지배 수렴 정리 문서 원본 보기

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[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''지배 수렴 정리'''(支配收斂定理, {{llang|en|dominated convergence theorem}}, 약자 DCT)는 [[르베그 적분]]과 함수열의 [[극한]] 연산을 서로 교환할 수 있다는 것을 보장하는 정리다.

== 정의 ==
=== 확장 지배 수렴 정리 ===
[[측도 공간]] <math>(X,\mathcal S,\mu)</math> 위의 [[가측 함수]]의 열 <math>f_n\colon X\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math> (<math>n\in\mathbb N</math>) 및 [[함수]] <math>f\colon X\to\mathbb R</math>에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 [[가측 함수]]의 열 <math>g_n\colon X\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math> (<math>n\in\mathbb N</math>) 및 [[가측 함수]] <math>g\colon X\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math>가 존재한다고 하자.
* 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.
** (점별 수렴) <math>f_n</math>은 <math>f</math>로 점별 수렴하며, <math>g_n</math>은 <math>g</math>로 점별 수렴한다.
** ([[거의 어디서나]] 수렴) <math>f</math>는 [[가측 함수]]이며, <math>f_n</math>은 <math>f</math>로 거의 어디서나 수렴하며, <math>g_n</math>은 <math>g</math>로 거의 어디서나 수렴한다.
** ([[측도 수렴]]) <math>f</math>는 [[가측 함수]]이며, <math>f_n</math>은 <math>f</math>로 측도 수렴하며, <math>g_n</math>은 <math>g</math>로 측도 수렴한다.
* (적분 가능성) <math>\int_X|g|\mathrm d\mu=\lim_{n\to\infty}\int_X|g_n|\mathrm d\mu<\infty</math>
* (적분 가능 함수열에 의한 지배) 모든 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, 거의 어디서나 <math>|f_n|\le g_n</math>
그렇다면, '''확장 지배 수렴 정리'''(擴張支配收斂定理, {{llang|en|extended dominated convergence theorem}}, 약자 EDCT)에 따르면 다음 조건들이 성립한다.<ref name="Athreya">{{서적 인용
|성1=Athreya
|이름1=Krishna B.
|성2=Lahiri
|이름2=Soumendra N.
|제목=Measure Theory and Probability Theory
|언어=en
|총서=Springer Texts in Statistics
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2006
|isbn=978-0-387-32903-1
|issn=1431-875X
|doi=10.1007/978-0-387-35434-7
|zbl=1125.60001
}}</ref>{{rp|57, §2.3, Theorem 2.3.11}}
* (적분 가능성) <math>\int_X|f|\mathrm d\mu<\infty</math>
* (''L''<sup>1</sup> 수렴) <math>\lim_{n\to\infty}\int_X|f_n-f|\mathrm d\mu=0</math>
* (적분과 극한의 교환) <math>\lim_{n\to\infty}\int_Xf_n\mathrm d\mu=\int_Xf\mathrm d\mu</math>
사실, 이 경우 [[셰페 정리]]({{llang|en|Scheffé's theorem}})에 따라 <math>g_n</math> 역시 <math>g</math>로 ''L''<sup>1</sup> 수렴한다.
{{증명|부제=점별 수렴 또는 거의 어디서나 수렴}}
[[가측 함수]]의 점별 극한이 존재한다면, 이는 가측 함수이다. 따라서 거의 어디서나 수렴의 경우를 증명하면 충분하다.

적분 가능성: 가정에 따라 <math>f</math>와 <math>g</math>는 [[가측 함수]]이며, [[파투 보조정리]]에 따라
:<math>\int_X|f|\mathrm d\mu\le\liminf_{n\to\infty}\int_X|f_n|\mathrm d\mu\le\liminf_{n\to\infty}\int_X|g_n|\mathrm d\mu=\int_X|g|\mathrm d\mu<\infty</math>
이다.

