집합족적 정규 공간 문서 원본 보기

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[[일반위상수학]]에서 '''집합족적 정규 공간'''({{llang|en|collectionwise normal space}})은 [[정규 공간]]보다 강한 [[분리공리]]를 만족시키는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다. 집합족적 정규 [[하우스도르프 공간]]은 [[파라콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]과 [[정규 공간|정규]] [[하우스도르프 공간]] 사이에 있다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[부분 집합]]들의 [[집합족]] <math>\{S_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이 조건을 만족시키는 집합족을 '''이산 집합족'''({{llang|en|discrete family}})이라고 한다.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\{i\in I\colon N\cap S_i\ne\varnothing\}</math>이 [[공집합]]이거나 [[한원소 집합]]인 [[근방]] <math>N\ni x</math>이 존재한다.
* <math>\{\operatorname{cl}S_i\}_{i\in I}</math>는 [[서로소 집합족]]이며, 임의의 <math>J\subseteq I</math>에 대하여 <math>\textstyle\bigcup_{j\in J}\operatorname{cl}S_j</math>는 [[닫힌집합]]이다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[부분 집합]]들의 [[집합족]] <math>\{S_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이 조건을 만족시키는 집합족을 '''분리 집합족'''({{llang|en|separated family}}) 또는 '''거의 이산 집합족'''({{llang|en|almost discrete family}})이라고 한다.
* 임의의 <math>i\in I</math>에 대하여, <math>\textstyle S_i\cap\operatorname{cl}\bigcup_{j\in I\setminus\{i\}}S_j=\varnothing</math>이다.
* <math>\{S_i\}_{i\in I}</math>는 <math>\textstyle\bigcup_{i\in I}S_i</math>의 이산 집합족이다.

모든 이산 집합족은 [[국소 유한 집합족]]이자 분리 집합족이다. 모든 분리 집합족은 (자명하게) [[서로소 집합족]]이다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 네 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>X</math>를 '''집합족적 정규 공간'''이라고 한다.
* 임의의 [[닫힌집합]]들의 이산 집합족 <math>\{F_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여, <math>\forall i\in I\colon F_i\subseteq U_i</math>인 [[열린집합]]들의 [[서로소 집합족]] <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>이 존재한다.
* 임의의 [[닫힌집합]]들의 이산 집합족 <math>\{F_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여, <math>\forall i\in I\colon F_i\subseteq U_i</math>인 [[열린집합]]들의 이산 집합족 <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>이 존재한다.
* 임의의 이산 집합족 <math>\{F_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여, <math>\forall i\in I\colon F_i\subseteq U_i</math>인 [[열린집합]]들의 [[서로소 집합족]] <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>이 존재한다.
* 임의의 이산 집합족 <math>\{F_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여, <math>\forall i\in I\colon F_i\subseteq U_i</math>인 [[열린집합]]들의 이산 집합족 <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>이 존재한다.
{{증명}}
만약 <math>\{A_i\}_{i\in I}</math>가 이산 집합족이라면, <math>\{\operatorname{cl}A_i\}_{i\in I}</math> 역시 이산 집합족이다. 따라서, 첫 번째와 세 번째 조건 및 두 번째와 네 번째 조건은 서로 동치이다. 두 번째 조건은 자명하게 첫 번째 조건을 함의한다. 이제, 임의의 [[닫힌집합]]들의 이산 집합족 <math>\{F_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여, <math>\forall i\in I\colon F_i\subseteq U_i</math>인 [[열린집합]]들의 [[서로소 집합족]] <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>이 존재한다고 가정하자. 그렇다면, <math>X</math>는 자명하게 [[정규 공간]]이다. 또한, <math>\{F_i\}_{i\in I}</math>는 [[닫힌집합]]들의 [[국소 유한 집합족]]이므로, 그 합집합 역시 [[닫힌집합]]이다. 따라서,
:<math>\bigcup_{i\in I}F_i\subseteq V\subseteq\operatorname{cl}V\subseteq\bigcup_{i\in I}U_i</math>
인 [[열린집합]] <math>V\subseteq X</math>가 존재한다. 그렇다면 임의의 <math>i\in I</math>에 대하여, <math>U_i\cap V</math>는 [[열린집합]]이며, <math>F_i\subseteq U_i\cap V</math>이다. 이제, <math>\{U_i\cap V\}_{i\in I}</math>가 이산 집합족임을 보이면 족하다. 즉, 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>N\cap U_i\cap V\ne\varnothing</math>인 <math>i\in I</math>가 하나 이하인 [[근방]] <math>N\ni x</math>를 찾아야 한다. 만약 <math>x\not\in\operatorname{cl}V</math>라면,
:<math>N=X\setminus\operatorname{cl}V</math>
를 고른다. 만약 <math>x\in\operatorname{cl}V</math>라면, <math>N</math>을
:<math>x\in U_i</math>
인 유일한 <math>U_i</math>로 잡을 수 있다.
{{증명 끝}}

