중점연결정리 문서 원본 보기

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[[기하학]]에서 '''중점연결정리'''(中點連結定理)는 [[삼각형]] 또는 [[사다리꼴]]에 관한 [[정리]]이다.

== 삼각형의 중점연결정리 ==
 삼각형의 두 변의 [[중점 (기하학)|중점]]을 연결한 선분은 나머지 변과 [[평행]]하고, 그 길이는 나머지 변의 길이의 <math>\tfrac{1}{2}</math>이다.
[[파일:삼각형의 중점연결정리.jpg|오른쪽|200px]]
=== 증명 ===
<math>\triangle</math>ABC와 <math>\triangle</math>ADE에서

:<math>\mathrm{\frac{\overline{AD}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AE}}{\overline{AC}}=\frac{1}{2}}</math>

:&ang;A는 공통

&there4;<math>\triangle</math>ABC <math>\sim\triangle</math>ADE ([[SAS 닮음]])

&there4;&ang;ADE=&ang;ABC

즉, {{윗줄|DE}}//{{윗줄|BC}}

또, <math>\mathrm{\frac{\overline{AD}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{DE}}{\overline{BC}}=\frac{1}{2}}</math>이므로

<math>\mathrm{\therefore\overline{DE}=\frac{1}{2}\overline{BC}}</math>

=== 역 ===
:삼각형의 한 변의 중점을 지나서 다른 한 변에 평행한 직선은 나머지 한 변의 중점을 지난다.

== 사다리꼴에서의 중점연결정리 ==
 <math>\mathrm{\overline{AD}\parallel\overline{BC},\ \overline{AM}=\overline{MB},\ \overline{DN}=\overline{NC}}</math>일 때
 <math>\mathrm{\overline{MN}=\frac{1}{2}(\overline{AD}+\overline{BC})}</math>
[[파일:사다리꼴의 중점연결정리.jpg|오른쪽|300px]]
=== 증명 ===
{{윗줄|AN}}과 {{윗줄|BC}}의 연장선의 교점을 E라 할 때

<math>\triangle</math>ADN와 <math>\triangle</math>ECN에서

:{{윗줄|DN}}={{윗줄|NC}} (가정)

:&ang;AND=&ang;ENC ([[맞꼭지각]])

:&ang;ADN=&ang;ECN ([[엇각]])

&there4;<math>\triangle</math>ADN &equiv;<math>\triangle</math>ECN ([[삼각형#삼각형의 합동 조건|ASA 합동]])

&there4; {{윗줄|AN}}={{윗줄|NE}},  {{윗줄|AD}}={{윗줄|CE}}

그러므로 <math>\triangle</math>ABE에서 중점연결정리에 의하여

<math>

\begin{align}
 \mathrm{\overline{MN}} & = \mathrm{\frac{1}{2}\overline{BE}} \\
                        & = \mathrm{\frac{1}{2}(\overline{BC}+\overline{CE})} \\
                        & = \mathrm{\frac{1}{2}(\overline{AD}+\overline{BC})} \\
\end{align}

</math>

<math>\mathrm{\therefore\overline{MN}=\frac{1}{2}(\overline{AD}+\overline{BC})}</math>

== 같이 보기 ==
* [[삼각형]]
* [[사다리꼴]]
* [[닮음 (기하학)]]

{{토막글|기하학}}

[[분류:기하학]]
[[분류:기하학 정리]]