중간값 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{미적분학}}
[[파일:Intermediatevaluetheorem.svg|섬네일|중간값 정리]]
[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''중간값 정리'''<ref>{{웹 인용
|url=http://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=intermediate+value+theorem
|제목=수학용어
|웹사이트=대한수학회
|확인날짜=2019-03-31
|보존url=https://web.archive.org/web/20190331142702/http://www.kms.or.kr/mathdict/list.html?key=ename&keyword=intermediate+value+theorem
|보존날짜=2019-03-31
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}}</ref>(中間-定理, {{llang|en|intermediate value theorem}}) 또는 '''사잇값 정리'''<ref>{{서적 인용
|url=http://ncic.go.kr/mobile.dwn.ogf.inventoryList.do
|제목=[별책8]수학과 교육과정(교육과학기술부 고시 제2011-361호)(최종수정)
|저자=교육과학기술부|확인날짜=2019-03-31
}}</ref>{{rp|78}}는 [[구간]]에 정의된 [[실숫값 함수|실숫값]] [[연속 함수]]가 임의의 두 함숫값 사이의 모든 수를 함숫값으로 포함한다는 정리이다. 이에 따라, 실숫값 연속 함수에 대한 구간의 [[상 (수학)|상]]은 구간이다.

== 정의 ==
[[연속 함수]] <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>가 주어졌다고 하자. '''중간값 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.
:<math>f([a,b])\supseteq[f(a),f(b)]\cup[f(b),f(a)]</math>
즉, 임의의 <math>u\in(f(a),f(b))\cup(f(b),f(a))</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 <math>c\in(a,b)</math>가 존재한다.<ref>{{서적 인용|저자1=Abdelwahab Kharab|저자2=Ronald B. Guenther|제목=An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach|번역제목=이공학도를 위한 수치해석|날짜=2013|출판사=학산미디어|isbn=978-89-966211-8-8|쪽=18}}</ref>
:<math>f(c)=u</math>

== 증명 ==
편의상 <math>f(a)<f(b)</math>라고 가정하자. 임의의 <math>f(a)<u<f(b)</math>에 대하여, 다음과 같은 집합을 정의하자.
:<math>E=\{x\in[a,b]\colon f(x)<u\}</math>
그렇다면, <math>a\in E</math>이며, <math>b</math>는 <math>E</math>의 한 상계이다. 따라서, <math>E</math>는 유한한 상한
:<math>c=\sup E\in\mathbb R</math>
를 갖는다. <math>f</math>가 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 <math>\delta>0</math>이 존재한다.
:<math>f(x)<u\qquad\forall a\le x<a+\delta</math>
:<math>f(x)>u\qquad\forall b-\delta<x\le b</math>
따라서 <math>a<c<b</math>이다. 이제 [[귀류법]]을 사용하여 <math>f(c)=u</math>를 보이자. 먼저 <math>f(c)>u</math>라고 가정하자. 그렇다면, <math>f</math>가 연속 함수이므로 다음을 만족시키는 <math>\eta>0</math>이 존재한다.
:<math>f(x)>u\qquad\forall c-\eta<x<c+\eta</math>
즉, <math>c-\eta</math>는 <math>E</math>의 또 다른 상계이며, 이는 <math>c-\eta<c</math>와 모순이다. 이제 <math>f(c)<u</math>를 가정하자. 그렇다면, <math>f</math>가 연속 함수이므로 다음을 만족시키는 <math>\eta>0</math>이 존재한다.
:<math>f(x)<u\qquad\forall c-\eta<x<c+\eta</math>
즉, <math>c+\eta/2\in E</math>이며, 이는 <math>c=\sup E</math>와 모순이다. 따라서 <math>f(c)=u</math>이다.

== 따름정리 ==
=== 볼차노 정리 ===
연속 함수 <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>가 다음을 만족시킨다고 하자.
:<math>f(a)f(b)<0</math>
'''볼차노 정리'''({{llang|en|Bolzano's theorem}})에 따르면, <math>f</math>는 <math>(a,b)</math>에서 [[영점]]을 갖는다. 즉, 다음을 만족시키는 <math>c\in(a,b)</math>가 존재한다.
:<math>f(c)=0</math>
볼차노 정리는 중간값 정리에서 <math>u=0</math>인 특수한 경우이다.

=== 구간의 보존 ===
구간 <math>I\subseteq\mathbb R</math> 및 연속 함수 <math>f\colon I\to\mathbb R</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>I</math>의 상 <math>f(I)</math>은 역시 구간이다. 이를 [[연결 공간]]의 개념을 사용하지 않고 증명하려면, <math>I\subseteq\mathbb R</math>가 구간일 필요충분조건이 임의의 <math>a,b\in I</math>에 대하여 <math>(a,b)\subseteq I</math>인 것이라는 보조정리를 사용해야 한다.

특히, 만약 <math>I=[a,b]</math>가 닫힌구간일 경우, <math>f(I)</math>의 양 끝점은 <math>f</math>의 [[최댓값]]과 [[최솟값]]이다. 즉, 다음이 성립한다.
:<math>f([a,b])=\left[\min_{x\in[a,b]}f(x),\max_{x\in[a,b]}f(x)\right]</math>
이 정리는 중간값 정리와 [[최대 최소 정리]]를 사용하여 증명할 수 있다.

=== 홀수차 실수 다항식의 근의 존재 ===
임의의 실수 [[홀수]]차 [[다항식]]은 적어도 하나의 실수 영점을 갖는다. 이는 [[대수학의 기본 정리]]의 자명한 경우이며, 중간값 정리를 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.

