천-사이먼스 이론 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[이론물리학]]에서 '''천-사이먼스 이론'''([陳]-Simons理論, {{llang|en|Chern–Simons theory}})은 3차 [[천-사이먼스 형식]]을 [[작용 (물리학)|작용]]으로 갖는 3차원 [[시바르츠형 위상 양자장론]]이다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9902115|제목= Aspects of Chern–Simons theory|url=https://archive.org/details/arxiv-hep-th9902115|이름=Gerald V.|성=Dunne|bibcode=1999tald.conf..177D|날짜=1999}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9905057|제목=Chern–Simons gauge theory: ten years after|이름=J. M. F.|성=Labastida|doi=10.1063/1.59663|bibcode=1999AIPC..484....1L|날짜=1999|isbn=1563968940|저널=American Institute of Physics Conference Proceedings|권=484|쪽=1–40}}</ref> [[끈 이론]]과 [[응집물질물리학]], [[매듭 이론]]에서 쓰인다. 천-사이먼스 이론은 미분기하학에서  [[천-사이먼스 형식]]을 도입한 두 수학자 [[천싱선]]과 [[제임스 해리스 사이먼스]]의 이름에서 유래했다.

== 천-사이먼스 범함수 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[유향 다양체|유향]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] 3차원 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* [[연결 공간|연결]] [[단일 연결 공간|단일 연결]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[단순 리 군]] <math>G</math>. 그 [[실수 리 대수]]를 <math>\mathfrak{lie}(G) = \mathfrak g</math>라고 하자.
* <math>G</math>-[[매끄러운 주다발]] <math>P</math>. <math>M</math>이 3차원 이하이며, <math>G</math>가 연결 단일 연결이므로, <Math>P</math>는 항상 자명한 올다발이다. (그러나 <math>P</math>의 자명화는 일반적으로 표준적으로 주어지지 않는다.)

<math>P</math> 위의 [[주접속]]의 공간을
:<math>\operatorname{Conn}(P)</math>
라고 하자. 이는 <math>\mathfrak g\otimes\Omega^1(M)</math>과 동형인 [[아핀 공간]]이다. (<math>P</math>의 단면을 고른다면 이는 [[벡터 공간]]이 된다.) 이 위에는 [[게이지 변환군]] <math>\mathcal G = \mathcal C^\infty(M,G)</math>이 다음과 같은 [[군의 작용|오른쪽 작용]]을 갖는다.
:<math>A \cdot g = \operatorname{Ad}(g^{-1})A + g^{-1} \mathrm dg</math>
이에 대한 [[몫공간]]
:<math>\mathcal A(M,G) = \frac{\Omega^1(M;\mathfrak g)}{\mathcal C^\infty(M,G)}</math>
을 정의할 수 있다.