''L''<sup>1</sup> 수렴: [[삼각 부등식]]에 의하여, 거의 어디서나
:<math>|f_n-f|\le|f_n|+|f|\le g_n+g</math>
이므로, <math>g_n+g-|f_n-f|</math>는 거의 어디서나 음이 아닌 가측 함수이다. 이 함수에 [[파투 보조정리]]를 적용하면
:<math>\begin{align}\int_X2g\mathrm d\mu
&\le\liminf_{n\to\infty}\int_X(g_n+g-|f_n-f|)\mathrm d\mu \\
&=\int_X2g\mathrm d\mu-\limsup_{n\to\infty}\int_X|f_n-f|\mathrm d\mu
\end{align}</math>
를 얻는다.

적분과 극한의 교환: [[삼각 부등식]]에 따라
:<math>\limsup_{n\to\infty}\left|\int_Xf_n\mathrm d\mu-\int_Xf\mathrm d\mu\right|\le\lim_{n\to\infty}\int_X|f_n-f|\mathrm d\mu=0</math>
이다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=측도 수렴}}
[[측도 수렴]] 가정에 따라, 임의의 부분열 <math>f_{n_k}</math> (<math>k\in\mathbb N</math>)에 대하여, 각각 <math>f</math>, <math>g</math>로 거의 어디서나 수렴하는 부분열 <math>f_{n_{k_j}}</math>, <math>g_{n_{k_j}}</math>가 존재한다. 거의 어디서나 수렴에 대한 확장 지배 수렴 정리에 따라
:<math>\lim_{j\to\infty}\int_X|f_{n_{k_j}}-f|\mathrm d\mu=0</math>
이다. 이에 따라
:<math>\lim_{n\to\infty}\int_X|f_n-f|\mathrm d\mu=0</math>
이다.
{{증명 끝}}

=== 지배 수렴 정리 ===
[[측도 공간]] <math>(X,\mathcal S,\mu)</math> 위의 [[가측 함수]]의 열 <math>f_n\colon X\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math> (<math>n\in\mathbb N</math>) 및 [[함수]] <math>f\colon X\to\mathbb R</math>에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 [[가측 함수]] <math>g\colon X\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math>가 존재한다고 하자.
* 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.
** (점별 수렴) <math>f_n</math>은 <math>f</math>로 점별 수렴한다.
** ([[거의 어디서나]] 수렴) <math>f</math>는 [[가측 함수]]이며, <math>f_n</math>은 <math>f</math>로 거의 어디서나 수렴한다.
** ([[측도 수렴]]) <math>f</math>는 [[가측 함수]]이며, <math>f_n</math>은 <math>f</math>로 측도 수렴한다.
* (적분 가능성) <math>\int_X|g|\mathrm d\mu<\infty</math>
* (적분 가능 함수에 의한 지배) 모든 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, 거의 어디서나 <math>|f_n|\le g</math>
그렇다면, '''지배 수렴 정리'''에 따르면 다음 조건들이 성립한다.<ref name="Rudin">{{서적 인용
|성=Rudin
|이름=Walter
|제목=Real and Complex Analysis
|언어=en
|판=3판
|출판사=McGraw-Hill
|날짜=1987
|isbn=978-0-07-054234-1
|mr=0924157
|zbl=0925.00005
|url=http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542341.html
|확인날짜=2014-10-06
|보존url=https://web.archive.org/web/20141006084256/http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542341.html
|보존날짜=2014-10-06
|url-status=dead
}}</ref>{{rp|26}}<ref name="Athreya" />{{rp|57, §2.3, Corollary 2.3.12}}
* (적분 가능성) <math>\int_X|f|\mathrm d\mu<\infty</math>
* (''L''<sup>1</sup> 수렴) <math>\lim_{n\to\infty}\int_X|f_n-f|\mathrm d\mu=0</math>
* (적분과 극한의 교환) <math>\lim_{n\to\infty}\int_Xf_n\mathrm d\mu=\int_Xf\mathrm d\mu</math>
{{증명}}
확장 지배 수렴 정리에서 <math>g_n=g</math>를 취한다.
{{증명 끝}}

