직교행렬 문서 원본 보기

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[[선형대수학]]에서 '''직교 행렬'''(直交行列, orthogonal matrix)은 행벡터와 열벡터가 [[유클리드 공간]]의 [[정규 직교 기저]]를 이루는 [[실수]] [[행렬]]이다.

== 정의 ==
[[실수]] <math>n\times n</math> [[행렬]] <math>Q</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 <math>Q</math>를 '''직교 행렬'''이라고 한다.
* <math>QQ^\operatorname T=Q^\operatorname TQ=1_{n\times n}</math>. 즉, <math>Q</math>의 [[전치 행렬]]은 <math>Q</math>의 [[역행렬]]이다.
* <math>Q</math>의 열벡터들은 <math>\mathbb R^n</math>의 [[정규 직교 기저]]를 이룬다.
* <math>Q</math>의 행벡터들은 <math>\mathbb R^n</math>의 [[정규 직교 기저]]를 이룬다.
* <math>\mathbb R^n</math>의 모든 정규 직교 기저 <math>\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}</math>에 대하여, <math>\{Q\mathbf e_1,\dots,Q\mathbf e_n\}</math>은 <math>\mathbb R^n</math>의 정규 직교 기저다.
* <math>\mathbb R^n</math>의 어떤 정규 직교 기저 <math>\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}</math>에 대하여, <math>\{Q\mathbf e_1,\dots,Q\mathbf e_n\}</math>은 <math>\mathbb R^n</math>의 정규 직교 기저다.
* 임의의 벡터 <math>\mathbf x,\mathbf y\in\mathbb R^n</math>에 대하여, <math>(Q\mathbf x)\cdot(Q\mathbf y)=\mathbf x\cdot\mathbf y</math>
* 임의의 벡터 <math>\mathbf x\in\mathbb R^n</math>에 대하여, <math>(Q\mathbf x)\cdot(Q\mathbf x)=\mathbf x\cdot\mathbf x</math>

== 성질 ==
모든 직교 행렬은 [[가역 행렬]]이며, 직교 행렬의 곱은 항상 직교 행렬이므로, <math>n\times n</math> [[직교 행렬]]의 집합은 [[직교군]] <math>\operatorname O(n;\mathbb R)</math>이라는 [[군 (수학)|군]]을 이룬다. 행렬식이 1인 직교 행렬의 집합은 [[특수직교군]] <math>\operatorname{SO}(n;\mathbb R)</math>이라는 [[부분군]]을 이룬다.

== 예 ==
실수 <math>1\times1</math> 직교 행렬은 다음과 같은 꼴과 동치이다.
:<math>\begin{pmatrix}\pm1\end{pmatrix}</math>
실수 <math>2\times2</math> 직교 행렬은 다음과 같은 꼴과 동치이다.
:<math>\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\epsilon\sin\theta&\epsilon\cos\theta\end{pmatrix}\qquad\theta\in\mathbb R,\;\epsilon=\pm1</math>

== 같이 보기 ==
* [[유니터리 행렬]]
* [[특잇값 분해]]
* [[QR 분해]]
{{행렬의 종류}}
{{전거 통제}}

[[분류:행렬]]