'''천-사이먼스 범함수'''(-汎函數, {{llang|en|Chern–Simons functional}})는 다음과 같은 [[함수]]이다.
:<math>\exp(2\pi\mathrm iS) \colon \mathcal A(M,G) \to \operatorname U(1)</math>
이는 구체적으로 다음과 같이 정의된다. 우선,
:<math>A \in \operatorname{Conn}(P)</math>
가 주어졌을 때, 다음을 고르자.
* <math>M</math>에서 [[공집합]]으로 가는 [[보충 경계]] <math>\tilde M</math>. 즉, <math>\tilde M</math>은 유향 4차원 [[경계다양체]]이며, <math>\partial\tilde M = M</math>이다. (이러한 <math>\tilde M</math>은 항상 존재한다.)
* <math>\partial\tilde M</math>의 [[근방]] <math>U</math> 및 [[미분 동형]] <math>U \cong M \times [0,1)</math>
* [[매끄러운 단면]] <math>s\in\Gamma(P)</math>. 이는 표준적으로 동형 사상 <math>\operatorname{Conn}(P) \cong \Omega^1(M;\mathfrak g)</math>를 정의한다. 즉, [[아핀 공간]]의 원점을 정의하여 [[벡터 공간]]으로 만든다. 따라서 <math>A \in \Omega^1(M;\mathfrak g)</math>로 간주할 수 있다.
* 표준적 사영 함수 <math>\pi\colon U \cong M\times[0,1) \to M</math>에 대하여, <math>\tilde A \restriction U = \pi^*A \in \Omega^1(U;\mathfrak g)</math>가 되는 <math>\tilde A \in \Omega^1(\tilde M;\mathfrak g)</math>
그렇다면, 다음을 정의하자.
:<math>S(A) = \frac12\int_{\tilde M} \operatorname{tr}\left(\frac F{2\pi}\wedge \frac F{2\pi}\right)</math>
이 값은 <math>(\tilde M,U,\tilde A)</math>의 선택에 대하여 불변이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
우선, <math>(\tilde M',U',\tilde A')</math>와 <math>(\tilde M',U',\tilde A')</math>를 골랐을 때, 이들을 이어붙여 4차원 콤팩트 [[매끄러운 다양체]] <math>\bar M = \tilde M \cup_M \tilde M'</math>를 정의할 수 있으며, 그 위에 <math>\tilde A</math>와 <math>\tilde A'</math>을 짜깁기하여 <math>\bar A \in \Omega^1(\bar M;\mathfrak g)</math>를 정의할 수 있다. 이 경우
:<math>S(A;\tilde M,U,\tilde A) - S(A;\tilde M',U',\tilde A') = \int_{\bar M} F_{\bar A}\wedge F_{\bar A}</math>
가 된다. 만약 <math>\mathfrak g</math>의 충실한 [[리 대수의 표현|표현]]을 골랐을 때, 이는 <math>\bar M</math> 위의, 자명한 [[주다발]]에 대응되는 [[연관 벡터 다발]]의 2차 [[천 특성류]]에 비례한다. 자명한 벡터 다발의 천 특성류는 0이므로, 위 적분은 항상 0이다.
</div></div>
사실, 구체적으로
:<math>F^2 = \mathrm d\operatorname{CS}[\tilde A]</math>
가 되는 [[3차 미분 형식]] <math>\operatorname{CS}[\tilde A]\in\Omega^1(\tilde M;\mathfrak g)</math>가 존재하며, 이를 '''[[천-사이먼스 형식]]'''이라고 한다. <math>\mathfrak g</math>의 임의의 충실한 [[리 대수의 표현|행렬 표현]]에서 이는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{CS}[A] = \operatorname{tr}\left(F\wedge A - \frac13 A\wedge A\wedge A\right)</math>
[[스토크스 정리]]에 따라서
:<math>S = \frac1{2(2\pi)^2}\int_M \operatorname{CS}[A]</math>
이다.

<math>S</math>는 일반적으로 주다발 [[매끄러운 단면]] <math>s \in \Gamma(P)</math>의 선택에 의존한다. 주다발의 정의에 의하여, <math>\Gamma(P)</math>는 [[게이지 변환군]] <math>\mathcal C^\infty(M,G)</math>의 [[주동차 공간]]({{llang|en|principal homogeneous space, torsor}})이다. 즉, 임의의
:<math>s,s'\in \Gamma(P)</math>
에 대하여 항상
:<math>s' = sg</math>
인 [[게이지 변환]] <math>g \in \mathcal C^\infty(M,G)</math>가 존재한다. <math>s</math>에 게이지 변환을 가하는 것은 <math>A \in \Omega^1(M;\mathfrak g)</math>에 게이지 변환을 가하는 것과 [[동치]]이다.

이 경우, <math>S</math>는 다음과 같이 변환한다.
:<math>S[A\cdot g] = S[A] + \deg g</math>
여기서 <math>\deg g \in\mathbb Z</math>는 다음과 같다. 우선,
:<math>\operatorname H^3(G;\mathbb Z) \cong \mathbb Z</math>
이다. 그 생성원의 하나를 <math>\alpha</math>라고 하자. 그렇다면
:<math>\deg g = \int_M g^*\alpha \in \mathbb Z</math>
가 된다. (<math>\pm\alpha</math> 가운데 하나의 생성원의 선택은 표준적으로 주어진다. [[단순 리 군]]의 경우 원점에서 구조 상수로 주어지는 왼쪽 불변 [[3차 미분 형식]]이 존재하며, 이 미분 형식의 양수배로 주어지는 생성원을 고르면 된다.)

