ch}(F)</math>

또한, 임의의 벡터 다발 [[짧은 완전열]]
:<math>0\to E\to F\to F/E\to0</math>
에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{ch}(E)+\operatorname{ch}(F/E)=\operatorname{ch}(F)</math>

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=현대 기하학 입문|저자=권영현|공저자=윤달선|위치=서울|출판사=경문사|isbn=89-7282-535-2|url=http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=4893|access-date=2017-01-17|archive-date=2021-10-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20211028073930/https://kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=4893|url-status=}}
* {{서적 인용|제목=지표이론|저자=조용승|출판사=경문사|isbn=978-89-6105-622-9|날짜=2012|url=http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=7500|언어=ko|확인날짜=2017-01-17|보존url=https://web.archive.org/web/20141112075225/http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=7500|보존날짜=2014-11-12|url-status=dead}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Chern character}}
* {{nlab|id=Chern character}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/6144/explanation-for-the-chern-character|제목=Explanation for the Chern character|출판사=Math Overflow|언어=en|확인날짜=2017-01-17|보존url=https://web.archive.org/web/20170118051239/http://mathoverflow.net/questions/6144/explanation-for-the-chern-character|보존날짜=2017-01-18|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://rigtriv.wordpress.com/2009/11/06/chern-character-and-k-theory/|제목=Chern character and K-theory|웹사이트=Rigorous Trivialities|이름=Charles|성=Siegel|날짜=2009-11-06|언어=en|확인날짜=2017-01-17|보존url=https://web.archive.org/web/20170118063922/https://rigtriv.wordpress.com/2009/11/06/chern-character-and-k-theory/|보존날짜=2017-01-18|url-status=dead}}

[[분류:특성류]]