중심화 부분 모노이드 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[추상대수학]]에서 '''중심화 부분 모노이드'''(中心化部分monoid, {{llang|en|centralizer (submonoid), commutant}})는 어떤 [[모노이드]]의 [[부분 집합]]과 가환하는 모든 원소로 구성된 [[부분 모노이드]]이다.

[[군 (수학)|군]]의 부분 집합의 중심화 부분 모노이드는 [[부분군]]을 이루며, 이 경우 이를 '''중심화 부분군'''(中心化部分群, {{llang|en|centralizer (subgroup)}})이라고 한다. 마찬가지로, [[환 (수학)|환]]의 (곱셈 모노이드의) 중심화 부분 모노이드는 부분환을 이루며, '''중심화 부분환'''(中心化部分環, {{llang|en|centralizer (subring)}})이라고 한다. 이중 중심화 부분환의 개념은 [[폰 노이만 대수]]의 이론에 등장한다.

== 정의 ==
[[모노이드]] <math>M</math>의 부분 집합 <math>S\subseteq M</math>의 '''중심화 부분 모노이드'''는 다음과 같은 <math>M</math>의 [[부분 집합]]이다.<ref>{{서적 인용|제목=Basic algebra I|판=2|이름=Nathan|성=Jacobson|저자링크=네이선 제이컵슨|출판사=W. H. Freeman and Company|날짜=1985|언어=en}}</ref>{{rp|41, §1.4}}<ref name="Bourbaki">{{서적 인용|제목=Algèbre. Chapitres 1 à 3|이름=Nicolas|성=Bourbaki|저자링크=니콜라 부르바키|날짜=1970|출판사=Masson|위치=[[파리 (프랑스)|파리]]|총서=Éléments de mathématique|언어=fr}}</ref>{{rp|AI.7, Définition A1.9}}
:<math>\operatorname C_M(S)=\{x\in M\colon\forall s\in S\colon sx=xs\}</math>
이는 <math>M</math>의 [[부분 모노이드]]를 이룬다. ([[함수해석학]]에서는 보통 이를 <math>(-)'</math>으로 표기한다.)

<math>S</math>의 '''이중 중심화 부분 모노이드'''({{llang|en|double centralizer, bicentralizer, bicommutant}}) <math>\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))\subseteq M</math>은 그 중심화 부분 모노이드의 중심화 부분 모노이드이다.<ref name="Bourbaki"/>{{rp|AI.8}}

== 성질 ==
일반적 [[모노이드]] <math>M</math>의 [[부분 집합]]에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname C_M(\varnothing)=\operatorname C_M(\operatorname Z(M))=M</math>
:<math>\operatorname C_M(M)=\operatorname Z(M)</math>
:<math>\forall S\subseteq M\colon \operatorname C_M(S)=\operatorname C_M(\operatorname C_M(\operatorname C_M(S)))</math><ref name="Bourbaki"/>{{rp|AI.8}}
:<math>\forall S\subseteq M\colon\operatorname Z(M)\subseteq\operatorname C_M(S)</math>
:<math>\forall S\subseteq M\colon\operatorname C_M(S)=\bigcap_{s\in S}\operatorname C_M(\{s\})</math>
:<math>\forall \mathcal S\subseteq\operatorname{Pow}(M)\colon\operatorname C_M\left(\bigcup\mathcal S\right)=\bigcap_{S\in\mathcal S}\operatorname C_M(S)</math><ref name="Bourbaki"/>{{rp|AI.7}}
:<math>\forall S,T\subseteq M\colon S\subseteq T\implies\operatorname C_M(S)\supseteq\operatorname C_M(T)</math>
여기서 <math>\operatorname Z(-)</math>는 [[모노이드의 중심]]이다.

이에 따라, 중심화 부분 모노이드를 취하는 연산은 순서 보존 함수
:<math>\operatorname C_M(-)\colon \operatorname{Pow}(M)\to\operatorname{Pow}(M)^{\operatorname{op}}</math>
를 이룬다. (여기서 <math>\operatorname{Pow}(M)</math>은 [[멱집합]]에 부분 집합 관계를 부여하여 얻은 [[부분 순서 집합]]이며, <math>(-)^{\operatorname{op}}</math>은 그 [[반대 부분 순서]]를 부여한 [[부분 순서 집합]]이다.)