따라서, <math>S</math>는 <math>\mathcal A=\Omega^1(M;\mathfrak g) / \mathcal C^\infty(M,G)</math> 위에 잘 정의되지 않는다. 그러나
:<math>\exp(2\pi\mathrm iS) \colon \mathcal A \to \operatorname U(1)</math>
은 잘 정의된다. 사실, <math>\mathcal A</math>의 [[범피복 공간]]
:<math>\tilde{\mathcal A} \cong \frac{\Omega^1(M;\mathfrak g)}{ \mathcal C^\infty(M,G)_1}</math>
:<math>\mathcal A \cong \tilde{\mathcal A} / \mathbb Z</math>
를 취하자. 여기서 <math>\mathcal C^\infty(M,G)_1 \le \mathcal C^\infty(M,G)</math>은 [[상수 함수]]와 [[호모토픽]]한 원소들로 구성된 [[부분군]](즉, 항등원을 포함하는 [[연결 성분]])이다. 그렇다면 <math>S</math>는 <math>\tilde{\mathcal A}</math> 위에 잘 정의된다.

== 고전적 천-사이먼스 이론 ==
천-사이먼스 범함수를 작용으로 하는 고전 장론을 '''고전적 천-사이먼스 이론'''({{llang|en|classical Chern–Simons theory}})이라고 한다. 이 경우, [[오일러-라그랑주 방정식]]의 해는 천-사이먼스 범함수의 변분이 0이 되게 하는 주접속이다. 즉, 아핀 공간 위의 범함수
:<math>S \colon \Omega^1(M;\mathfrak g) \to \mathbb R</math>
의 [[임계점]]
:<math>\frac{\delta S[A]}{\delta A} = 0</math>
인 것이다. 이 경우
:<math>\frac{\delta S[A]}{\delta A} \propto \int_M F[A]\wedge\delta A</math>
이므로, 이 조건은 <math>F[A] = 0</math>인 것과 [[동치]]이다. 즉, 고전적 천-사이먼스 이론의 해는 [[평탄 주접속]]이다. (이 조건은 [[게이지 변환]]의 작용에 대하여 불변이다.)

=== 해밀턴 역학 ===
천-사이먼스 이론은 [[해밀턴 역학]]으로도 묘사할 수 있으며, 이는 이후 [[기하학적 양자화]]에 용이하다. 이를 위하여, 시공간 <math>M</math>이 시간과 공간의 곱공간, 즉
:<math>M = \Sigma \times \mathbb R</math>
의 꼴이라고 하자. 여기서 <math>\Sigma</math>는 [[유향 다양체|유향]] 콤팩트 곡면이다. (아직 여기에 [[복소구조]] 등은 존재하지 않는다.)

<math>M</math>의 꼴로 인하여, <math>A=(A_0,A_1,A_2)</math>에 대하여 다음과 같은 [[게이지 고정]] 조건('''바일 게이지''' {{llang|en|Weyl gauge}})을 가할 수 있다.
:<math>A_0=0</math>
천-사이먼스 형식의 두 항
:<math>\operatorname{tr}(A\wedge\mathrm dA)</math>
:<math>\operatorname{tr}(A \wedge A \wedge A) \propto f_{abc} A_0^a A_1^b A_2^c</math>
가운데, 둘째 항은 항상 <math>A_0</math>을 포함하므로 0이 되며, 첫 항의 경우 오직
:<math>A_1 \partial_0 A_2 - A_2 \partial_0 A_1</math>
만이 살아남는다. 즉, 이 게이지에서 [[작용 (물리학)|작용]]은 다음과 같다.
:<math>S=\frac k{8\pi}\int_0^1\mathrm dt\int_\Sigma\mathrm d^2x\,\epsilon^{ij}\operatorname{Tr}A_i\dot A_j</math>
여기서 <math>i,j=1,2</math>이며, <Math>\Sigma</math> 위의 [[부피 형식]] <math>\epsilon^{ij}</math>을 임의로 골랐다. <math>\Sigma</math>가 2차원이므로, 이는 [[심플렉틱 다양체]]의 구조와 같다.

이 게이지에서 [[운동 방정식]]은 자명하다.
:<math>\dot A_i=0</math>
또한, 게이지 고정 조건에 의한 다음과 같은 제약 조건이 존재한다.<ref name="Witten1989"/>{{rp|367}}
:<math>F_{ij}=0</math>
따라서, 고전적으로 [[위상 공간 (물리학)|위상 공간]]은 <math>\Sigma</math> 위의 <math>G</math>-[[평탄 주접속]]들(의 [[게이지 변환]]에 대한 [[동치류]]들)의 [[모듈라이 공간]] <math>\mathcal M(\Sigma,G)</math>이다.

