직교 스펙트럼 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[호모토피 이론]]에서 '''직교 스펙트럼'''(直交spectrum, {{llang|en|orthogonal spectrum}})은 [[직교군]]의 [[등변 함수|등변]] [[군의 작용|작용]]을 갖춘 [[스펙트럼 (위상수학)|스펙트럼]]의 일종이다.<ref>{{저널 인용|이름=Michael|성=Mandell|이름2=Peter|성2=May|이름3=Stefan|성3=Schwede|이름4=Brooke|성4=Shipley|제목=Model categories of diagram spectra|url=https://faculty.math.illinois.edu/K-theory/0320/|doi=10.1112/S0024611501012692|권=82|호=2|날짜=2001-03|쪽=441-512|저널=Proceedings of the London Mathematical Society|언어=en|access-date=2018-09-30|archive-date=2018-10-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20181001031233/https://faculty.math.illinois.edu/K-theory/0320/|url-status=}}</ref> 이들의 범주는 분쇄곱을 가져 [[대칭 모노이드 범주]]를 이루며, 따라서 그 속에서 [[환 스펙트럼]]이 잘 정의된다.

=== 정의 ===
<math>\operatorname{CGWH}</math>가 [[콤팩트 생성 공간|콤팩트 생성]] [[약한 하우스도르프 공간]]의 범주라고 하자. 이는 (모든 위상 공간의 범주와 달리) [[데카르트 닫힌 범주]]를 이룬다. 이 범주에 대하여, [[점을 가진 공간]]의 범주
:<math>\operatorname{CGWH}_\bullet = \operatorname{CGWH} \backslash \{\bullet\}</math>
를 [[한원소 공간]] <math>\{\bullet\}</math> 위의 [[쌍대 조각 범주]]로서 취할 수 있다. 이제, [[곱공간]]과 [[분쇄곱]] 연산은 이 범주에서 취한다고 하자.

<math>G</math>가 다음 세 가지 가운데 하나라고 하자.
:{| class=wikitable
! 이름 !!  <math>G(n)</math> !! <math>\mathbb K</math> || <math>k=\dim_{\mathbb R}\mathbb K</math> !! <math>G</math>구조 스펙트럼의 이름
|-
| [[직교군]] || <math>\operatorname O(n)</math> || <math>\mathbb R</math> [[실수체]] || 1 || '''직교 스펙트럼'''({{llang|en|orthogonal spectrum}})
|-
| [[유니터리 군]] || <math>\operatorname U(n)</math> || <math>\mathbb C</math> [[복소수체]] || 2 || '''유니터리 스펙트럼'''({{llang|en|unitary spectrum}})
|-
| 콤팩트 [[심플렉틱 군]] || <math>\operatorname{USp}(2n)=\operatorname{Sp}(n)</math> || <math>\mathbb H</math> [[사원수]] 대수 || 4 || '''심플렉틱 스펙트럼'''({{llang|en|symplectic spectrum}})
|}

다음과 같은 [[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal V_{\mathbb K}</math>를 생각하자.
* <math>\mathcal V_{\mathbb K}</math>의 대상은 유한 차원 <math>\mathbb K</math>-[[내적 공간]]이다.
* <math>\mathcal V_{\mathbb K}</math>의 사상은 같은 차원의 내적 공간 사이의 [[유니터리 변환]]들이다. 즉, 그 사상 집합은 <math>\hom_{\mathcal V_{\mathbb K}}(V,V)\cong G(\dim_{\mathbb K}V)</math>이다.
이는 내적 공간의 [[직합]]에 대하여 [[대칭 모노이드 범주]]를 이룬다. 실수 <math>nk</math>차원 [[유클리드 공간]] <math>V</math>의 [[알렉산드로프 콤팩트화]] <math>\hat V</math>는 <math>nk</math>차원 [[초구]] <math>\mathbb S^{nk}</math>이며, 이에 따라 함자
:<math>{\hat{\color{White}m}}\colon \mathcal V\to\operatorname{CGWH}_\bullet</math>
가 존재한다. (밑점은 [[알렉산드로프 콤팩트화]]에 의하여 추가된 점이다.)

이 경우, '''<math>G</math>구조 스펙트럼'''({{llang|en|spectrum with <math>G</math>-structure}}) <math>X</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.<ref name="Schwede"/>{{rp|Definition 7.2}}
* [[함자 (수학)|함자]] <math>X\colon \mathcal V_{\mathbb K}\to\operatorname{CGWH}_\bullet</math>. <math>n</math>차원 내적 공간의 상을 <math>X(n)=X(\mathbb K^n)\in \operatorname{CGWH}_\bullet</math>이라고 하자. 특히, <math>X(n)</math> 위에는 <math>\operatorname{Aut}_{\mathcal V_{\mathbb K}}(\mathbb K^n) = G(n)</math>의 연속 [[군의 작용|작용]]이 주어진다.
* 각 <math>V,W\in \mathcal V_{\mathbb K}</math>에 대하여, 밑점을 보존하는 [[연속 함수]] <math>f_{V,W}\colon\hat V\wedge X(W)\to X(V\oplus W)</math>. 이를 '''구조 사상'''(構造寫像, {{llang|en|structure map}})이라고 한다. 이는 또한 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
** (등변성) <math>f_{V,W}\colon\hat V\wedge X(W)\to X(V\oplus W)</math>는 <math>G(V)\times G(W)</math>의 [[군의 작용|작용]]에 대하여 [[등변 함수]]이다.
** (항등원) <math>f_{0,V} = \operatorname{id}_{X(V)}</math> ([[항등 함수]])
** (결합성) <math>f_{W,U\oplus V} \circ f_{V,U} = f_{W\oplus V,U} \colon \widehat{W \oplus V} \wedge X(U) \to X(W\oplus V \oplus U)</math>이다. (여기서 [[초구]]의 [[분쇄곱]] 사이의 표준적 사상 <math>\widehat{W\oplus V} \cong \widehat W \wedge \hat V</math>를 사용하였다.)

