지수열 문서 원본 보기

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복소기하학에서, '''지수열'''(指數列, {{llang|en|exponential sequence}})은 복소수의 [[지수 함수]]로부터 유도되는 [[층 (수학)|층]]들의 [[긴 완전열]]이다.

== 정의 ==
[[복소다양체]] <math>M</math> 위에서, <math>\mathcal O_M</math>이 [[정칙 함수]]의 [[층 (수학)|층]], <math>\mathcal O_M^\times</math>이 가역 [[정칙 함수]]의 [[층 (수학)|층]]이라고 하자. 이는 둘 다 [[아벨 군]]의 층이다. 그렇다면, [[지수 함수]]
:<math>\exp(2\pi i\cdot(-))\colon\mathbb C\to\mathbb C^\times</math>
로부터, 층의 사상
:<math>\exp\colon\mathcal O_X\to\mathcal O_X^\times</math>
을 정의할 수 있다. 이로 인하여, 다음과 같은 층의 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>0\to\underline{\mathbb Z}\to \mathcal O_M\xrightarrow{\exp(2\pi i\cdot)}\mathcal O_M^\times \to 0</math>
여기서 <math>\underline{\mathbb Z}</math>는 <math>\mathbb Z</math>의 값을 갖는 [[상수층]]이다.

임의의 [[열린집합]] <math>U\subseteq M</math>에 대하여, 단면 함자 <math>\Gamma(U;-)</math>를 취하면, 다음과 같은 [[긴 완전열]]을 얻는다.
:<math>0\to H^0(U;\underline{\mathbb Z})\to H^0(U;\mathcal O_M)\to H^0(U;\mathcal O_M^\times)\to H^1(U;\underline{\mathbb Z})\to H^1(U;\mathcal O_M)\to H^1(U;\mathcal O_M^\times)\to
H^2(U;\underline{\mathbb Z})\to H^2(U;\mathcal O_M)\to H^2(U;\mathcal O_M^\times)\to
\cdots</math>
이를 '''지수열'''이라고 한다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic geometry]]|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|446–447, §B.5}}

== 성질 ==
=== 로그의 존재 ===
지수열
:<math>0\to H^0(U;\underline{\mathbb Z})\to H^0(U;\mathcal O_M)\xrightarrow{\exp(2\pi i\cdot)}H^0(U;\mathcal O_M^\times)\to H^1(U;\underline{\mathbb Z})</math>
에서, [[지수 함수]] <math>\exp</math>의 역함수 <math>\log</math>가 (적어도 하나 이상) 존재하려면, <math>\exp</math>가 [[전사 함수]]여야 한다. 따라서, <math>U</math>가 [[단일 연결 공간]]이라면 (<math>H^0(U;\mathbb Z)\cong H^1(U;\mathbb Z)\cong 0</math>), 어디서도 0이 아닌 모든 함수는 (적어도 하나의) 로그를 취할 수 있다.

예를 들어, <math>U=\mathbb C^\times</math>인 경우, <math>z\mapsto1/z</math>는 어디서도 0이 아니지만, 로그를 취할 수 없다.

=== 천 특성류 ===
지수열
:<math>\cdots\to H^1(U;\underline{\mathbb Z})\to H^1(U;\mathcal O_M)\to H^1(U;\mathcal O_M^\times)\to
H^2(U;\underline{\mathbb Z})\to H^2(U;\mathcal O_M)\to\cdots</math>
에서, <math>H^1(U;\mathcal O_M^\times)</math>는 <math>U</math>의 [[피카르 군]](해석적 [[선다발]]의 텐서곱군)이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|446–447}} 따라서, 사상 <math>H^1(U;\mathcal O_M^\times)\to H^2(M;\mathbb Z)</math>는 해석적 [[선다발]]을 그 [[천 특성류]]로 대응시킨다.

만약 <math>U</math>가 [[슈타인 다양체]]인 경우, [[카르탕 B정리]]에 의하여
:<math>H^1(U;\mathcal O_M)\cong H^2(U;\mathcal O_M)\cong0</math>
이다. 따라서
:<math> H^1(U;\mathcal O_M^\times)\cong H^2(U;\mathbb Z)</math>
이다. 즉, 해석적 선다발들은 2차 코호몰로지류와 (천 특성류에 의하여) [[일대일 대응]]한다.

== 예 ==
<math>\Sigma_g</math>가 종수 <math>g</math>의 연결 콤팩트 [[리만 곡면]]이라고 하자. 그렇다면 [[특이 코호몰로지]] 군들은 다음과 같다.
:<math>H^1(\Sigma_g;\underline{\mathbb Z})\cong\mathbb Z^{2g}</math>
:<math>H^0(\Sigma_g;\underline{\mathbb Z})\cong H^2(\Sigma_g;\underline{\mathbb Z})\cong\mathbb Z</math>
:<math>H^i(\Sigma_g;\underline{\mathbb Z})=0\qquad\forall i>2</math>
또한, 연결 콤팩트 리만 곡면 위의 [[정칙 함수]]는 [[상수 함수]]밖에 없으므로, 다음이 성립한다.
:<math>H^0(\Sigma_g;\mathcal O_{\Sigma_g})\cong\mathbb C</math>
:<math>H^0(\Sigma_g;\mathcal O_{\Sigma_g})\cong\mathbb C^\times</math>
또한, [[돌보 코호몰로지]]에 의하여 다음이 성립한다.
:<math>H^1(\Sigma_g;\mathcal O_{\Sigma_g})\cong\mathbb C^{h^{0,1}}=\mathbb C^g</math>
:<math>H^p(\Sigma_g;\mathcal O_{\Sigma_g})\cong\mathbb C^{h^{0,p}}=0\qquad\forall p>1</math>
따라서, 지수열은 다음과 같다.
:<math>0\to \mathbb Z\to\mathbb C\to\mathbb C^\times\to\mathbb Z^{2g}\to\mathbb C^g\to\operatorname{Pic}(\Sigma_g)\to
\mathbb Z\to0\to0\to0\to\cdots</math>
여기서, <math>\exp(2\pi i\cdot)\colon\mathbb C\to\mathbb C^\times</math>는 [[전사 함수]]이므로, 이 부분은 끊어 없앨 수 있다. 따라서, 지수열의 자명하지 않은 부분은 다음과 같다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|447}}
:<math>0\to\mathbb Z^{2g}\to\mathbb C^g\to\operatorname{Pic}(\Sigma_g)\to\mathbb Z\to0</math>
따라서, [[야코비 다양체]](피카르 군의 항등원의 [[연결 성분]])는 다음과 같다.
:<math>\operatorname J(\Sigma_g)=\operatorname{Pic}^0(\Sigma_g)\cong\mathbb C^g/\mathbb Z^{2g}</math>
또한, [[네롱-세베리 군]]은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{NS}(\Sigma_g)=\operatorname{Pic}(X)/\operatorname J(\Sigma_g)=\mathbb Z</math>
이 동형은 [[인자 (대수기하학)|인자]]의 차수에 의하여 주어진다.

== 같이 보기 ==
* [[쿠쟁 문제]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/exponential+exact+sequence|제목=Exponential exact sequence|웹사이트=nLab|언어=en|확인날짜=2015-02-25|보존url=https://web.archive.org/web/20150225124237/http://ncatlab.org/nlab/show/exponential+exact+sequence|보존날짜=2015-02-25|url-status=dead}}

[[분류:층론]]
[[분류:복소다양체]]