평탄 주접속은 [[홀로노미]]
:<math>\pi_1(\Sigma) \to G</math>
에 의하여 완전히 분류된다. 여기서 <Math>\pi_1(-)</math>은 (임의의 밑점에 대한) 곡면의 [[기본군]]이다. 이 위에는 <math>G</math>가 게이지 변환으로 작용하므로, [[모듈라이 공간]]은
:<math>\mathcal M = \frac{\hom_{\operatorname{Grp}}(\pi_1(\Sigma),G)}G</math>
이다. 이는 일반적으로 [[오비폴드]]를 이룬다. <math>\Sigma</math>의 [[심플렉틱 다양체]] 구조([[부피 형식]])로부터, <math>\mathcal M</math>은 (오비폴드 특이점을 무시하면) [[심플렉틱 다양체]] 구조를 갖는다.

특히, 만약 <math>\Sigma =\mathbb S^2</math>가 2차원 구일 경우, <math>\pi_1(\mathbb S^2) = 1</math>([[자명군]])이므로 <math>\mathcal M </math> 역시 [[한원소 공간]]이다. 반면, 만약 <math>M = \mathbb T^2</math>([[원환면]])인 경우,
:<math>\pi_1(\mathbb T^2) = \mathbb Z \times \mathbb Z</math>
이므로
:<math>\mathcal M(\mathbb T^2,G) = \frac{T \times T}{\operatorname{Weyl}(G)}</math>
이다. 여기서 <math>T</math>는 <math>G</math>의 임의의 [[극대 원환면]]이며, <math>\operatorname{Weyl}(G)</math>는 그 위에 [[군의 작용|작용]]하는 [[바일 군]]이다.

== 양자 천-사이먼스 이론 ==
천-사이먼스 이론은 [[기하학적 양자화]]를 통해 [[양자화 (물리학)|양자화]]할 수 있다.<ref name="Witten1989"/><ref name="APW"/> [[양자장론]]은 일반적으로 [[경로 적분]]으로 정의되는데, 이 경우 다음과 같은 꼴이 된다.
:<math>Z = \int_{\operatorname{Conn}P}\mathrm DA \exp(2\pi \mathrm ikS[A])</math>
여기서 경로 적분이 잘 정의되기 위하여 <math>k</math>는 [[정수]]이어야 하며, 이를 (양자) 천-사이먼스 이론의 '''준위'''({{llang|en|level|레벨}})라고 한다. 이 경우, <math>k = 0</math>인 경우는 자명한 이론을 얻으며, <math>k \mapsto -k</math>는 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>의 [[방향 (다양체)|방향]]을 뒤집는 것에 해당한다. 즉, 일반성을 잃지 않고 <math>k</math>를 양의 정수로 놓을 수 있다.

3차원 다양체 <math>\Sigma\times[0,1]</math>을 생각하자. [[위상 양자장론]]의 공리계에 따라서, <math>\Sigma</math>에 대응하는 [[복소수 힐베르트 공간]] <math>\mathcal H(\Sigma)</math>이 존재하여야 한다. 기하학적 양자화를 가하려면, <math>\mathcal M</math> 위에 [[켈러 다양체]]의 구조가 존재해야 한다.

[[평탄 주접속]]의 [[모듈라이 공간]] <math>\mathcal M</math>은 자연스럽게 [[심플렉틱 구조]]를 가진다. 만약 <math>\Sigma</math>에 임의의 [[복소구조]] <math>J</math>를 가하면, 이에 따라 <math>\mathcal M</math>은 [[켈러 구조]]를 가지게 된다. 따라서, 켈러 구조의 [[기하학적 양자화]]를 사용할 수 있다. <math>\mathcal M</math>에 준양자 구조 <math>L</math>을 가하면, 그 힐베르트 공간은
:<math>\mathcal H_J=H^0(M;L)</math>
이다. 보다 일반적으로, 준위가 <math>k</math>인 경우, 힐베르트 공간은
:<math>\mathcal H_J(\Sigma)=H^0(\mathcal M(\Sigma);L^{\otimes k})</math>
가 된다.<ref name="Witten1989"/>{{rp|369}}

힐베르트 공간 <math>\mathcal H_J</math>는 <math>\Sigma</math>의 [[복소구조]] <math>J</math>에 의존하며, 따라서 <math>\Sigma</math>의 복소구조의 [[모듈라이 공간]]([[타이히뮐러 공간]] <math>T_\Sigma</math>) 위의 [[벡터 다발]]을 이룬다.

