중심 닮음 변환 문서 원본 보기

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[[아핀 기하학]]에서 '''중심 닮음 변환'''(中心-變換, {{llang|en|homothety|호모세티}})은 주어진 점에 대한 방향을 보존하거나 반전시키되 이 점과의 거리를 일정한 비율로 확대 또는 축소시키는 [[함수]]이다. 이는 [[유클리드 공간]] 위에서만 유효한 정의이나, 임의의 [[아핀 공간]] 위에까지 확장될 수 있다. 주어진 아핀 공간 위의 중심 닮음 변환과 [[평행 이동]]은 [[함수의 합성]]에 대하여 [[군 (수학)|군]]을 이룬다. 이는 모든 [[직선]]을 이에 [[평행]]하는 직선으로 대응시키는 [[전단사 함수]]들의 군과 같다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[아핀 공간]] <math>A</math>와 점 <math>a_0\in A</math> 및 0이 아닌 상수 <math>\lambda\in K\setminus\{0\}</math>이 주어졌다고 하자. <math>a_0</math>을 중심으로 하고 <math>\lambda</math>를 비로 하는 <math>A</math>의 '''중심 닮음 변환'''은 다음과 같다.
:<math>H_{a_0,\lambda}\colon A\to A</math>
:<math>H_{a_0,\lambda}\colon a\mapsto a_0+\lambda(a-a_0)\qquad(a\in A)</math>
특히, <math>\lambda=1</math>일 경우 이는 [[항등 함수]]이며, <math>\lambda=-1</math>일 경우 이는 중심점에 대한 [[반사 (기하학)|반사]]와 같다.

=== 확대 변환 ===
체 <math>K</math> 위의 [[아핀 공간]] <math>A</math> 위 함수 <math>D\colon A\to A</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 <math>D</math>를 '''확대 변환'''(擴大變換, {{llang|en|dilatation}})이라고 한다.
* 다음 두 조건을 만족시킨다.
** <math>D</math>는 [[아핀 변환]]이다.
** <math>D</math>의 [[선형 변환]] 성분은 [[일반 선형군]] <math>\operatorname{GL}(V(A))</math>의 [[중심 (대수학)|중심]] <math>K\setminus\{0\}\subseteq\operatorname{GL}(V(A))</math>의 원소이다. (여기서 <math>V(A)</math>는 <math>A</math>의 평행 이동들로 구성된 [[벡터 공간]]이다.)
* <math>D</math>는 중심 닮음 변환이거나 [[평행 이동]]이다. (사실, 평행 이동은 [[무한원점]]을 중심으로 하는 중심 닮음 변환으로 생각할 수 있다.)
{{증명}}
만약 <math>D</math>가 중심 닮음 변환이라면, 중심을 <math>a_0\in A</math>라고 하고, 비를 <math>\lambda\in K\setminus\{0\}</math>이라고 하자. 그렇다면 임의의 <math>a\in A</math>에 대하여
:<math>D(a)-D(a_0)=(a_0+\lambda(a-a_0))-a_0=\lambda(a-a_0)</math>
이다. 즉, <math>D</math>는 <math>\lambda</math>를 선형 변환 성분으로 하는 아핀 변환이다.

만약 <math>D\in V(A)</math>가 평행 이동이라면, 평행 이동 벡터를 <math>v\in V(A)</math>라고 하자. 그렇다면 임의의 <math>a,b\in A</math>에 대하여,
:<math>D(b)-D(a)=(b+v)-(a+v)=b-a</math>
이다. 즉, <math>D</math>는 [[항등 함수]] <math>1\in K\setminus\{0\}</math>을 선형 변환 성분으로 하는 아핀 변환이다.

만약 <math>D</math>가 <math>K\setminus\{0\}</math>의 원소 <math>\lambda\in K\setminus\{0\}</math>을 선형 변환 성분으로 하는 아핀 변환이라면, 임의의 <math>a\in A</math>를 취하자. 만약 <math>\lambda=1</math>이라면, 임의의 <math>b\in A</math>에 대하여
:<math>D(b)=D(a)+(b-a)=b+(D(a)-a)</math>
이므로, <math>D</math>는 <math>D(a)-a</math>를 평행 이동 벡터로 하는 평행 이동이다. 만약 <math>\lambda\ne 1</math>이라면, [[아핀 결합]]
:<math>a_0=\frac{D(a)-\lambda a}{1-\lambda}</math>
는 <math>D</math>의 [[고정점]]이다. 따라서 임의의 <math>b\in A</math>에 대하여,
:<math>D(b)=D(a_0)+\lambda(b-a_0)=a_0+\lambda(b-a_0)</math>
이므로, 이는 <math>a_0</math>을 중심으로 하고 <math>\lambda</math>를 비로 하는 중심 닮음 변환이다.
{{증명 끝}}

== 성질 ==
=== 대수적 성질 ===
아핀 공간 <math>A</math> 위의 확대 변환들은 [[아핀 군]] <math>\operatorname{Aff}(A)</math>의 [[정규 부분군]] <math>\operatorname{Dil}(A)</math>를 이룬다. 특히, 모든 중심 닮음 변환은 [[전단사 함수|전단사]] [[아핀 변환]]이다.

