준열린집합 문서 원본 보기

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[[일반위상수학]]에서 '''준열린집합'''(準-集合, {{llang|en|almost open set}}) 또는 '''베르 성질 집합'''(Baire性質集合, {{llang|en|set with the property of Baire}})은 [[열린집합]] 또는 [[닫힌집합]]에 [[제1 범주 집합]]만큼 가까운 집합이다.

== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 속의 다음과 같은 집합족들을 생각하자.
* <math>\operatorname{Meag}(X)=\{S\subseteq X\colon\operatorname{int}(\operatorname{cl}(X))=\varnothing\}</math>: [[제1 범주 집합]]들의 족
* <math>\boldsymbol\Sigma^0_1(X)</math>: [[열린집합]]들의 족
* <math>\boldsymbol\Pi^0_1(X)</math>: [[닫힌집합]]들의 족
* <math>\boldsymbol\Sigma^0_2(X)</math>: [[Fσ 집합|F<sub>σ</sub> 집합]]들의 족
* <math>\boldsymbol\Pi^0_2(X)</math>: [[Gδ 집합|G<sub>δ</sub> 집합]]들의 족
* <math>\boldsymbol\Delta^1_1(X)</math>: [[보렐 집합]]들의 족
또한, <math>\operatorname\sigma(\mathcal F)</math>가 집합족 <math>\mathcal F</math>를 포함하는 최소의 [[시그마 대수]]라고 하자. 그렇다면, 다음 집합족들이 일치하며, 이를 <math>\operatorname{BP}(X)</math>라고 표기하자.
:<math>
\begin{aligned}
\operatorname{BP}(X)&=\operatorname\sigma\left(\operatorname{Meag}(X)\cup\boldsymbol\Sigma^0_1(X)\right)\\
&=\operatorname\sigma\left(\operatorname{Meag}(X)\cup\boldsymbol\Pi^0_1(X)\right)\\
&=\operatorname\sigma\left(\operatorname{Meag}(X)\cup\boldsymbol\Delta^1_1(X)\right)\\
&=\left\{S\subseteq X\colon\exists U\in\boldsymbol\Sigma^0_1(X)\colon A\mathop{\triangle}U\in\operatorname{Meag}(X)\right\}\\
&=\left\{S\subseteq X\colon\exists F\in\boldsymbol\Pi^0_1(X)\colon A\mathop{\triangle}F\in\operatorname{Meag}(X)\right\}\\
&=\{A\setminus M\colon A\in\boldsymbol\Sigma^0_2(X),\;M\in\operatorname{Meag}(X)\}\\
&=\{A\cup M\colon A\in\boldsymbol\Pi^0_2(X),\;M\in\operatorname{Meag}(X)\}\\
\end{aligned}</math>
여기서 <math>A\mathop{\triangle}B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A)</math>은 [[대칭차]]이다. <math>\operatorname{BP}(X)</math>의 원소를 <math>X</math>의 '''준열린집합'''이라고 한다.<ref name="Kechris">{{서적 인용|이름=Alexander Sotirios|성=Kechris|제목=Classical descriptive set theory|출판사=Springer-Verlag|날짜=1995|issn=0072-5285|doi=10.1007/978-1-4612-4190-4|isbn=978-1-4612-8692-9|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=156|zbl=0819.04002|mr=1321597|언어=en}}</ref>{{rp|47–48, Definition 8.21, Proposition 8.22, Proposition 8.23}}
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
다음 기호를 정의하자.
:<math>\begin{aligned}
\mathcal A&=\operatorname\sigma\left(\operatorname{Meag}(X)\cup\boldsymbol\Sigma^0_1(X)\right)\\
\mathcal A'&=\operatorname\sigma\left(\operatorname{Meag}(X)\cup\boldsymbol\Pi^0_1(X)\right)\\
\mathcal A''&=\operatorname\sigma\left(\operatorname{Meag}(X)\cup\boldsymbol\Delta^1_1(X)\right)\\
\mathcal B&=\left\{S\subseteq X\colon\exists U\in\boldsymbol\Sigma^0_1(X)\colon A\mathop{\triangle}U\in\operatorname{Meag}(X)\right\}\\
\mathcal B'&=\left\{S\subseteq X\colon\exists F\in\boldsymbol\Pi^0_1(X)\colon A\mathop{\triangle}F\in\operatorname{Meag}(X)\right\}=\{X\setminus S\colon S\in\mathcal B\}\\
\mathcal C&=\{A\setminus M\colon A\in\boldsymbol\Sigma^0_2(X),\;M\in\operatorname{Meag}(X)\}\\
\mathcal C'&=\{A\cup M\colon A\in\boldsymbol\Pi^0_2(X),\;M\in\operatorname{Meag}(X)\}=\{X\setminus S\colon S\in\mathcal C\}\\
\end{aligned}</math>
[[보렐 시그마 대수]]는 정의에 따라 <math>\boldsymbol\Delta^1_1(X)=\sigma(\boldsymbol\Sigma^0_1(X))=\sigma(\boldsymbol\Pi^0_1(X))</math>이므로, 자명하게
:<math>\mathcal A=\mathcal A'=\mathcal A''</math>
이다. 또한, 자명하게
:<math>\mathcal C\cup\mathcal C'\subseteq\mathcal A''\subseteq\sigma(\mathcal B)=\sigma(\mathcal B')</math>
이다. 또한,
:<math>\mathcal B\subseteq\mathcal C'\iff\mathcal B'\subseteq\mathcal C</math>
임을 쉽게 알 수 있다. 따라서,
:<math>\mathcal B\subseteq\mathcal C'</math>
:<math>\mathcal B=\sigma(\mathcal B)</math>
를 보이면 족하다.
* <math>\mathcal B\subseteq\mathcal C'</math>: 임의의 집합 <math>S\in\mathcal B</math> 및 <math>U\in\boldsymbol\Sigma^0_1(X)</math>에 대하여, <math>S\triangle U\subseteq A_0\cup A_1\cup\cdots</math>이며, <Math>(A_i)_{i\in\mathbb N}</math>가 [[조밀한 곳이 없는 집합]]들의 열이라고 하자. 그렇다면, <math>M=\operatorname{cl}(A_0)\cup\operatorname{cl}(A_1)\cup\cdots\in\operatorname{Meag}(X)\cap\boldsymbol\Sigma^0_2(X)</math>이다. 이제 <math>\tilde S=U\setminus M\in\boldsymbol\Pi^0_2(X)</math>을 정의하자. 그렇다면, <math>S\setminus\tilde S\subseteq M</math>이므로 <math>S\setminus\tilde S\in\operatorname{Meag}(X)</math>이며, <math>S=\tilde S\cup(S\setminus\tilde S)</math>이다.
* <math>\mathcal B=\sigma(\mathcal B)</math>:
** 가산 합집합에 대한 닫힘: [[열린집합]]의 합집합은 [[열린집합]]이며, [[제1 범주 집합]]들의 가산 합집합은 [[제1 범주 집합]]이므로, 이는 자명하게 참이다.
** 여집합에 대한 닫힘: 편의상, <math>A\triangle B\in\operatorname{Meag}(X)</math>를 <math>A\approx B</math>로 표기하자. 임의의 <math>A\in\mathcal B</math>에 대하여, <math>U\in\boldsymbol\Sigma^0_1(X)</math>이며 <math>A\approx U</math>라고 하자. 그렇다면, <math>X\setminus A\approx X\setminus U</math>이며, <math>U\approx\operatorname{cl}(U)</math>이므로 <math>X\setminus A\approx X\setminus\operatorname{cl}(U)\in\boldsymbol\Sigma^0_1(X)</math>이다.
</div></div>

