지수 함수 문서 원본 보기

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[[파일:Exp.svg|오른쪽|200px|섬네일|지수 함수 <math>y=\exp x</math>의 그래프]]
'''지수 함수'''(指數函數, {{llang|en|exponential function}})란 [[거듭제곱]]의 [[지수]]를 변수로 하고, 정의역을 실수 전체로 정의하는 [[초월함수]]이다. [[로그 함수]]의 [[역함수]]이다.

== 정의 ==
=== 거듭제곱을 통한 정의 ===
지수 함수는 [[거듭제곱]]을 사용하여 정의할 수 있다. 먼저 거듭제곱 <math>a^b</math>를 다음과 같이 정의하자.
* <math>b</math>가 음이 아닌 정수일 때,
*:<math>a^b=\underbrace{a\times\cdots\times a}_b</math>
* <math>b</math>가 음의 정수일 때,
*:<math>a^b=\frac1{a^{-b}}</math>
* <math>b=m/n</math>가 유리수이며, <math>m</math>과 <math>n</math>이 [[서로소 아이디얼|서로소]]이며, <math>a>0</math>일 때,
*:<math>a^b=\sqrt[n]{a^m}</math>
* <math>b</math>가 실수이며, <math>a>0</math>일 때,
*:<math>a^b=\sup_{{\scriptstyle c\in\mathbb Q}\atop{\scriptstyle c<b}}a^c</math>
이제 지수 함수를 정의하자. 1이 아닌 양의 실수
:<math>a>0</math>
:<math>a\ne1</math>
를 밑으로 하는 '''지수 함수''' <math>f_a\colon\mathbb R\to\mathbb R^+</math>는 다음과 같다.
:<math>f_a(x)=a^x\qquad(x\in\mathbb R)</math>
여기서 우변은 밑이 <math>a</math>, 지수가 <math>x</math>인 거듭제곱이다. 즉, 지수 함수는 밑이 고정된 채 변화하는 지수에 대한 거듭제곱을 구하는 함수이다. 

함수
:<math>\exp\colon\mathbb R\to\mathbb R^+</math>
는 [[자연로그의 밑]]
:<math>\mathrm e=2.71828\cdots</math>
을 밑으로 하는 지수 함수
:<math>\exp x=\mathrm e^x</math>
를 나타낸다. '''지수 함수'''는 흔히 이 특수한 지수 함수만을 일컫는다. 또한, 이를 사용하여 일반적인 밑의 지수 함수를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>a^x={\mathrm e}^{x\ln a}</math>
여기서 <math>\ln</math>은 [[자연로그]]이다. 물론, 다른 특수한 밑부터 시작하여 일반적인 지수 함수에 이를 수도 있다. 하지만 다른 밑에 대한 지수 함수의 직접적인 정의는 상대적으로 더 복잡하다.

=== 극한을 통한 정의 ===
'''지수 함수''' <math>\exp\colon\mathbb R\to\mathbb R^+</math>는 다음과 같다.
:<math>\exp x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n</math>
우변은 [[수열의 극한]]이다. 수열
:<math>\left(1+\frac xn\right)^n</math>
은 [[유계 수열]]이며, <math>x>0</math>인 경우 [[순증가함수|순증가]], <math>x<0</math>인 경우 [[순감소함수|순감소]]한다. 이는 보통 [[이항 정리]]를 사용하여 증명하며, [[산술-기하 부등식]]을 통한 증명도 존재한다. [[단조 수렴 정리 (미적분학)|단조 수렴 정리]]에 따라, 이 수열은 수렴한다.

일반적인 밑
:<math>a>0</math>
:<math>a\ne1</math>
에 대한 '''지수 함수'''는 다음과 같다.
:<math>a^x=\exp(x\ln a)</math>
특히,
:<math>\mathrm e^x=\exp(x\ln\mathrm e)=\exp x</math>
이다.

=== 멱급수를 통한 정의 ===
'''지수 함수''' <math>\exp\colon\mathbb R\to\mathbb R^+</math>는 다음과 같다.
:<math>\begin{align}
\exp x
 & =\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!} \\
 & =1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots
\end{align}
</math>
우변은 지수 함수의 [[테일러 급수]]이다. 이 급수가 모든 <math>x</math>에 대하여 수렴함은 이를테면 [[비 판정법]] 또는 [[코시-아다마르 정리]]를 사용하여 보일 수 있다. 다른 정의를 사용하는 경우, 우변의 [[멱급수]]가 테일러 급수임은 이를테면 라그랑주 나머지 항에 대한 [[테일러 정리]]를 사용하여 보일 수 있다.

일반적인 밑
:<math>a>0</math>
:<math>a\ne1</math>
에 대한 '''지수 함수'''는 다음과 같다.
:<math>a^x=\exp(x\ln a)</math>
특히,
:<math>\mathrm e^x=\exp(x\ln\mathrm e)=\exp x</math>
이다.