천-사이먼스 이론이 [[위상 양자장론]]을 이루려면 상태 공간은 [[복소구조]]에 의존할 수 없다. 그러나 벡터 다발 <math>\mathcal H</math>은 사영적으로 평탄한 주접속(projectively flat connection)을 지녀서, 사영 힐베르트 공간 <math>P(\mathcal H)</math>는 복소구조에 의존하지 않는 것을 보일 수 있다.

천-사이먼스 이론의 힐베르트 공간은 같은 리 군의 [[베스-추미노-위튼 모형]]의 [[등각 블록]]의 공간과 표준적으로 동형이다. 예를 들어, 만약 <math>\Sigma</math>가 [[리만 구]]라면, 천-사이먼스 이론의 힐베르트 공간은 ([[한원소 공간]]의 양자화이므로) 1차원이다. 종수 0의 [[타이히뮐러 공간]]은 자명하므로 이 경우 복소구조에 의존하지 않음은 자명하다.

만약 <math>\Sigma</math>가 [[원환면]]이라면, 천-사이먼스 이론의 힐베르트 공간은 [[아핀 리 대수]]의, 무게 <math>k</math>의 적분 가능 표현들의 공간이다. 천-사이먼스 이론에서, [[윌슨 고리]]를 삽입한 경우의 힐베르트 공간은 [[베스-추미노-위튼 모형]]에서 중간에 진공([[항등 함수]])이 아닌 자명하지 않은 상태를 삽입한 등각 블록에 대응한다.

=== 준위의 재규격화 ===
양자화를 가하면, 천-사이먼스 이론의 준위 <math>k</math>가 바뀌게 된다. 즉, 게이지 군이 <math>G</math>이고, 고전적으로 준위가 <math>k</math>인 천-사이먼스 이론을 양자화하면, [[측도]]의 게이지 변환 성질에 의하여 유효 천-사이먼스 준위가
:<math>k'=k+h^\vee(G)</math>
가 된다.<ref>{{저널 인용|제목=Operator formalism for Chern-Simons theories|이름=J. M. F.|성=Labastida|이름2=A. V.|성2=Ramallo|doi=10.1016/0370-2693(89)91289-6|url=http://www-fp.usc.es/theory/labastida/papers/p19.pdf|저널=Physics Letters B|권=227|호=1|날짜=1989-08-17|쪽=92–102|언어=en|확인날짜=2013-12-05|보존url=https://web.archive.org/web/20130614044310/http://www-fp.usc.es/theory/labastida/papers/p19.pdf|보존날짜=2013-06-14|url-status=dead}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=J. M. F.|성=Labastida|이름2=A. V.|성2= Ramallo|doi=10.1016/0370-2693(89)90661-8|제목=Chern-Simons theory and conformal blocks|저널=Physics Letters B | 권=228 | 호=2 | 날짜=1989-09-14 | 쪽=214–222 | 언어=en}}</ref> 여기서 <math>h^\vee(G)</math>는 <math>G</math>의 [[이중 콕서터 수]]이다.