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>X</math>를 '''완비 집합족적 정규 공간'''({{llang|en|completely collectionwise normal space}}) 또는 '''유전 집합족적 정규 공간'''({{llang|en|hereditarily collectionwise normal space}})이라고 한다.
* <math>X</math>의 모든 [[부분 집합]]은 집합족적 정규 공간이다.
* <math>X</math>의 모든 [[열린집합]]은 집합족적 정규 공간이다.
* 임의의 분리 집합족 <math>\{S_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여, <math>\forall i\in I\colon S_i\subseteq U_i</math>인 [[열린집합]]들의 [[서로소 집합족]] <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>이 존재한다.
{{증명}}
첫 번째 조건은 자명하게 두 번째 조건을 함의한다. 임의의 <math>X</math>의 임의의 부분 집합 <math>Y\subseteq X</math>의 이산 집합족은 <math>X</math>의 분리 집합족이므로, 세 번째 조건은 첫 번째 조건을 함의한다. 따라서, 두 번째 조건이 세 번째 조건을 함의함을 보이면 충분하다. 임의의 분리 집합족 <math>\{S_i\}_{i\in I}\subseteq\mathcal P(X)</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:<math>V_i=X\setminus\operatorname{cl}\bigcup_{j\in I\setminus\{i\}}S_j</math>
는 [[열린집합]]이며, <math>S_i\subseteq V_i</math>이다. 따라서,
:<math>V=\bigcup_{i\in I}V_i</math>
는 [[열린집합]]이며, 모든 <math>S_i</math>를 포함한다. 가정에 따라, <math>V</math>는 집합족적 정규 공간이다. 또한, <math>V</math>의 임의의 원소는 어떤 <math>V_i</math>를 [[열린 근방]]으로 하며, <math>V_i</math>와 만나는 <math>S_j</math>는 <math>j=i</math>뿐이다. 따라서, <math>\{S_i\}_{i\in I}</math>는 <math>V</math>의 이산 집합족이며, <math>\forall i\in I\colon S_i\subseteq U_i</math>인 <math>V</math>의 [[열린집합]]들의 [[서로소 집합족]] <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>가 존재한다. <math>V</math>는 [[열린집합]]이므로, <math>U_i</math>는 <math>X</math>의 열린집합이다.
{{증명 끝}}

== 성질 ==
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
:{| style="text-align: center"
| [[거리화 가능 공간]] || → || [[단조 정규 공간|단조 정규]] [[하우스도르프 공간]] || → || 완비 집합족적 정규 하우스도르프 공간 || → || 집합족적 정규 하우스도르프 공간
|-
| || ↘ || || || ↓ || || ↓
|-
| || || [[완전 정규 공간|완전 정규]] [[하우스도르프 공간]] (T<sub>6</sub>) || → || [[완비 정규 공간|완비 정규]] [[하우스도르프 공간]] (T<sub>5</sub>) || → || [[정규 공간|정규]] [[하우스도르프 공간]] (T<sub>4</sub>)
|}
모든 [[파라콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]은 집합족적 정규 공간이다. 반대로, 모든 [[메타콤팩트 공간|메타콤팩트]] 집합족적 정규 [[하우스도르프 공간]]은 [[파라콤팩트 공간]]이다 ('''마이클-나가미 정리''', {{llang|en|Michael–Nagami theorem}}).<ref name="Engelking">{{서적 인용
|이름1=Ryszard
|성1=Engelking
|제목=General topology
|언어=en
|판=개정 완결
|총서=Sigma Series in Pure Mathematics
|권=6
|출판사=Heldermann Verlag
|위치=Berlin
|날짜=1989
|isbn=3-88538-006-4
|mr=1039321
|zbl=0684.54001
}}</ref>{{rp|322, Theorem 5.3.3}}

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Bing" />{{rp|182, Theorem 10}}
* [[거리화 가능 공간]]이다.
* [[무어 공간]]이며, 집합족적 정규 공간이다.

== 예 ==
[[순서 위상]]을 가한 [[전순서 집합]]은 [[단조 정규 공간|단조 정규]] [[하우스도르프 공간]]이며, 특히 완비 집합족적 정규 공간이다. 하지만 [[순서 위상]]을 준 최소의 [[비가산]] [[순서수]] <math>\omega_1</math>은 [[완전 정규 공간]]이 아니다.

집합족적 정규 공간이 아닌 [[완전 정규 공간|완전 정규]] [[하우스도르프 공간]]이 존재한다.<ref name="Bing">{{저널 인용
|성1=Bing
|이름1=R. H.
|제목=Metrization of topological spaces
|url=https://archive.org/details/sim_canadian-journal-of-mathematics_1951_3_2/page/n50
|언어=en
|저널=Canadian Journal of Mathematics
|권=3
|쪽=175–186
|날짜=1951
|issn=0008-414X
|doi=10.4153/CJM-1951-022-3
|mr=0043449
|zbl=0042.41301
}}</ref>{{rp|184, Example G}}

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용
|이름1=Ryszard
|성1=Engelking
|제목=General topology
|언어=en
|판=개정 완결
|총서=Sigma Series in Pure Mathematics
|권=6
|출판사=Heldermann Verlag
|위치=Berlin
|날짜=1989
|isbn=3-88538-006-4
|mr=1039321
|zbl=0684.54001
}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Collectionwise_normal_space|제목=Collectionwise normal space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Hereditarily_collectionwise_normal_space|제목=Hereditarily collectionwise normal space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{플래닛매스|urlname=CollectionwiseNormal|제목=Collectionwise normal}}

[[분류:위상 공간의 성질]]