준층 문서 원본 보기

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[[범주론]]에서, [[범주 (수학)|범주]]에 대한 '''준층''' <math>C</math>는 [[함자 (수학)|함자]] <math>F\colon C^\mathrm{op}\to\mathbf{Set}</math>이다. <math>C</math>가 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]에서 [[열린집합|열린 집합]]들의 [[부분 순서 집합]]이고 범주로 해석되면, 위상 공간에서 일반적인 [[층 (수학)|준층]] 개념을 의미한다.

[[사상 (수학)|준층]]들의 사상은 함자의 [[자연 변환]]으로 정의된다. 이렇게 하면 <math>C</math> 위에서 범주로 가는 모든 준층들의 모임이 만들어지며, 이는 함자 범주의 예이다. 기호로 <math>\widehat{C} = \mathbf{Set}^{C^\mathrm{op}}</math>로 나타낸다.

'''C'''의 일부 [[범주 (수학)|대상]] ''A''에 대해 반변형 hom-함자 Hom(–, ''A'' )과 [[자연 변환|자연 동형]] 인 준층을 [[표현 가능 함자|표현 가능한 준층]]이라고 한다.

일부 저자는 함자 <math>F\colon C^\mathrm{op}\to\mathbf{V}</math>를 '''<math>\mathbf{V}</math> - 값 준층'''으로 정의한다.<ref>{{Nlab|id=co-Yoneda+lemma|제목=co-Yoneda lemma}}</ref>

== 예 ==
* [[단체 집합]]은 [[단체 범주]] <math>C=\Delta</math>의 '''집합''' 값 준층이다.

== 성질 ==
* <math>C</math>가 [[범주 (수학)|작은 범주]]일 때, 함자 범주 <math>\widehat{C}=\mathbf{Set}^{C^\mathrm{op}}</math>는 [[데카르트 닫힌 범주|데카르드 닫힌 범주]]이다.
* <math>P</math>의 [[부분 대상과 몫 대상|부분 대상]]의 부분 순서 집합은 <math>P</math>가 작은 <math>C</math>에 대해 <math>\widehat{C}=\mathbf{Set}^{C^\mathrm{op}}</math>의 대상일 때 [[헤이팅 대수]]를 형성한다.
* <math>\widehat{C}</math>의 모든 사상 <math>f:X\to Y</math>에 대해, 부분 대상의 당김 함수 <math>f^*:\mathrm{Sub}_{\widehat{C}}(Y)\to\mathrm{Sub}_{\widehat{C}}(X)</math>는 <math>\forall_f</math>로 나타내는 [[수반 함자|오른쪽 수반 함자]]와 왼쪽 수반 함자 <math>\exists_f</math>를 가진다. 이들은 [[보편 양화사|보편적]]이고 실존적인 양화사이다.
* 국소적으로 작은 범주 <math>C</math>는 <math>C</math>의 모든 대상 <math>A</math>를 hom 함자 <math>C(-,A)</math>와 연결짓는 [[요네다 보조정리|요네다 매장]]을 통해 집합 값 준층 <math>\widehat{C}</math> 범주에 [[충실한 함자와 충만한 함자|충만하고 충실하게]] 매장된다.
* 범주 <math>\widehat{C}</math>는 작은 [[극한 (범주론)|극한]]과 작은 [[극한 (범주론)|여극한]]을 인정한다.<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Kashiwara|Schapira|2005|loc=Corollary 2.4.3.}}</ref> 자세한 내용은 준층의 극한 및 여극한 참조.
* 조밀성 정리는 모든 준층이 표현 가능한 준층의 여극한임을 나타낸다. 사실, <math>\widehat{C}</math>는 <math>C</math>의 [[극한 (범주론)|여극한]] 완비이다.  (아래의 [[보편 성질]] 참조.)

== 보편 성질 ==
<math>C \mapsto \widehat{C} = \mathbf{Fct}(C^{\text{op}}, \mathbf{Set})</math> 구성은 다음 [[보편 성질]] 때문에 ''C''의 '''여극한 완비'''라고 한다.
 명제<ref>{{harvnb|Kashiwara|Schapira|2005|loc=Proposition 2.7.1.}}</ref>

<math>C, D</math>가 범주들이고 <math>D</math>가 작은 여극한들을 허용한다고 하자. 그러면, 각 함자 <math>\eta: C \to D</math>는

<math>C \overset{y}\longrightarrow \widehat{C} \overset{\widetilde{\eta}}\longrightarrow D</math>

로 함자화 된다. 여기서 <math>y</math>는 요네다 매장이고 <math>\widetilde{\eta}: \widehat{C} \to D</math>은, 동형 사상에 대해 유일한, <math>\eta</math>의 '''요네다 확장'''으로 불리는 여극한 보존 함자이다.

