준파라콤팩트 공간 문서 원본 보기

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[[일반위상수학]]에서, '''준파라콤팩트 공간'''(準-空間, {{llang|en|subparacompact space}})은 [[파라콤팩트 공간]]의 개념의 변형이다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[집합족]] <math>\mathcal S\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여, 다음 조건들을 정의할 수 있다.
* 만약 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>|\{S\in\mathcal S\colon U_x\cap S\ne\varnothing\}|\le1</math>인 [[근방]] <math>U_x\ni x</math>가 존재한다면, <math>\mathcal S</math>를 '''이산 집합족'''(離散集合族, {{llang|en|discrete family of sets}})이라고 한다.
* 만약 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\{S\in\mathcal S\colon U_x\cap S\ne\varnothing\}</math>이 [[유한 집합]]인 [[근방]] <math>U_x\ni x</math>가 존재한다면, <math>\mathcal S</math>를 '''국소 유한 집합족'''(局所有限集合族, {{llang|en|locally finite family of sets}})이라고 한다.
* 만약 임의의 <math>\mathcal S'\subseteq\mathcal S</math>에 대하여 <math>\textstyle\bigcup_{S'\in\mathcal S'}\operatorname{cl}S'</math>이 [[닫힌집합]]이라면, <math>\mathcal S</math>를 '''폐포 보존 집합족'''(閉包保存集合族, {{llang|en|closure-preserving family of sets}})이라고 한다.
모든 이산 집합족은 국소 유한 집합족이다. 모든 국소 유한 집합족은 폐포 보존 집합족이다.

만약 <math>\mathcal S</math>가 [[가산 집합|가산 개]]의 국소 유한 집합족들의 [[합집합]]이라면, <math>\mathcal S</math>를 '''σ-국소 유한 집합족'''({{llang|en|sigma-locally finite family}})이라고 한다. 이 경우, 설령 <math>\mathcal S</math>가 [[덮개 (위상수학)|덮개]]이더라도 합집합을 취하는 국소 유한 집합족들이 [[덮개 (위상수학)|덮개]]일 필요는 없다. 마찬가지로, '''σ-이산 집합족'''({{llang|en|sigma-discrete family}})과 '''σ-폐포 보존 집합족'''({{llang|en|sigma-closure-preserving finite family}})을 정의할 수 있다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 <math>X</math>를 '''준파라콤팩트 공간'''이라고 한다.
* <math>X</math>의 임의의 [[열린 덮개]]는 σ-이산 [[닫힌집합|닫힌]] [[세분 (위상수학)|세분]]을 갖는다.
* <math>X</math>의 임의의 [[열린 덮개]]는 σ-국소 유한 [[닫힌집합|닫힌]] [[세분 (위상수학)|세분]]을 갖는다.
* <math>X</math>의 임의의 [[열린 덮개]]는 σ-폐포 보존 [[닫힌집합|닫힌]] [[세분 (위상수학)|세분]]을 갖는다.

== 성질 ==
[[정칙 공간]]에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* [[파라콤팩트 공간]]이다.
* 모든 [[열린 덮개]]는 σ-이산 [[열린집합|열린]] [[세분 (위상수학)|세분]]을 갖는다.
* 모든 [[열린 덮개]]는 σ-국소 유한 [[열린집합|열린]] [[세분 (위상수학)|세분]]을 갖는다.<ref name="Willard">{{서적 인용
|성1=Willard
|이름1=Stephen
|제목=General topology
|언어=en
|총서=Addison-Wesley Series in Mathematics
|출판사=Addison-Wesley Publishing Company
|위치=Reading, Massachusetts, Menlo Park, California, London, Don Mills, Ontario
|날짜=1970
|mr=0264581
|zbl=0205.26601
}}</ref>{{rp|146, Theorem 20.7.(b)}}
* 모든 [[열린 덮개]]는 σ-폐포 보존 [[열린집합|열린]] [[세분 (위상수학)|세분]]을 갖는다.
* 모든 [[열린 덮개]]는 폐포 보존 [[열린집합|열린]] [[세분 (위상수학)|세분]]을 갖는다.
* 모든 [[열린 덮개]]는 국소 유한 [[세분 (위상수학)|세분]]을 갖는다.<ref name="Willard" />{{rp|146, Theorem 20.7.(c)}} (이 조건에서 세분은 열린 세분일 필요가 없다.)
* 모든 [[열린 덮개]]는 폐포 보존 [[세분 (위상수학)|세분]]을 갖는다.
* 모든 [[열린 덮개]]는 국소 유한 [[닫힌집합|닫힌]] [[세분 (위상수학)|세분]]을 갖는다.<ref name="Willard" />{{rp|146, Theorem 20.7.(d)}}
[[정칙 공간|정칙]] [[하우스도르프 공간]]의 경우, 다음 조건이 추가로 [[동치]]이다.
* 모든 [[열린 덮개]]는 폐포 보존 [[닫힌집합|닫힌]] [[세분 (위상수학)|세분]]을 갖는다.<ref name="Willard" />{{rp|149}}
이에 따라, 모든 [[파라콤팩트]] [[정칙 공간]]은 준파라콤팩트 공간이다. 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다 ({{llang|en|Bing’s example H}}). 모든 [[집합족적 정규 공간|집합족적 정규]] 준파라콤팩트 공간은 [[파라콤팩트 공간]]이다. 그 밖에, 다음 함의 관계들이 성립한다.
* [[가산 콤팩트]] 준파라콤팩트 공간은 [[콤팩트 공간]]이다.
* [[완전 정규]] [[메타콤팩트 공간]]은 준파라콤팩트 공간이다.

[[닫힌 함수|닫힌]] [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 만약 <math>X</math>가 준파라콤팩트 공간이라면 <math>f(X)</math> 역시 준파라콤팩트 공간이다. [[완전 사상]]({{llang|en|perfect map}}) <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, 만약 <math>X</math>가 [[정칙 공간]]이며 <math>Y</math>가 준파라콤팩트 공간이라면 <math>X</math> 역시 준파라콤팩트 공간이다. 만약 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>가 [[가산 집합|가산 개]]의 준파라콤팩트 [[닫힌집합]]들의 [[합집합]]이라면 <math>X</math> 역시 준파라콤팩트 공간이다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://topospaces.subwiki.org/wiki/Subparacompact_space|제목=Subparacompact space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|제목=Subparacompact|언어=en|웹사이트=Encyclopedia of Compactness Wiki|url=https://wikiwiki.jp/compactness/subparacompact|확인날짜=2024-07-22}}
* {{웹 인용|제목=a-paracompact|언어=en|웹사이트=Encyclopedia of Compactness Wiki|url=https://wikiwiki.jp/compactness/a-paracompact|확인날짜=2024-07-22}}

[[분류:위상 공간의 성질]]