준타원형 미분 연산자 문서 원본 보기

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[[편미분 방정식]] 이론에서, '''준타원형 미분 연산자'''(準楕圓型微分演算子, {{llang|en|hypoelliptic differential operator}})는 매끄러운 함수의 [[원상]]이 [[매끄러운 함수]]인 [[미분 연산자]]이다. 매끄러운 계수의 모든 [[타원형 미분 연산자]]는 준타원형이지만, 타원형이 아닌 준타원형 미분 연산자가 존재한다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>U</math>
* [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow U</math>
* [[미분 연산자]] <math>D\colon\mathcal C^\infty(U,E) \to \mathcal C^\infty(U,E)</math>
만약 임의의
* [[열린집합]] <math>V\subseteq U</math>
* [[분포 (해석학)|분포]] <math>u\in\mathcal D(V,E)</math>
에 대하여,
:<math>Du \in \mathcal C^\infty(V,E) \implies u\in\mathcal C^\infty(V,E)</math>
이라면, <math>D</math>를 '''준타원형 미분 연산자'''라고 한다.

== 성질 ==
<math>\mathcal C^\infty</math> 계수의 모든 [[타원형 미분 연산자]]는 준타원형 미분 연산자이다. 특히, [[리만 다양체]] 위의 [[라플라스 연산자]]는 매끄러운 계수의 타원형 미분 연산자이므로 준타원형 미분 연산자이다.

== 예 ==
[[매끄러운 다양체]]
:<math>U = \mathbb R \times\mathbb R^n = \{(t,x^1,x^2,\dotsc,x^n) \colon t,x^1,x^2,\dotsc, x^n\in\mathbb R\}</math>
위의 [[열방정식]] 미분 연산자
:<math>D = \frac\partial{\partial t} - \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2}{(\partial x^i)^2}</math>
는 준타원형 미분 연산자이지만, [[타원형 미분 연산자]]가 아니다. ([[주표상]]이 <Math>\operatorname{diag}(0,-1,-1,\dotsc,-1)</math>이므로, [[음의 정부호]]가 아니다.)

반면, 같은 [[매끄러운 다양체]] 위의 [[파동 방정식]] 미분 연산자
:<math>\square^2 = \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2}{(\partial x^i)^2}</math>
는 타원형 미분 연산자도, 준타원형 미분 연산자도 아니다.

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용| doi=10.1090/noti1670 | 제목=What is … hypoellipticity? | 저널=Notices of the American Mathematical Society | 날짜=2018-04 |권=65|호=4|쪽=418–419| 언어=en}}
* {{저널 인용| doi=10.1090/noti1664 | 이름=Brian | 성=Street | 제목=What else about … hypoellipticity? | 저널=Notices of the American Mathematical Society | 날짜=2018-04 |권=65|호=4|쪽=418–419| 언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:편미분 방정식]]