두 직교 스펙트럼 <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 '''사상'''은 구조 사상과 호환되는 [[자연 변환]] <math>f\colon X\to Y</math>이다. 여기서 구조 사상과 호환된다는 것은 다음 그림이 가환한다는 것이다.
:<math>
\begin{matrix}
X(V)\wedge\mathbb S^k&\xrightarrow{f_V\wedge\mathbb S^k}&Y(V)\wedge\mathbb S^k\\
\downarrow&&\downarrow\\
X(V\oplus\mathbb K)&\xrightarrow[f_{V\oplus\mathbb K}]{}&Y(V\oplus\mathbb K)
\end{matrix}
</math>

<math>\mathbb K=\mathbb R</math>일 때, [[직교군]] 구조 스펙트럼을 줄여서 '''직교 스펙트럼'''이라고 한다. 마찬가지로, <math>\mathbb K = \mathbb C</math>인 경우는 '''유니터리 스펙트럼''', <math>\mathbb K = \mathbb H</math>인 경우는 '''심플렉틱 스펙트럼'''이다.

== 성질 ==
[[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(n)</math>은 <math>\operatorname O(n)</math>의 [[부분군]]이므로, 직교 스펙트럼은 (추가 구조를 갖춘) [[대칭 스펙트럼]]이다.

직교 스펙트럼 <math>X</math>의 '''안정 호모토피 군'''({{llang|en|stable homotopy group}})은 다음과 같다.
:<math>\pi_\bullet(X)=\varinjlim_{n\to\infty}\pi_{\bullet+n}(X(\mathbb R^n))</math>
직교 스펙트럼 사이의 '''약한 동치'''({{llang|en|weak equivalence}})는 안정 호모토피 군의 동형을 유도하는 직교 스펙트럼 사상이다. 이에 따라 직교 스펙트럼의 범주 위에는 [[모형 범주]] 구조가 존재하며, 이에 따른 [[호모토피 범주]]는 다른 스펙트럼 범주의 호모토피 범주와 [[범주의 동치|동치]]이다.

== 예 ==
=== 현수 스펙트럼 ===
임의의 [[콤팩트 생성 공간|콤팩트 생성]] [[약한 하우스도르프 공간]] <math>X</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
:<math>X(V) = \hat V \wedge X</math>
를 정의하고, 그 위의 <math>G(V)</math> 작용은 <math>V</math> 위의 작용으로부터 유도된다고 하자. 그 위의 구조 사상은 [[초구]]의 [[분쇄곱]] 사이의 동형으로부터 유도된다. 그렇다면, 이는 <math>G</math>구조 스펙트럼을 이룬다. 이를 <math>X</math>의 '''현수 스펙트럼'''({{llang|en|suspension spectrum}})이라고 한다.

특히, <math>X = \mathbb S^0</math>(0차원 [[초구]] = 크기 2의 [[이산 공간]])일 때, 이를 '''[[초구]] 스펙트럼'''({{llang|en|sphere spectrum}})이라고 한다.

=== 자유 직교 스펙트럼 ===
임의의 유한 차원 <math>\mathbb K</math>-벡터 공간 <math>V</math>에 대하여, <math>V</math>차 성분을 고르는 함자
:<math>U_V\colon \operatorname{Spectrum}_G \to \operatorname{CGWH}_G</math>
:<math>U_V \colon X \mapsto X(V)</math>
가 존재한다. 이 함자는 [[왼쪽 수반 함자]]
:<math>F_V\colon \operatorname{CGWH}_G \to \operatorname{Spectrum}_G</math>
:<math>F_V \dashv U_V</math>
를 가지며, 구체적으로 
:<math>(F_VX)(V\oplus W) = G(V\oplus W)_+ \wedge_{G(W)} X\wedge \widehat W</math>
:<math>(F_VX)(W) = \{\bullet\} \qquad (\dim W < \dim V)</math>
이다.<ref name="Schwede">{{웹 인용|url=http://www.math.uni-bonn.de/~schwede/SymSpec-v3.pdf | 성=Schwede | 이름=Stefan | 제목=Symmetric Spectra | 언어=en}}</ref>{{rp|§7.1}}

=== 톰 스펙트럼 ===
{{본문|톰 스펙트럼}}
실수에 대한 [[톰 스펙트럼]] <math>\operatorname{MO}</math>은 자연스럽게 직교 스펙트럼을 이룬다.<ref name="Schwede"/> 마찬가지로 <math>\operatorname{MU}</math>는 유니터리 스펙트럼을 이룬다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=orthogonal spectrum|title=Orthogonal spectrum}}
* {{nlab|id=model structure on orthogonal spectra|title=Model structure on orthogonal spectra}}
* {{nlab|id=free spectrum|title=Free spectrum}}
* {{nlab|id=orthogonal ring spectrum|title=Orthogonal ring spectrum}}

[[분류:호모토피 이론]]