다음과 같은 이론들을 생각하자.
* 게이지 군이 <math>G</math>인 3차원 <math>\mathcal N=0,1,2,3</math> [[양-밀스 이론]]에, 준위 <math>k</math>의 (초대칭) 천-사이먼스 항을 추가
이는 물론 [[위상 양자장론]]이 아니며, 오직 <math>\mathcal N\le3</math>만이 가능하다.<ref name="KL">{{저널 인용|제목=Self-Dual Chern-Simons Higgs Systems with an N=3 Extended Supersymmetry|이름=Hsien-Chung|성=Kao|공저자=Kimyeong Lee|arxiv=hep-th/9205115|doi=10.1103/PhysRevD.46.4691|bibcode=1992PhRvD..46.4691K|저널=Physical Review D|언어=en}}</ref>{{rp|§5}} 이 경우, 초대칭의 수 <math>\mathcal N</math>에 따라 준위의 재규격화가 달라진다.<ref>{{저널 인용|제목=The Chern-Simons Coefficient in Supersymmetric Yang-Mills Chern-Simons Theories|date=1995-06-26|url=https://archive.org/details/arxiv-hep-th9506170|이름=Hsien-Chung|성=Kao|이름2=Kimyeong|성2= Lee|이름3=Taejin |성3=Lee|arxiv=hep-th/9506170|bibcode=1995hep.th....6170K|doi= 10.1016/0370-2693(96)00119-0|저널=Physics Letters B|언어=en}}</ref> <math>\mathcal N=1</math> (두 개의 초전하, 하나의 마요라나 페르미온)인 경우, 준위의 재규격화는 [[이중 콕서터 수]]의 절반이다. 이 경우 양자화 조건은 재규격화된 준위가 정수라는 것이다.<ref name="Witten99">{{저널 인용|arxiv=hep-th/9903005|이름=Edward|성=Witten|저자링크=에드워드 위튼|제목=
Supersymmetric index of three-dimensional gauge theory|date=1999-04-11|url=https://archive.org/details/arxiv-hep-th9903005|bibcode=1999hep.th....3005W|언어=en}}</ref>
:<math>k'=k+h^\vee(G)/2\in\mathbb Z</math>
따라서, [[이중 콕서터 수]]가 홀수인 경우에는 고전적 준위 <math>k</math>가 [[반정수]]가 된다. <math>\mathcal N=2,3</math>인 경우 재규격화가 없다.
{| class="wikitable"
|-
! 초대칭 수 <math>\mathcal N</math> !! 준위의 변화
|-
| <math>\mathcal N=0</math> || <math>k'=k+h^\vee(G)</math>
|-
| <math>\mathcal N=1</math> || <math>k'=k+h^\vee(G)/2</math>
|-
| <math>\mathcal N=2,3</math> || <math>k'=k</math>
|}

== 초대칭 천-사이먼스 이론 ==
순수 천-사이먼스 이론에 [[마요라나 스피너|마요라나]] [[페르미온]]을 추가하여,  '''초대칭 천-사이먼스 이론'''({{llang|en|supersymmetric Chern–Simons theory}})을 만들 수 있다.<ref>{{저널 인용|제목=Chern–Simons theories with supersymmetries in three dimensions | 이름=Hitoshi| 성=Nishino | 이름2=Sylvester James, Jr. | 성2=Gates | doi=10.1142/S0217751X93001363 | 저널=International Journal of Modern Physics A | 권=8 | 호=19 | 날짜=1993 | 쪽= 3371–3421 | 언어=en }}</ref><ref name="Schwarz">{{저널 인용|이름=John Henry|성=Schwarz|저자링크=존 헨리 슈워츠|제목=Superconformal Chern–Simons theories|arxiv=hep-th/0411077|doi=10.1088/1126-6708/2004/11/078|bibcode=2004JHEP...11..078S|저널=Journal of High Energy Physics|권=2004|호=11|쪽=78|날짜=2004-11|언어=en}}</ref> 이 경우 페르미온은 운동 에너지 항이 없어 국소적 자유도를 갖지 않는다. 이렇게 하여 <math>\mathcal N=1,2,4</math> 초대칭 천-사이먼스 이론을 정의할 수 있다.

예를 들어, <math>\mathcal N=1</math> 초대칭 천-사이먼스 이론의 경우, 게이지 보손 <math>A</math>에 대응하는 마요라나 게이지노 <math>\lambda</math>를 추가하면 작용은 다음과 같다.
:<math>S=\frac k{4\pi}\int_M\operatorname{tr}\left(A\wedge\mathrm dA-\frac23iA\wedge A\wedge A-\bar\lambda\lambda\,\operatorname{vol}_M\right)</math>
여기서
* <math>\lambda</math>는 3차원 마요라나 스피너 장이다. 굽은 공간에서, 이는 [[필바인]]을 통해 정의된다.
* <math>\operatorname{vol}_M</math>은 <math>M</math>의 (3차) [[부피 형식]]이다.
게이지노 장 <math>\lambda</math>의 작용은 [[리만 계량]]에 의존한다. 그러나 이는 운동항이 없어 [[보조장]]이므로, 페르미온의 [[경로 적분]]을 계산할 수 있고, 이렇게 페르미온을 적분해 없애면 원래 천-사이먼스 이론만이 남는다.

이 작용의 [[초대칭]]은 다음과 같다.<ref name="Schwarz"/>{{rp|(5), (6)}}
:<math>\delta A_i = \mathrm i\bar\epsilon \gamma_\mu\lambda</math>
:<math>\delta\chi = \frac12\gamma^{\mu\nu}F_{\mu\nu}\epsilon</math>
여기서 <math>\epsilon</math>은 초대칭 매개 변수이다.