=== 이중 중심화 부분 모노이드 ===
일반적 [[모노이드]] <math>M</math>의 [[부분 집합]]에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname C_M(\operatorname C_M(\varnothing))=\operatorname Z(M)</math>
:<math>\operatorname C_M(M))=M</math>
:<math>\forall S\subseteq M\colon S\subseteq\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))=\operatorname C_M(\operatorname C_M(\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))))</math>
:<math>\forall\mathcal S\subseteq\operatorname{Pow}(M)\colon\operatorname C_M\left(\operatorname C_M\left(\bigcup\mathcal S\right)\right)=\bigcup_{S\in\mathcal S}\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))</math>
:<math>\forall S,T\subseteq M\colon S\subseteq T\implies\operatorname C_M(\operatorname C_M(S))\subseteq\operatorname C_M(\operatorname C_M(T))</math>
이에 따라, 이중 중심화 부분 모노이드를 취하는 연산은 순서 보존 함수
:<math>\operatorname C_M(\operatorname C_M(-))\colon \operatorname{Pow}(M)\to\operatorname{Pow}(M)</math>
를 이룬다.

특히, 집합 <math>M\setminus\operatorname Z(M)</math> 위에 [[폐포 (위상수학)|폐포]]
:<math>\operatorname{cl}(S)=\operatorname C_M(S)\setminus\operatorname Z(M)\qquad(S\subseteq M\setminus\operatorname Z(M))</math>
를 정의하면, 이는 <math>M\setminus\operatorname Z(M)</math> 위의 [[알렉산드로프 공간|알렉산드로프 위상]]을 정의한다.

=== 군 ===
[[군 (수학)|군]]의 부분 집합의 가환식은 항상 [[부분군]]을 이루며, '''중심화 부분군'''이라고 한다.

[[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 부분 집합 <math>S</math>의 중심화 부분군은 항상 <math>S</math>의 [[정규화 부분군]]의 [[정규 부분군]]이다.
:<math>\operatorname Z(G)\trianglelefteq\operatorname C_G(S)\trianglelefteq\operatorname N_G(S)</math>
여기서 <math>\operatorname Z(-)</math>는 [[군의 중심]]이며, <Math>\operatorname N_G(-)</math>는 [[정규화 부분군]]이다.

[[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 부분군 <math>H\le G</math>의 정규화 부분군과 중심화 부분군의 [[몫군]]은 <math>H</math>의 [[자기 동형군]]의 부분군과 동형이다 ('''N/C 정리''', {{llang|en|N/C theorem}}).
:<math>\operatorname N_G(H)/\operatorname C_G(H)\lesssim\operatorname{Aut}(H)</math>
여기서 <math>\operatorname{Aut}(-)</math>는 [[자기 동형군]]이다.

[[한원소 집합]]의 경우 중심화 부분군은 [[정규화 부분군]]과 같다.
:<math>\operatorname C_G(\{g\})=\operatorname N_G(\{g\})\qquad\forall g\in G</math>

군 <math>G</math>의 부분군 <Math>H\le G</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>H=\operatorname C_G(\operatorname C_G(H))</math>. 즉, <Math>H</math>는 이중 중심화 부분군 연산의 [[고정점]]이다.
* <math>H=\operatorname C_G(S)</math>가 되는 [[부분 집합]] <math>S\subseteq G</math>가 존재한다. 즉, <Math>H</math>는 중심화 부분군 연산의 [[상 (수학)|상]]에 속한다.

임의의 두 군 <math>H</math>, <math>K</math> 및 [[군 준동형]]
:<math>\phi\colon K\to\operatorname{Aut}(H)</math>
에 대하여, [[반직접곱]] <math>H\rtimes_\phi K</math> 및 포함 사상 <math>H,K\subseteq H\rtimes_\phi K</math>을 정의할 수 있다. 이 경우, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname C_{H\rtimes_\phi K}(K)\cap H=\operatorname N_{H\rtimes_\phi K}(K)\cap H</math>
:<math>\operatorname C_{H\rtimes_\phi K}(H)\cap K=\ker\phi</math>

=== 환 ===
[[환 (수학)|환]] <Math>R</math>의 부분 집합 <math>S\subseteq R</math>의 (곱셈에 대한) 가환식 <math>S'\subseteq R</math>는 (1을 포함하는) [[부분환]]을 이룬다. 이를 '''중심화 부분환'''(中心化部分環, {{llang|en|centralizer subring}})이라고 한다.

