중심 (대수학) 문서 원본 보기

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[[추상대수학]]에서 '''중심'''(中心, {{llang|en-US|center}})은 어떤 [[대수 구조]]에서 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 [[부분 집합]]이다.

== 정의 ==
[[이항 연산]] <math>\cdot</math>을 가진 [[대수 구조]] <math>X</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>X</math>의 '''중심''' <math>Z(X)</math>은 다음과 같은 부분 집합이다.
:<math>\{z\in X\colon x\cdot z=z\cdot x\forall x\in X\}</math>
일부 대수 구조의 경우, 이는 <math>X</math>의 부분 대수를 이룬다.

중심의 기호는 보통 <math>Z</math>인데, 이는 중심을 뜻하는 {{llang|de|Zentrum|첸트룸}}의 머릿글자다.

== 성질 ==
만약 이항 연산에 대한 항등원 <math>x\cdot1=1\cdot x=x</math>이 존재한다면, 항등원은 항상 중심에 속한다.
:<math>1\in Z(X)</math>

만약 이항 연산이 [[결합 법칙]]을 만족시키고, 항등원을 가지며, 어떤 원소 <math>z\in Z(X)</math>에 대하여 역원 <math>z^{-1}\cdot z=z\cdot z^{-1}=1</math>이 존재한다면, 역원 역시 중심에 속한다.
:<math>z\in Z(X)\implies z^{-1}\in Z(X)</math>
이는 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여
:<math>z^{-1}\cdot x=z^{-1}\cdot x\cdot z\cdot z^{-1}=z^{-1}\cdot z\cdot x\cdot z^{-1}=x\cdot z^{-1}</math>
이기 때문이다. 그러나 이는 [[결합 법칙]] 없이는 성립하지 않는다.

== 주요 대수 구조의 중심 ==
=== 군의 중심 ===
군 <math>G</math>의 중심 <math>Z(G)</math>는 <math>G</math>의 [[아벨 군|아벨]] 부분군이며, 특히 [[정규 부분군]]이다. [[아벨 군]]의 경우, <math>Z(G)=G</math>이다.

=== 모노이드의 중심 ===
[[모노이드]] <math>(M,\cdot)</math>의 중심 <math>Z(M)</math>은 항상 부분 모노이드를 이룬다. 가환 모노이드의 경우, <math>Z(M)=M</math>이다.

=== 환의 중심 ===
[[유사환]] <math>(R,+,\cdot)</math>의 중심은 곱셈 <math>\cdot</math>에 대한 중심이다. (덧셈에 대한 중심은 자명하다.) 이는 항상 부분 유사환을 이루며, <math>R</math>는 <math>Z(R)</math> 위의 [[결합 대수]]를 이룬다.

[[환 (수학)|환]] <math>(R,+,\cdot)</math>의 중심은 유사환으로서의 중심과 같다. 이는 항상 [[부분환]]을 이루며,<math>R</math>는 <math>Z(R)</math> 위의 [[단위 결합 대수]]를 이룬다. 환의 중심은 일반적으로 [[아이디얼]]을 이루지 않는다.

[[나눗셈환]] <math>D</math>의 중심 <math>Z(D)</math>은 [[체 (수학)|체]]를 이루며, <math>D</math>는 그 위의 [[단위 결합 대수]]를 이룬다.

== 예 ==
=== 군의 중심 ===
대표적인 군의 중심은 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 군 || 중심
|-
| [[사원수군]] <math>Q_8</math> || <math>\{+1,-1\}</math>
|-
| [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(n)</math> (<math>n\ge3</math>) || [[자명군]]
|-
| [[교대군]] <math>\operatorname{Alt}(n)</math> (<math>n\ge4</math>) || [[자명군]]
|-
| [[일반선형군]] <math>\operatorname{GL}(n;K)</math> || <math>\{aI_{n\times n}\colon a\in K\setminus\{0\}\}</math>
|-
| [[직교군]] <math>\operatorname{O}(n;K)</math> || <math>\{\pm I_{n\times n}\}</math>
|}

=== 환의 중심 ===
[[사원수]]의 [[나눗셈환]] <math>\mathbb H</math>의 중심은 실수체 <math>\mathbb R</math>이며, 사원수환은 그 위의 4차원 단위 결합 대수를 이룬다.

행렬환 <math>\operatorname{Mat}(n;K)</math>의 중심은 스칼라 행렬
:<math>Z(\operatorname{Mat}(n;K))=\{aI_{n\times n}\colon a\in K\}\cong K</math>
이다. 행렬환은 이에 따라 <math>K</math> 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|이름=David S.|성=Dummit|공저자=Richard M. Foote|날짜=2004|제목=Abstract algebra|판=3|출판사=Wiley|isbn=978-0-471-43334-7|zbl=1037.00003|mr=2286236 |url=http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471433349.html|언어=en|oclc=248917264}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Centre of a group}}
* {{eom|title=Centre of a ring}}
* {{매스월드|id=GroupCenter|title=Group center}}

== 같이 보기 ==
* [[중심화 부분군]]
* [[정규화 부분군]]

[[분류:추상대수학]]
[[분류:군론]]
[[분류:환론]]