홀수차 실수 다항식
:<math>p(x)=a_{2n+1}x^{2n+1}+a_{2n}x^{2n}+\cdots+a_1x+a_0\in\mathbb R[x]\qquad(a_0,\dots,a_{2n+1}\in\mathbb R,\;a_{2n+1}\ne 0)</math>
이 주어졌다고 하자. 편의상 <math>a_{2n+1}>0</math>이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
:<math>\lim_{x\to-\infty}p(x)=-\infty,\;\lim_{x\to\infty}p(x)=\infty</math>
예를 들어, 전자의 경우 다음과 같이 보일 수 있다.
:<math>\begin{align}\lim_{x\to-\infty}p(x)
&=\lim_{x\to-\infty}a_{2n+1}x^{2n+1}\left(1+\frac{a_{2n}}{a_{2n+1}}x^{-1}+\cdots+\frac{a_0}{a_{2n+1}}x^{-(2n+1)}\right)\\
&=-\infty
\end{align}</math>
이에 따라, 다음을 만족시키는 <math>c<0<d</math>가 존재한다.
:<math>p(c)<0<p(d)</math>
중간값 정리를 <math>p|_{[c,d]}</math>에 적용하면, 다음을 만족시키는 <math>p</math>의 영점 <math>e\in(c,d)</math>의 존재를 얻는다.

=== 닫힌구간 위의 브라우어르 고정점 정리 ===
연속 함수 <math>f\colon[a,b]\to[a,b]</math>는 항상 [[고정점]]을 갖는다. 즉, 다음을 만족시키는 <math>c\in[a,b]</math>가 존재한다.
:<math>f(c)=c</math>
이는 [[브라우어르 고정점 정리]]의 자명한 경우이며, 중간값 정리를 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.

다음과 같은 함수 <math>g\colon[a,b]\to\mathbb R</math>를 정의하자.
:<math>g(x)=f(x)-x\qquad\forall x\in[a,b]</math>
그렇다면, <math>g</math>는 연속 함수이며, <math>g(b)\le 0\le g(a)</math>이므로, 중간값 정리에 따라 다음을 만족시키는 <math>c\in[a,b]</math>가 존재한다.
:<math>g(c)=0</math>
즉, <math>f(c)=c</math>가 성립한다.

=== 가역 연속 함수의 단조성 ===
구간 <math>I\subseteq\mathbb R</math> 및 [[단사 함수|단사]] [[연속 함수]] <math>f\colon I\to\mathbb R</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>f</math>는 [[순단조 함수]]이다. 이는 중간값 정리를 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.

[[귀류법]]을 사용하여, <math>f</math>가 순단조 함수가 아니라고 가정하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 <math>a,b,c\in I</math>가 존재한다.
* <math>a<b<c</math>
* <math>f(a)<f(b)>f(c)</math> 또는 <math>f(a)>f(b)<f(c)</math>
편의상 전자가 성립한다고 가정하자. 그렇다면, <math>\max\{f(a),f(c)\}<u<f(b)</math>를 취할 수 있다. 각각 <math>f|_{[a,b]}</math>와 <math>f|_{[b,c]}</math>에 중간값 정리를 적용하면 다음을 만족시키는 <math>d\in(a,b)</math> 및 <math>e\in(b,c)</math>가 존재함을 얻는다.
:<math>f(d)=f(e)=u</math>
이는 <math>f</math>가 단사 함수인 것과 모순이다.

== 일반화 ==
위상수학과 해석학의 몇몇 정리들은 중간값 정리를 특수한 경우로 포함한다.

=== 연결 공간의 보존 ===
{{참고|연속 함수|연결 공간}}
두 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X,Y</math> 사이의 연속 함수 <math>f\colon X\to Y</math>가 주어졌다고 하자. 만약 <math>X</math>가 [[연결 공간]]이라면, <math>f(X)</math> 역시 연결 공간이다. 실수 집합 <math>\mathbb R</math> 위에서 연결 공간은 구간과 동치이므로, 이와 같은 정리는 중간값 정리의 한 가지 일반화이다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>와 ([[순서 위상]]을 부여한) [[전순서 집합]] <math>(Y,\le)</math> 사이의 연속 함수 <math>f\colon X\to Y</math>가 주어졌다고 하자. 만약 <math>X</math>가 연결 공간이라면, 임의의 <math>a,b\in X</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>f(X)\supseteq[f(a),f(b)]\cup[f(b),f(a)]</math>
실수 집합 <math>\mathbb R</math>은 표준적인 전순서를 갖추므로, 이 정리 역시 중간값 정리를 일반화한다.

=== 다르부 정리 ===
{{본문|다르부 함수}}
[[미분 가능 함수]] <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
:<math>f'([a,b])\supseteq[f'(a),f'(b)]\cup[f'(b),f'(a)]</math>
이를 [[다르부 함수|다르부 정리]]라고 한다. 실수 연속 함수는 항상 어떤 함수의 [[도함수]]이므로, 다르부 정리는 중간값 정리의 일반화이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=IntermediateValueTheorem|title=Intermediate value theorem}}
* {{플래닛매스|urlname=intermediatevaluetheorem|title=Intermediate value theorem}}
* {{플래닛매스|urlname=generalizedintermediatevaluetheorem|title=Generalized intermediate value theorem}}

[[분류:미적분학 정리]]
[[분류:실해석학 정리]]
[[분류:연속 함수]]