이는 물론 [[위상 양자장론]]으로서 (비초대칭) 천-사이먼스 이론과 같지만, 만약 천-사이먼스 항을 3차원 [[초대칭 게이지 이론]]에 추가할 경우 위와 같이 적절히 초대칭화된 천-사이먼스 항을 사용해야 한다.

== 응용 ==
=== 3차원 양자 중력 ===
3차원 [[양자 중력]]은 천-사이먼스 이론의 일종이다.<ref>{{저널 인용|이름=A.|성=Achúcarro|이름2=P.|성2=Townsend|제목=A Chern–Simons action for three-dimensional anti-De Sitter supergravity theories|저널=Physics Letters B|권=180|날짜=1986|쪽=89|bibcode=1986PhLB..180...89A|doi=10.1016/0370-2693(86)90140-1|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용| last = Witten | first = Edward | authorlink =에드워드 위튼 | date = 19 Dec 1988 | title = (2+1)-dimensional gravity as an exactly soluble system | journal = Nuclear Physics B | volume = 311 | issue = 1 | pages = 46&ndash;78 | doi = 10.1016/0550-3213(88)90143-5|bibcode = 1988NuPhB.311...46W|url=http://srv2.fis.puc.cl/~mbanados/Cursos/TopicosRelatividadAvanzada/Witten2.pdf|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용| last = Witten | first = Edward | authorlink =에드워드 위튼| 제목 = Three-dimensional gravity revisited | 날짜 = 2007-06-22 | url = https://archive.org/details/arxiv-0706.3359 | arxiv= 0706.3359|언어=en }}</ref><ref>{{저널 인용|제목= Lecture notes on Chern–Simons (super-)gravities|date= 2008-03-21|url= https://archive.org/details/arxiv-hep-th0502193|이름=Jorge|성=Zanelli|bibcode=2005hep.th....2193Z|arxiv=hep-th/0502193|언어=en}}</ref> 이는 3차원에는 [[중력자]]가 국소적 [[질량껍질]] 위 [[자유도]]를 갖지 않기 때문에 가능하다.

=== 매듭 이론 ===
천-사이먼스 이론은 [[매듭 이론]]에서 핵심적인 역할을 한다. [[존스 다항식]]과 [[홈플리 다항식]]은 천-사이먼스 이론의 [[윌슨 고리]]로 해석할 수 있다.

=== 분수 양자 홀 효과 ===
[[응집물질물리학]]에서, 천-사이먼스 이론은 [[분수 양자 홀 효과]]를 설명하는 데 쓰인다.<ref>{{저널 인용|제목=Fermionic Chern-Simons Field Theory for the Fractional Hall Effect|date=1997-04-07|url=https://archive.org/details/arxiv-cond-mat9704055|이름=Ana|성=Lopez|공저자=Eduardo Fradkin|bibcode=1997cond.mat..4055L|언어=en}}</ref>

=== 끈 이론 ===
초대칭 천-사이먼스 이론은 [[끈 이론]]에서 자주 등장한다. [[D-막]]의 세계부피 이론의 작용은  천-사이먼스 형 항들을 포함하며, 겹친 [[M이론#M-막|M2-막]] 위에 존재하는 이론(ABJM 이론) 또한 천-사이먼스 이론의 일종이다. 또한, 천-사이먼스 이론은 [[등각 장론]]의 하나인 [[베스-추미노-위튼 모형]]과도 관련되어 있다.

== 역사 ==
1978년에 [[알베르트 시바르츠]]가 아벨 게이지 군에 대한 천-사이먼스 이론을 최초로 고전적으로 다루었다.<ref>{{저널 인용|제목=The partition function of degenerate quadratic functional and Ray-Singer invariants|이름=A. S.|성=Schwartz|저자링크=알베르트 시바르츠|저널=Letters in Mathematical Physics|날짜=1978-01|권=2|호=3|쪽=247–252|doi=10.1007/BF00406412|언어=en}}</ref>