=== 로그 함수의 역함수로서의 정의 ===
[[로그 함수]]를 [[정적분]]을 이용하여 정의할 경우, 지수 함수를 [[로그 함수]]의 [[역함수]]로 정의할 수 있다.

[[자연로그]]를 다음과 같이 정의하자.
:<math>\ln x=\int_{1}^{x} {1 \over t}\, dt</math>

이때 <math>y= \ln x</math>는 [[강한 증가 함수]]이며 치역이 실수 전체이므로 [[역함수]]가 존재한다. 이때의 [[역함수]]를 <math>y=\exp (x)</math>라고 표기한다.

이 함수의 도함수는 역함수의 미분에 의하여

<math>{dy \over dx}={1 \over {dx \over dy}}={1 \over {1 \over y}}=y</math>

즉, <math>{d \over dx} \exp (x)= \exp (x)</math>이다. 또한, <math>\ln 1=0</math> 이므로, <math>\exp (0)=1</math>이다.

그리고 로그함수와의 역함수 관계를 이용하여 다음 등식이 성립함을 간단히 보일 수 있다.

<math>\exp (a+b)=\exp (a)\cdot \exp (b)</math>

:<math>\exp (a)=p, \exp (b)=q</math>로 놓으면
:<math>a=\ln p, b=\ln q</math>이므로 로그의 성질에 의하여 <math>a+b=\ln p+\ln q=\ln pq</math>
:따라서 <math>\exp (a+b)=pq=\exp (a)\cdot\exp (b)</math>가 성립한다.

[[로그함수]] <math>y=\ln x</math>는 정의역 전체에서 [[연속 함수]]이므로 [[중간값 정리]]에 의하여 방정식 <math>\ln x=1</math>를 만족하는 해 <math>x</math>가 존재하며, [[단사함수]]이므로 실수 <math>x</math>는 단 한개만 존재한다. 방정식 <math>\ln x=1</math>의 해를 <math>x=e</math>라 하자.

<math>\therefore \ln e=1, \exp (1)=e</math>

이제 <math>\exp (x)=e^x</math>로 놓고 이것을 '''지수함수'''로 정의한다.

[[수학적 귀납법]]을 이용하면 <math>x</math>가 [[자연수]]일 때 <math>\exp (x)=\underbrace{e\times e\times e\times\cdots e}_x</math>임을 보일 수 있다.

이제 일반적인 밑을 가진 지수를 <math>a^x=e^{x\ln a}</math> <math>(a>0)</math>로 정의하자.

마찬가지로 [[수학적 귀납법]]을 이용하여 [[자연수]] <math>x</math>에 대하여 <math>a^x=\underbrace{a\times a\times a\times\cdots a}_x</math>임을 보일 수 있다.

증명은 다음과 같다.
;1에 대하여 성립
:<math>a^1=e^{\ln a}=a</math>
;<math>n</math>에 대하여 성립한다는 가정 아래, <math>n+1</math>에 대하여 성립
::<math>a^n=\underbrace{a\times a\times a\times\cdots a}_n</math>
:양변에 a를 곱하면
::<math>a^n\cdot a=\underbrace{a\times a\times a\times\cdots a}_{n+1}</math>
:위 식의 좌변은 다음과 같이 정리된다.
::<math>a^n\cdot a=a^n\cdot a^1=e^{n\ln a}\cdot e^{\ln a}=e^{n\ln a+\ln a}=e^{(n+1)\ln a}=a^{n+1}</math>
::<math>\therefore a^{n+1}=\underbrace{a\times a\times a\times\cdots a}_{n+1}</math>
:따라서 [[수학적 귀납법]]에 의하여 자연수 <math>x</math>에 대하여 <math>e^{x\ln a}</math>로 정의된 <math>a^x</math>는 a를 x번 곱한 것과 같다.

== 성질 ==
지수 함수의 [[정의역]]은 실수 전체이다. 지수 함수의 [[치역]]은 양의 실수의 집합 <math>\mathbb R^+</math>이다.

=== 단조성 ===
지수 함수는 [[단조함수]]이다. 만약 <math>a>1</math>이라면, 지수 함수 <math>f(x)=a^x</math>는 [[증가함수]]이다. 만약 <math>0<a<1</math>이라면, 지수 함수 <math>f(x)=a^x</math>는 [[감소함수]]이다.

=== 극한 ===
<math>a>1</math>일 때, 지수 함수의 양과 음의 무한대에서의 극한은 다음과 같다.
:<math>\lim_{x \to \infty}a^x=\infty</math>
:<math>\lim_{x \to -\infty}a^x=0</math>

<math>0<a<1</math>일 때, 지수 함수의 양과 음의 무한대에서의 극한은 다음과 같다.
:<math>\lim_{x \to \infty}a^x=0</math>
:<math>\lim_{x \to -\infty}a^x=\infty</math>

따라서, 지수 함수는 <math>x</math>축을 [[점근선]]으로 갖는다.

