준자유 전자 모형 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[응집물질물리학]]에서 '''준자유 전자 모형'''(準自由電子模型, {{lang|en|nearly free electron model}})은 [[결정]] 격자를 [[자유 전자]]가 거의 자유롭게 통과한다는 가정 아래 결정의 [[띠구조]]를 다루는 모형이다.

== 전개 ==
'''준자유 전자 모형'''은 전자의 [[위치 에너지]] <math>U(\mathbf r)</math>이 그 운동 에너지 <math>\mathbf p^2/2m</math>보다 매우 작다고 가정하여, 위치 에너지를 [[섭동 이론 (양자역학)|섭동항]]으로 다루는 모형이다. 전자 사이의 상호작용은 고려하지 않는다.

=== 중심 방정식 ===
[[전자]]의 [[파동 함수]]와 [[위치 에너지]]를 다음과 같이 [[푸리에 변환]]하여 정의하자.
:<math>\psi(\mathbf r)=\sum_{\mathbf k}C_{\mathbf k}\exp(i\mathbf k\cdot\mathbf r)</math>
:<math>U(\mathbf r)=\sum_{\mathbf G}U_{\mathbf G}\exp(i\mathbf G\cdot\mathbf r)</math>.
여기서 <math>\sum_{\mathbf G}</math>는 모든 [[역격자]] 벡터 <math>\mathbf G</math>에 대한 합이다. 위치 에너지는 실수이어야 하므로
:<math>U_{-\mathbf G}=U_{\mathbf G}^*</math>
이다. <math>U_0</math>은 위치에 관계없는 값이므로 임의로 <math>U_0=0</math>으로 놓는다.

이 변수로 [[슈뢰딩거 방정식]]을 다음과 같이 쓸 수 있다.
:<math>(k^2/2m-E_{\mathbf k})C_{\mathbf k}=\sum_{\mathbf G}U_{\mathbf G}C_{\mathbf k-\mathbf G}.</math>
여기서 <math>m</math>은 [[전자]]의 [[질량]]이고, <math>E_{\mathbf k}</math>는 전자의 총 [[에너지]]이다. 이를 '''중심 방정식'''({{lang|en|central equation}})이라고 한다.

=== 섭동 이론 ===
준자유 전자 모형에서는 위치 에너지가 매우 작다고 가정하므로, <math>U_{\mathbf G}</math>가 <math>k^2/2m-E</math> 보다 매우 작다고 가정하고 [[섭동 이론 (양자역학)|섭동 이론]]을 사용할 수 있다.

0차 섭동 이론에서는 <math>U_{\mathbf G}=0</math>을 놓는다. 그렇다면 자유 전자 모형과 같은 [[분산 관계]]를 얻는다.
:<math>k^2/2m=E^{(0)}_{\mathbf k}</math>.
1차 섭동 이론에서는 <math>U_{\mathbf G}</math>에 대하여 1차로 비례하는 항을 남긴다. 대부분의 경우에는 에너지의 1차 섭동은 0이다. 하지만 [[브래그 평면]](역격자 벡터를 이등분하는 평면)에서는 섭동이 있을 수 있다. [[파수]] <math>\mathbf k</math>가 [[역격자]] 벡터 <math>\mathbf G</math>의 브래그 평면 위에 있다고 하자. 즉,
:<math>\mathbf G\cdot(\mathbf k-\mathbf G/2)=0</math>
이라고 하자. 그렇다면
:<math>\mathbf k^2=(\mathbf k-\mathbf G)^2</math>
이므로, <math>\mathbf k</math>와 <math>\mathbf k-\mathbf G</math> 사이에 에너지 [[겹침 (물리학)|겹침]]이 생긴다. 그렇다면 에너지 1차 섭동 <math>\mathbf E^{(1)}</math>은 다음 행렬의 [[고윳값]]이고, 에너지 고유 상태는 다음 행렬의 [[고유벡터]]이다.
:<math>\begin{pmatrix}
0&U_{\mathbf G}\\
U_{\mathbf G}^*&0
\end{pmatrix}.</math>
즉, 에너지 1차 섭동은 다음과 같다.
:<math>E^{(1)}=\pm|U_{\mathbf G}|.</math>
따라서 [[띠틈]]이 <math>2|U_{\mathbf G}|</math>임을 알 수 있다.

보다 일반적으로, 여러 브래그 평면의 교차점에서는 더 많은 [[겹침 (물리학)|겹침]]이 있을 수 있다. 예를 들어, 두 개의 브래그 평면 <math>\mathbf G</math>, <math>\mathbf G'</math>이 겹치는 지점의 경우, 에너지 1차 섭동은 다음 행렬의 고윳값이다.
:<math>\begin{pmatrix}
0&U_{\mathbf G}&U_{\mathbf G'}\\
U_{\mathbf G}^*&0&U_{\mathbf G-\mathbf G'}^*\\
U_{\mathbf G'}^*&U_{\mathbf G-\mathbf G'}&0
\end{pmatrix}.</math>

== 참고 문헌 ==
{{위키공용분류}}
*{{서적 인용
| last = Ashcroft
| first = Neil W.
| 공저자 = [[데이비드 머민|N. David Mermin]]
| 제목 = Solid State Physics
| url = https://archive.org/details/solidstatephysic00ashc
| 출판사 = Holt, Rinehart and Winston
| 날짜 = 1976
| isbn = 0-03-083993-9
|언어=en
}}
* {{서적 인용|first=Charles |last=Kittel |title=Introduction to Solid State Physics |publisher=Wiley |location=New York |year=1996 |isbn=0-471-11181-3 |edition=7판}}
* {{서적 인용|first=Stephen |last=Elliott |title=The Physics and Chemistry of Solids |location=New York |publisher=Wiley |year=1998 |isbn=0-471-98194-X }}

== 같이 보기 ==
* [[자유 전자 모형]]

{{전거 통제}}
{{토막글|물리학}}

[[분류:띠 이론]]