임의의 [[나눗셈환]] <math>K</math>의 임의의 부분 집합 <math>S\subseteq K</math>에 대하여, 중심화 부분환 <math>\operatorname C_K(S)</math> 역시 [[나눗셈환]]이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>\operatorname C_K(S)</math>는 [[부분환]]이므로, [[가역원]]에 대하여 닫혀 있음을 보이면 족하다. 임의의 <math>a\in\operatorname C_K(S)\setminus\{0\}</math> 및 <math>s\in S</math>에 대하여, <math>a^{-1}s=a^{-1}saa^{-1}=a^{-1}asa^{-1}=sa^{-1}</math>이다.
</div></div>

=== 가군 ===
{{본문|균형 잡힌 쌍가군}}
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[환 (수학)|환]] <math>R</math>
* [[환 (수학)|환]] <math>S</math>
* <math>(R,S)</math>-[[쌍가군]] <math>_RM_S</math>
그렇다면, <math>S</math>-[[오른쪽 가군]]의 [[자기 사상환]]
:<math>\operatorname{End}(M_S)</math>
을 정의할 수 있으며, <math>M</math>은 <math>\operatorname{End}(M_S)</math>-[[왼쪽 가군]]을 이룬다.

또한, 자연스러운 [[환 준동형]]
:<math>\phi_M\colon R\to\operatorname{End}(M_S)</math>
:<math>\phi_Mr\colon m\mapsto rm\qquad(r\in R,\;m\in M)</math>
이 존재한다. 이 경우, 정의에 따라
:<math>\operatorname C_{\operatorname{End}(M_{\mathbb Z})}(\phi_M(R))=\operatorname{End}(M_R)</math>
이다. (여기서 우변은 <Math>R</math>-[[오른쪽 가군]]의 [[자기 사상환]]이다.)

만약 <math>\phi_M(R)</math>가 이중 중심화 부분환 연산의 [[고정점]]이라면, 즉 만약
:<math>\operatorname C_{\operatorname{End}(M_{\mathbb Z})}(\operatorname C_{\operatorname{End}(M_{\mathbb Z})}(\phi_M(R)))=\phi_M(R)</math>
이라면, <math>M</math>을 [[균형 잡힌 가군]]이라고 한다.

=== 폰 노이만 대수 ===
{{참고|폰 노이만 대수}}
[[복소수 힐베르트 공간]] <math>V</math> 위의 [[유계 작용소]] [[폰 노이만 대수]] <math>\operatorname B(V,V)</math>의 부분 [[대합 대수]] <math>S\subseteq\operatorname B(V,V)</math>를 생각하자. (즉, <math>S</math>는 [[복소수 결합 대수]]를 이루며, [[에르미트 수반]]에 대하여 닫혀 있다고 하자.) 이 경우, '''폰 노이만 이중 중심화 정리'''({{llang|en|von Neumann bicommutant theorem}})에 따르면 다음 집합들이 서로 일치한다.
* <math>S</math>의 이중 중심화 부분환 <math>\operatorname C_{\operatorname B(V,V)}(\operatorname C_{\operatorname B(V,V)}(S))</math>
* <math>S</math>의 [[약한 작용소 위상]]에서의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]
* <math>S</math>의 [[강한 작용소 위상]]에서의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]
* <math>S</math>로부터 생성되는 [[폰 노이만 대수]]
(다만, <math>S</math>의 [[노름]] [[거리 위상]]에서의 폐포는 항상 [[C* 대수]]를 이루지만 [[폰 노이만 대수]]가 되지 못할 수 있다.)

== 예 ==
만약 <math>M</math>이 [[가환 모노이드]]일 경우, 임의의 부분 집합 <math>S\subseteq M</math>에 대하여 <math>S'=M</math>이다. 즉, [[아벨 군]]의 부분 집합의 [[중심화 부분군]]은 그 전체이며, 마찬가지로 [[가환환]]의 부분 집합의 중심화 부분환은 그 전체이다.