=== 기하학적 성질 ===
체 <math>K</math> 위의 [[아핀 공간]] <math>A</math> 위 함수 <math>D\colon A\to A</math>가 주어졌고, <math>\dim A\ne 1</math>이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>D</math>는 확대 변환이다.
* 다음 두 조건을 만족시킨다.
** <math>D</math>는 [[전단사 함수]]이다.
** 임의의 [[아핀 직선]] <math>L\subseteq A</math>에 대하여, <math>D(L)</math>은 <math>L</math>에 [[평행]]하는 아핀 직선이다.
{{증명}}
편의상 <math>\dim A\ge 2</math>라고 하자.

만약 <math>D</math>가 확대 변환이라면, 우선 <math>D</math>가 아핀 변환이므로, 임의의 아핀 직선 <math>L\subseteq A</math>에 대하여, <math>D(L)</math> 역시 아핀 직선이다. <math>D</math>의 선형 변환 성분을 <math>\lambda</math>라고 하고, 임의의 <math>a,b\in L</math>를 취하자. 그렇다면
:<math>D(b)-D(a)=\lambda(b-a)</math>
이다. 따라서, <math>D(L)</math>은 <math>L</math>에 평행한다.

만약 <math>D</math>가 임의의 아핀 직선의 상이 이와 평행하는 아핀 직선인 전단사 함수라면, 임의의 아핀 직선 <math>L\subseteq A</math>를 취하고, <math>L</math>이 <math>\{a,b\}</math>로 생성된다고 하자. 그렇다면 <math>D(L)</math>은 <math>L</math>에 평행하는 아핀 직선이며, <math>\{D(a),D(b)\}</math>로 생성된다. 또한, 다음을 만족시키는 유일한 확대 변환 <math>D'\in\operatorname{Dil}(A)</math>가 존재한다.
:<math>D'(a)=D(a)</math>
:<math>D'(b)=D(b)</math>
임의의 <math>c\in A\setminus L</math>에 대하여, <math>D</math>에 대한 가정에 의하여, <math>\{D(a),D(c)\}</math>, <math>\{D(b),D(c)\}</math>로 생성된 아핀 직선은 각각 <math>\{a,c\}</math>, <math>\{b,c\}</math>로 생성된 아핀 직선에 평행한다. <math>D'</math>은 확대 변환이므로, <math>D'(c)</math>는 <math>\{D(a),D(c)\}</math>, <math>\{D(b),D(c)\}</math>로 생성된 아핀 직선의 교점이다. 즉, <math>D'(c)=D(c)</math>이다. <math>\dim A\ge 2</math>이므로 <math>L</math>과 평행하는 <math>L</math>이 아닌 아핀 직선 <math>L'\subseteq A\setminus L</math>가 존재하며, 이를 <math>L</math> 대신 사용하면 임의의 <math>c\in A\setminus L'</math>에 대하여 <math>D'(c)=D(c)</math>라는 사실을 얻는다. 따라서 <math>D=D'</math>이며, <math>D</math>는 확대 변환이다.
{{증명 끝}}

중심 닮음 변환에 대한 상 <math>H_{a_0,\lambda}(a)</math>는 중심 <math>a_0</math>과 원래 점 <math>a</math>를 잇는 직선 위의 점이다. [[유클리드 공간]]의 중심 닮음 변환에 대한 상과 이에 대한 원상은 양의 실수를 비로 할 경우 중심에 대하여 같은 쪽이며, 음의 실수를 비로 할 경우 중심에 대하여 반대쪽이다. 유클리드 공간의 <math>\lambda</math>를 비로 하는 중심 닮음 변환은 모든 두 점 사이의 거리를 <math>|\lambda|</math>의 비율로 확대·축소시킨다. 즉, 이는 <math>|\lambda|</math>를 비로 하는 [[닮음 (기하학)|닮음 변환]]이다.

== 예 ==
3차원 유클리드 공간 <math>\mathbb R^3</math>의 원점 <math>(0,0,0)</math>을 중심으로 하고 2를 닮음비로 하는 중심 닮음 변환은 다음과 같다.
:<math>H_{(0,0,0),2}\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^3</math>
:<math>H_{(0,0,0),2}\colon(x,y,z)\mapsto(2x,2y,2z)\qquad(x,y,z\in\mathbb R)</math>

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
|성=Berger
|이름=Marcel
|저자링크=마르셀 베르제
|제목=Geometry I
|언어=en
|번역자-성1=Cole
|번역자-이름1=Michael
|번역자-성2=Levy
|번역자-이름2=Silvio
|총서=Universitext
|출판사=Springer
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=1987
|isbn=978-3-540-11658-5
|issn=0172-5939
|doi=10.1007/978-3-540-93815-6
}}
* {{서적 인용
|성=Johnson
|이름=Roger A.
|제목=Advanced Euclidean Geometry
|언어=en
|출판사=Dover Publications
|위치=New York, N. Y.
|날짜=1960
|원본연도=1929
}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Homothety}}
* {{매스월드|id=Dilation|title=Dilation}}
* {{매스월드|id=Homothetic|title=Homothetic}}
* {{매스월드|id=HomotheticCenter|title=Homothetic center}}
* {{매스월드|id=InternalSimilitudeCenter|title=Internal similitude center}}
* {{매스월드|id=ExternalSimilitudeCenter|title=External similitude center}}

[[분류:아핀기하학]]
[[분류:함수와 사상]]
[[분류:변환 (함수)]]