1981년에 조너선 숀펠드({{llang|en|Jonathan F. Schonfeld}})가 3차원 [[양-밀스 이론]]에 천-사이먼스 항을 추가한 모형을 도입하였다.<ref>{{저널 인용|성=Schonfeld|이름=Jonathan F.|제목=A mass term for three dimensional gauge fields|doi=10.1016/0550-3213(81)90369-2|저널=Nuclear Physics B|권=185|호=1|날짜=1981-07-13|쪽=157–171|언어=en}}</ref> 1982년에 스탠리 데저({{llang|en|Stanley Deser}})와 로만 야츠키프({{llang|pl|Roman Jackiw}}), 스티븐 템플턴({{llang|en|Stephen Templeton}})이 비아벨 천-사이먼스 항이 존재한다면 레벨이 양자화됨을 지적하였다.<ref>{{저널 인용|이름1=Stanley|성1=Deser|이름2=Roman|성2=Jackiw|이름3=Stephen|성3=Templeton|제목=Three-dimensional massive gauge theories|저널=Physical Review Letters|권=48|호=15|쪽=975–978|날짜=1982-04-12|doi=10.1103/PhysRevLett.48.975|bibcode=1982PhRvL..48..975D|언어=en}}</ref>{{rp|977, (9)}}<ref>{{저널 인용|이름1=Stanley|성1=Deser|이름2=Roman|성2=Jackiw|이름3=Stephen|성3=Templeton|저널=Annals of Physics|권=140|호=2|날짜=1982-05|쪽=372–411|doi=10.1016/0003-4916(82)90164-6|제목=Topologically massive gauge theories|언어=en}}</ref>{{rp|§Ⅲ.A, (3.15)}} 1986년에 그레그 저커먼({{llang|en|Gregg J. Zuckerman}})이 [[반단순 리 군|반단순]] 게이지 군에 대한 천-사이먼스 이론(즉, 양-밀스 항을 포함하지 않고, 오직 천-사이먼스 항만을 포함하는 이론)을 고전적으로 다루었다.<ref>{{서적 인용|성=Zuckerman|이름=Gregg J.|장=Action principles and global geometry|날짜=1987-09|제목=Mathematical Aspects of String Theory. Proceedings of the Conference on Mathematical Aspects of String Theory, California, USA, August 1986|editor1-last=Yau|editor1-first=S.-T.|editor1-link=야우싱퉁|isbn=978-9971-5-0274-4|출판사=World scientific|doi=10.1142/9789812798411_0013|쪽=259–284|총서=Advanced Series in Mathematical Physics|권=1|언어=en}}</ref>

[[에드워드 위튼]]이 1989년에 [[반단순 리 군|반단순]] 게이지 군에 대한 천-사이먼스 이론을 양자화하였으며, [[존스 다항식]] 및 [[베스-추미노-위튼 모형]]과의 관계를 밝혔다.<ref name="Witten1989">{{저널 인용|언어=en|이름=Edward|성=Witten|저자링크=에드워드 위튼|mr=0990772|zbl=0667.57005|저널=Communications in Mathematical Physics|권=121|호=3|날짜=1989|쪽=351–399|제목=Quantum field theory and the Jones polynomial||url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104178138|doi=10.1007/BF01217730|issn=0010-3616|bibcode=1989CMaPh.121..351W}}</ref><ref name="APW">{{저널 인용|이름=Scott|성=Axelrod|이름2=Steve|성2=Della Pietra|저자링크3=에드워드 위튼|이름3=Edward|성3=Witten|저널=Journal of Differential Geometry|title=Geometric quantization of Chern–Simons gauge theory|권=33|호=3|날짜=1991|쪽=787–902|mr=1100212|zbl=0697.53061|url=http://projecteuclid.org/euclid.jdg/1214446565|언어=en}}</ref>

“천-사이먼스”라는 이름은 이 이론의 작용이 수학적으로 3차 [[천-사이먼스 형식]]이기 때문이다. 이는 [[천싱선]]과 [[제임스 해리스 사이먼스]]가 정의하였다.

== 같이 보기 ==
* [[게이지 이론 (수학)]]
* [[천-사이먼스 형식]]
* [[위상 양자장론]]
* [[알렉산더 다항식]]
* [[존스 다항식]]
* [[스커미온]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Chern-Simons theory}}
* {{nlab|id=quantization of 3d Chern-Simons theory|title=Quantization of 3d Chern-Simons theory}}
* {{nlab|id=5d Chern-Simons theory}}
* {{nlab|id=higher dimensional Chern-Simons theory|title=Higher dimensional Chern-Simons theory}}

[[분류:양자장론]]
[[분류:매듭 이론]]