진근점 이각 문서 원본 보기

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[[파일:Eccentric and True Anomaly.svg|섬네일|물체의 위치 ''P''와 진근점 이각 ''f''를 나타낸 그림. 타원의 중심은 ''C''로, 타원의 초점은 ''F''로 표시되어 있다.]]

'''진근점 이각'''({{llang|en|true anomaly}})은 [[천체물리학]]에서 [[케플러 궤도]]를 따라 움직이는 물체의 위치를 정하는 각 [[변수 (수학)|변수]]이다. 진근점 이각은 타원의 주[[초점]]에서 바라본 궤도 [[근점]]과 물체의 현재 위치 간의 각도이다.

진근점 이각은 보통 [[그리스 문자]] {{mvar|ν}} 또는 {{mvar|θ}}, 또는 [[라틴 문자]] {{mvar|f}}로 표시된다.

위의 그림에 보여지듯이, 진근점 이각 {{mvar|f}}는 [[편심 이각]]과 [[평균 근점 이각]]과 함께 궤도에서의 물체의 위치를 정하는 세 변수 중 하나이다.

== 공식 ==
===상태 벡터로부터===
타원 궤도에서는 진근점 이각 {{mvar|ν}}은 [[궤도 상태 벡터]]로부터 계산될 수 있다.

:<math> \nu = \arccos { {\mathbf{e} \cdot \mathbf{r}} \over { \mathbf{\left |e \right |} \mathbf{\left |r \right |} }}</math>
::(만약 {{nowrap|'''r''' ⋅ '''v''' < 0}} 이라면 {{mvar|ν}}를 {{nowrap|2{{pi}} − {{mvar|ν}}로 치환}})

* '''v'''는 궤도를 도는 물체의 [[궤도 속도 벡터]]이다.
* '''e'''는 [[편심 벡터]]이다.
* '''r'''는 [[궤도 위치 벡터]]이다.

====원 궤도====
원 궤도의 경우에는 진근점 이각이 정의되지 않는데, 이는 원 궤도는 특정할 만한 궤도 [[근점]]이 없기 때문이다. 이 때는 진근점 이각 대신 [[위도 인수]] ''u''가 사용된다.

:<math> u = \arccos { {\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}} \over { \mathbf{\left |n \right |} \mathbf{\left |r \right |} }}</math>
::(만약 {{nowrap|''r<sub>z</sub>'' < 0}} 이라면 {{nowrap|''u''를 2{{pi}} − ''u''로 치환}})

* '''n'''은 승교점을 향한 벡터를 말한다(즉 ''z'' 요소의 ''n'' 값은 0이다).

====궤도 경사 0의 원 궤도====
[[궤도 경사]]가 0인 원 궤도에서는 특정할 만한 [[궤도 교점]]이 없어 위도 인수 또한 정의되지 않는다. 따라서 이 때는 [[진 경도]](true longitude)를 사용한다.

:<math> l = \arccos { r_x  \over { \mathbf{\left |r \right |}}}</math>
::(만약 {{nowrap|''v<sub>x</sub>'' > 0}} 이라면 {{mvar|l}}를 {{nowrap|2{{pi}} − {{mvar|l}}로 치환}})

* ''r<sub>x</sub>''는 [[궤도 위치 벡터]] ''r''의 ''x'' 요소이다.
* ''v<sub>x</sub>''는 [[궤도 속도 벡터]] ''v''의 ''x'' 요소이다.'''.

===편심 이각으로부터===
진근점 이각 {{mvar|ν}}와 [[편심 이각]] ''E'' 사이의 관계는 다음과 같다.

:<math>\cos{\nu} = {{\cos{E} - e} \over {1 - e \cos{E}}}</math>

또는 [[사인]]과 [[탄젠트]]를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.<ref>Fundamentals of Astrodynamics and Applications by David A. Vallado</ref>

:<math>\sin{\nu} = {{\sqrt{1-e^2} \sin{E}} \over {1 - e \cos{E}}}</math>

:<math>\tan{\nu} = {{\sin{\nu}} \over {\cos{\nu}}} = {{\sqrt{1-e^2} \sin{E}} \over {\cos{E} -e}}</math>

이는 아래의 식과 동등하다.

:<math>\tan{\nu \over 2} = \sqrt{{{1+e} \over {1-e}}} \tan{E \over 2}.</math>

그러므로, 다음과 같이 나타난다.

:<math>  \nu   = 2 \, \mathop{\mathrm{arg}}\left(\sqrt{1-e} \, \cos\frac{E}{2} , \sqrt{1+e}\sin\frac{E}{2}\right)</math>

arg(''x'',&nbsp;''y'')는 벡터 (''x'',&nbsp;''y'')의 극 성분이다(이는 대부분의 프로그램에 내장된 <code>[[atan2|atan2(''y'', ''x'')]]</code> 또는 <code>ArcTan[''x'', ''y'']</code>으로 계산할 수 있다).

===진근점 이각으로부터 반지름===
반지름(타원의 초점과 물체 사이의 거리)는 진근점 이각과 다음과 같은 관계가 있다.

<math>r = a\cdot{1 - e^2 \over 1 + e \cos\nu}\,\!</math>

''a''는 궤도 [[긴반지름]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[케플러의 행성운동법칙]]
* [[평균 근점 이각]]
* [[타원]]

== 각주 ==
{{각주}}

;참조
* Murray, C. D. & Dermott, S. F. 1999, ''Solar System Dynamics'', Cambridge University Press, Cambridge. {{ISBN|0-521-57597-4}}
* Plummer, H.C., 1960, ''An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy'', Dover Publications, New York. {{OCLC|1311887}} (Reprint of the 1918 Cambridge University Press edition.)

{{궤도}}

[[분류:궤도]]