직교 여공간 문서 원본 보기

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[[선형대수학]]에서 '''직교 여공간'''(直交餘空間, {{llang|en|orthogonal complement}})은 주어진 부분공간과 수직인 벡터들의 공간이다.

== 정의 ==
[[내적 공간]] <math>(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)</math>의 부분공간 <math>W\subset V</math>의 '''직교 여공간''' <math>W^\perp\subset V</math>은 다음과 같은 부분공간이다.
:<math>W^\perp=\{v\in V|\forall w\in W\colon\langle v,w\rangle=0\}</math>

== 성질 ==
[[내적 공간]] <math>V</math>의 부분공간 <math>W\subset V</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
* <math>W^\perp</math>는 [[닫힌 집합]]이다.
* <math>W^\perp\cap W=\{0\}</math>
* <math>W\subset W^{\perp\perp}</math>
* 만약 <math>W_1\subset W_2\subset V</math>라면, <math>W_2^\perp\supset W_1^\perp</math>이다.
만약 <math>V</math>가 [[힐베르트 공간]]이라면, 다음이 추가로 성립한다.
* <math>W\subset\operatorname{cl}(W)=W^{\perp\perp}</math> (<math>\operatorname{cl}</math>은 [[폐포 (위상수학)|폐포]]). 따라서 만약 <math>W</math>가 [[닫힌 집합]]이라면 <math>W=W^{\perp\perp}</math>이다.
* <math>W^\perp=(\operatorname{cl}W)^\perp=\operatorname{cl}(W^\perp)</math>
* <math>V=\operatorname{cl}(W)\oplus W^\perp</math>

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Complementation}}
* {{매스월드|id=OrthogonalComplement|title=Orthogonal complement}}

{{전거 통제}}

[[분류:선형대수학]]
[[분류:함수해석학]]