지수 함수의 유한한 점에서의 극한은 함수의 값과 같다. 즉, 지수 함수는 [[연속 함수]]이다.
:<math>\lim_{x\to x_0}a^x=a^{x_0}</math>

=== 미분 ===
밑이 [[자연로그의 밑]]인 지수 함수 <math>\mathrm e^x</math>의 [[도함수]]는 스스로와 같다.
:<math>\frac d{dx}\mathrm e^x=\mathrm e^x</math>

<math>a^x=\mathrm e^{x\ln a}</math>이므로, 일반적인 지수 함수의 [[도함수]]는
:<math>\frac d{dx}a^x=a^x\ln a</math>
가 된다.
{{증명|제목=[[연쇄 법칙]]을 통한 유도}}
[[연쇄 법칙]]에 따라,
:<math>\frac d{dx}a^x=\frac d{dx}\mathrm e^{x\ln a}=\frac{d\mathrm e{x\ln a}}{dx\ln a}\frac{d x\ln a}{dx}=\mathrm e{x\ln a}\ln a=a^x\ln a</math>
{{증명 끝}}
{{증명|제목=음함수 미분을 통한 유도}}
<math>y=a^x</math> 양변에 로그를 취하면 다음을 얻는다.
:<math>\ln y=x\ln a</math>
양변을 <math>x</math>에 대하여 미분하면 다음을 얻는다.
:<math>\frac1y\frac{dy}{dx}=\ln a</math>
정리하면 다음과 같다.
:<math>\frac{dy}{dx}=y\ln a=a^x\ln a</math>
{{증명 끝}}

지수 함수 <math>y=\mathrm e^x</math>는 [[미분 방정식]]
:<math>dy/dx = y</math>
:<math>y(0)=1</math>
의 유일한 해이다. 이는 지수 함수의 정의로 삼을 수 있다.

=== 체론적 성질 ===
다음과 같은 유리수 계수 다항식을 생각하자.
:<math>\begin{align}
f_n(x)
 & =\sum_{i=0}^nx^i/i! \\
 & =((\exp x)/\Gamma(n+1))\int_x^\infty t^n\exp(-t)\,dt \\
 & \in\mathbb Q[x]
\end{align}
</math>
즉, 이는 지수 함수 <math>\exp</math>의 [[테일러 급수]]의 [[부분합]]이다. 이 다항식은 유리수 계수 [[다항식]]이며, <math>n\ne0</math>인 경우 [[기약 다항식]]이다. 또한, 이 다항식의 [[분해체]]의 [[갈루아 군]]은 다음과 같다.<ref name="Schur-ohne-affekt">{{저널 인용|성=Schur|이름=Issai|저자링크=이사이 슈어|제목=Gleichungen ohne Affekt|언어=de|저널=Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-Mathematische Klasse|권=1930년|쪽=443–449|날짜=1930|jfm=56.0110.02}}</ref><ref name="Schur-affketlose">{{저널 인용|성=Schur|이름=Issai|저자링크=이사이 슈어|제목=Affektlose Gleichungen in der Theorie der Laguerreschen und Hermiteschen Polynome|언어=de|저널=Journal für die Reine und Angewandte Mathematik|권=165|쪽=52–58|날짜=1931|issn=0075-4102|doi=10.1515/crll.1931.165.52|mr=1581272|zbl=0002.11501|jfm=57.0125.05|eudml=149767}}</ref><ref name="Lang">{{서적 인용|성=Lang|이름=Serge|저자링크=서지 랭|제목=Algebra|언어=en|판=개정 3|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=211|출판사=Springer|위치=[[뉴욕]]|날짜=2002|issn=0072-5285|isbn=978-1-4612-6551-1|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0|zbl=0984.00001|mr=1878556|id={{구글 도서 식별자|Fge-BwqhqIYC}}}}</ref>{{rp|274, Example 8(a)}}
:<math>\operatorname{Gal}(f_n)\cong\begin{cases}
\operatorname{Sym}(n) & 4\nmid n \\
\operatorname{Alt}(n) & 4\mid n
\end{cases}
</math>

== 같이 보기 ==
* [[자연로그의 밑]]
* [[행렬 지수 함수]]
* [[지수열]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류|exponential function}}
* {{플래닛매스|urlname=ComplexExponentialFunction|제목=Complex exponential function}}
* {{매스월드|id=ExponentialFunction|title= Exponential Function}}

{{전거 통제}}

[[분류:함수와 사상]]
[[분류:초등 특수 함수]]
[[분류:해석 함수]]
[[분류:특수 초기하함수]]
[[분류:거듭제곱]]