만약 <math>M=\Sigma^*</math>가 <math>\Sigma</math>로 생성되는 [[자유 모노이드]]일 경우, 임의의 부분 집합의 중심화 부분 모노이드는 다음과 같다.
:<math>\operatorname C_{\Sigma^*}(S)=\{s\in\Sigma^*\colon\{s\}^*\supseteq S\}^*</math>

[[사원수 대수]] <math>\mathbb H</math>에서, <math>\mathrm i</math>의 중심화 부분환은 <math>\mathbb R+\mathbb Ri</math>이다. 보다 일반적으로, 임의의 <math>x\in\mathbb H</math>에 대하여, <math>\operatorname{Im}x=(x-\bar x)/2</math>를 생각하면, <math>\operatorname C_{\mathbb H}(\{x\})=\mathbb R+\mathbb R\operatorname{Im}x</math>이다. 만약 <math>\operatorname{Im}x\ne0</math>이라면 <math>\operatorname C_{\mathbb H}(\{x\})</math>는 ([[환 (수학)|환]]으로서) [[복소수체]]와 동형이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Centralizer}}
* {{매스월드|id=Centralizer|title=Centeralizer}}
* {{매스월드|id=Commutant|title=Commutant}}
* {{매스월드|id=Bicommutant|title=Bicommutant}}
* {{매스월드|id=BicommutantTheorem|title=Bicommutant theorem}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Centralizer_of_Ring_Subset_is_Subring|제목=Centralizer of ring subset is subring|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Centralizer|제목=Centralizer|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://crazyproject.wordpress.com/2010/01/23/an-alternate-characterization-of-centralizer/|제목=An alternate characterization of centralizer|날짜=2007-01-23|웹사이트=Project Crazy Project|이름=Nathan|성=Bloomfield|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://crazyproject.wordpress.com/2010/01/23/centralizer-is-inclusion-reversing/|제목=Centralizer is inclusion-reversing|날짜=2007-01-23|웹사이트=Project Crazy Project|이름=Nathan|성=Bloomfield|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://crazyproject.wordpress.com/2010/05/05/normalizer-and-centralizer-commute-with-inner-automorphisms/|제목=
Normalizer and centralizer commute with inner automorphisms|날짜=2010-05-05|웹사이트=Project Crazy Project|이름=Nathan|성=Bloomfield|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://crazyproject.wordpress.com/2010/06/24/the-centralizer-and-normalizer-of-a-nonnormal-semidirect-factor-in-a-normal-semidirect-factor-are-equal/|제목=The centralizer and normalizer of a nonnormal semidirect factor in a normal semidirect factor are equal|날짜=2010-06-24|웹사이트=Project Crazy Project|이름=Nathan|성=Bloomfield|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://crazyproject.wordpress.com/2010/06/24/in-a-semidirect-product-the-centralizer-of-the-normal-factor-in-the-nonnormal-factor-is-the-kernel-of-the-defining-homomorphism/|제목=In a semidirect product, the centralizer of the normal factor in the nonnormal factor is the kernel of the defining homomorphism|날짜=2010-06-24|웹사이트=Project Crazy Project|이름=Nathan|성=Bloomfield|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://crazyproject.wordpress.com/2010/07/06/two-consequences-of-frattinis-argument-regarding-normalizers-and-centralizers/|제목=Two consequences of Frattini’s argument regarding normalizers and centralizers|날짜=2010-07-06|웹사이트=Project Crazy Project|이름=Nathan|성=Bloomfield|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://crazyproject.wordpress.com/2010/07/30/basic-properties-of-centralizers-in-a-ring/|제목=Basic properties of centralizers in a ring|날짜=2010-07-30|웹사이트=Project Crazy Project|이름=Nathan|성=Bloomfield|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://crazyproject.wordpress.com/2010/07/30/in-a-division-ring-every-centralizer-is-a-division-ring/|제목=In a division ring, every centralizer is a division ring|날짜=2010-07-30|웹사이트=Project Crazy Project|이름=Nathan|성=Bloomfield|언어=en}}

[[분류:군론]]
[[분류:리 대수]]
[[분류:반군론]]
[[분류:환론]]