''증명'' : 조밀성 정리에 의해 준층 <math>F</math>가 주어지면  <math>F =\varinjlim y U_i</math>이다. 여기서 <math>U_i</math>는 ''C''의 대상이다. 그러면 <math>\widetilde{\eta} F = \varinjlim \eta U_i</math>이라 하자. 이는 가정에 의해 존재한다. <math>\varinjlim -</math>는 함자성을 가지므로 함자 <math>\widetilde{\eta}: \widehat{C} \to D</math>를 결정한다. 간결하게, <math>\widetilde{\eta}</math>은 ''<math>y</math>''를 따른 <math>\eta</math>의 왼쪽 [[칸 확대]]이다.  <math>\widetilde{\eta}</math>가 작은 여극한들과 가환임을 보이기 위해, <math>\widetilde{\eta}</math> 일부 함자에 대해 왼쪽 인접임을 보이자. <math>\mathcal{H}om(\eta, -): D \to \widehat{C}</math>를 ''<math>D</math>''의 각 대상 ''<math>M</math>''과 ''<math>C</math>''의 각 대상 ''<math>U</math>''에 대해

: <math>\mathcal{H}om(\eta, M)(U) = \operatorname{Hom}_D(\eta U, M).</math>

로 주어진 함자로 정의하자. 그러면, ''<math>D</math>''의 각 대상 ''<math>M</math>''에 대해 <math>\mathcal{H}om(\eta, M)(U_i) = \operatorname{Hom}(y U_i, \mathcal{H}om(\eta, M))</math>  이므로, 요네다 보조정리에 의해 다음을 얻는다:

: <math>\begin{align}
\operatorname{Hom}_D(\widetilde{\eta} F, M) &= \operatorname{Hom}_D(\varinjlim \eta U_i, M) = \varprojlim \operatorname{Hom}_D(\eta U_i, M) = \varprojlim \mathcal{H}om(\eta, M)(U_i) \\
&= \operatorname{Hom}_{\widehat{C}}(F, \mathcal{H}om(\eta, M))
\end{align}</math>

말하자면 <math>\widetilde{\eta}</math>는 <math>\mathcal{H}om(\eta, -)</math>에 왼쪽 인접이다. <math>\square</math>

이 명제는 몇 가지 따름 정리들을 산출한다. 예를 들어, 이 명제는 <math>C \mapsto \widehat{C}</math> 구성은 함자적이다: 즉, 각 함자 <math>C \to D</math>는 함자 <math>\widehat{C} \to \widehat{D}</math>를 결정한다.

== 변형들 ==
''<math>\infty</math>''-범주 ''<math>C</math>''위의 '''공간들의 준층'''은 ''<math>C</math>''에서 공간 ''<math>\infty</math>''-범주로 가는 반공변 함자이다(예: [[CW 복합체|CW-복합체]] 범주의 신경)<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Lurie|loc=Definition 1.2.16.1.}}</ref> 이는 "집합"이 "공간"으로 대체된 집합 준층의 범주 버전이다. 이 개념은 무엇보다도 다음과 같이 말하는 [[요네다 보조정리]]의 ∞ 범주 공식화에 사용된다. :<math>C \to PShv(C)</math>는 [[충실한 함자와 충만한 함자|완전히 충실]]하다.(여기서 ''<math>C</math>''는 [[단체 집합]]일 수 있다.)<ref>{{괄호 없는 하버드 인용|Lurie|loc=Proposition 5.1.3.1.}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[토포스]]
* 원소들의 범주
* 단체 준층 (이 개념은 "집합"을 "단체 집합"으로 대체하여 얻음)
* 전송이 포함된 준층

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|url=https://books.google.com/books?id=mc5DAAAAQBAJ|제목=Categories and sheaves|성=Kashiwara|이름=Masaki|저자링크=Masaki Kashiwara|성2=Schapira|이름2=Pierre|저자링크2=Pierre Schapira (mathematician)|연도=2005|총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|권=332|출판사=Springer|isbn=978-3-540-27950-1}}
* {{서적 인용|제목=Higher Topos Theory|성=Lurie|이름=J.}}
* {{서적 인용|제목=Sheaves in Geometry and Logic|성=Mac Lane|이름=Saunders|저자링크=Saunders Mac Lane|성2=Moerdijk|이름2=Ieke|연도=1992|출판사=Springer|isbn=0-387-97710-4}}

== 추가 자료 ==
* {{Nlab|id=presheaf|제목=Presheaf}}
* {{Nlab|id=free+cocompletion|제목=Free cocompletion}}
* Daniel Dugger, [http://pages.uoregon.edu/ddugger/cech.html Sheaves and Homotopy Theory], the [https://ncatlab.org/nlab/files/cech.pdf pdf file] provided by nlab.

[[분류:층론]]
[[분류:함자]]