=== 유계 수렴 정리 ===
[[유한 측도]] 공간 <math>(X,\mathcal S,\mu)</math> (<math>\mu(X)<\infty</math>) 위의 [[가측 함수]]의 열 <math>f_n\colon X\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math> (<math>n\in\mathbb N</math>) 및 함수 <math>f\colon X\to\mathbb R</math>가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.
** (점별 수렴) <math>f_n</math>은 <math>f</math>로 점별 수렴한다.
** ([[거의 어디서나]] 수렴) <math>f</math>는 [[가측 함수]]이며, <math>f_n</math>은 <math>f</math>로 거의 어디서나 수렴한다.
** ([[측도 수렴]]) <math>f</math>는 [[가측 함수]]이며, <math>f_n</math>은 <math>f</math>로 측도 수렴한다.
* <math>\sup_{n\in\mathbb N}\|f_n\|_\infty<\infty</math>
그렇다면, '''유계 수렴 정리'''(有界收斂定理, {{llang|en|bounded convergence theorem}}, 약자 BCT)에 따르면 다음 조건들이 성립한다.<ref name="Athreya" />{{rp|57, §2.3, Corollary 2.3.13}}
* (적분 가능성) <math>\int_X|f|\mathrm d\mu<\infty</math>
* (''L''<sup>1</sup> 수렴) <math>\lim_{n\to\infty}\int_X|f_n-f|\mathrm d\mu=0</math>
* (적분과 극한의 교환) <math>\lim_{n\to\infty}\int_Xf_n\mathrm d\mu=\int_Xf\mathrm d\mu</math>
{{증명}}
지배 수렴 정리에서
:<math>g\colon x\mapsto\sup_{n\in\mathbb N}\|f_n\|_\infty</math>
를 취한다.
{{증명 끝}}

== 역사 ==
역사적으로, [[앙리 르베그]]는 [[르베그 적분]]을 공식화하고 이를 통해 지배 수렴 정리를 증명하였다. 르베그는 지배 수렴 정리를 사용하여, [[해석학 (수학)|해석학]]의 고전적인 문제였던 [[미적분학의 기본정리]]의 조건을 일반화하는 문제에 결정적인 해답을 제시하였다.<ref name="던햄">{{서적 인용|이름=윌리엄|성=던햄|제목=미적분학 갤러리|출판사=한승|날짜=2011|언어=ko}}</ref>{{rp|313}}

구체적으로 말해, 지배 수렴 정리의 [[따름정리]]인 유계 수렴 정리를 사용하여, 르베그는 르베그 적분을 이용할 경우 다음과 같은 꼴의 [[미적분학의 기본정리]]가 성립한다는 것을 증명하였다.<ref name="던햄"/>{{rp|313}}
* 어떤 함수 f가 [[실수]] 상의 [[폐구간]] [a, b]에서 [[미분|미분가능]]하고 그 [[도함수]]가 [[유계]]라면, <math>\int_a^b f'(x)dx = f(b) - f(a).</math>
이는 f의 도함수가 유계라는 것 이외에 이 도함수에 아무런 조건도 걸지 않고 있다. 그러나 [[리만 적분]]을 이용한다면 f의 도함수가 [[연속 함수]]이라거나 리만 적분 가능 함수라는 조건 따위가 추가로 필요하다.

== 같이 보기 ==
* [[확률 변수의 수렴]]
* [[단조 수렴 정리]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Lebesgue theorem}}
* {{매스월드|id=LebesguesDominatedConvergenceTheorem|title=Lebesgue’s dominated convergence theorem}}
* {{플래닛매스|urlname=DominatedConvergenceTheorem|제목=Dominated convergence theorem}}
* {{플래닛매스|urlname=ProofOfDominatedConvergenceTheorem|제목=Proof of dominated convergence theorem}}
* {{플래닛매스|urlname=ProofOfDominatedConvergenceTheorem1|제목=Proof of dominated convergence theorem 1}}
* {{proofwiki|id=Lebesgue's Dominated Convergence Theorem|제목=Lebesgue’s dominated convergence theorem}}

[[분류:실해석학 정리]]
[[분류:측도론 정리]]
[[분류:확률론 정리]]
[[분류:적분학]]