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[부분 집합]]에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
:{| style="text-align: center"
| colspan=2 | || [[정칙 열린집합]] ⇒ [[열린집합]]
|-
| || ⇗ ||  || ⇘
|-
| [[열린닫힌집합]]
|colspan=3| || [[보렐 집합]]
|-
| || ⇘ || || ⇗ || || ⇘
|-
| colspan=2 | ||  [[정칙 닫힌집합]] ⇒ [[닫힌집합]]
| colspan=3 | || 준열린집합 ⇒ [[부분 집합]]
|-
| colspan=5 | || ⇗
|-
| colspan=5 style="text-align: right" | [[조밀 집합]]의 [[여집합]] ⇒ [[조밀한 곳이 없는 집합]] ⇒ [[제1 범주 집합]]
|}

=== 연산에 대한 닫힘 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 준열린집합들은 [[시그마 대수]]를 이룬다. 즉,
* 준열린집합의 [[여집합]]은 준열린집합이다.
* 가산 개의 준열린집합들의 [[합집합]]은 준열린집합이다.
* 가산 개의 준열린집합들의 [[교집합]]은 준열린집합이다.

모든 [[열린집합]]과 [[닫힌집합]]을 비롯한 모든 [[보렐 집합]]은 준열린집합이다. 만약 [[사영 결정 공리]]를 가정한다면, 모든 [[사영 집합]]은 준열린집합이다.

== 예 ==
[[선택 공리]]를 가정하면, [[실수]]선의 부분 집합들 가운데 준열린집합이 아닌 부분 집합이 존재한다. 예를 들어, [[비탈리 집합]]은 준열린집합이 아니다.

== 역사 ==
[[르네루이 베르]]가 1905년에 도입하였다.<ref>{{서적 인용|이름=René|성=Baire|저자링크=르네루이 베르|제목=Leçons sur les fonctions discontinues professées au collège de France|위치=[[파리 (프랑스)|파리]]|출판사=Gauthier-Villars, Imprimeur-Libraire|날짜=1905|jfm=36.0438.01|url=https://archive.org/details/leconsdiscontinues00bairrich|총서=Collection de monographies sur la théorie des fonctions publiée sous la direction de M. Émile Borel|언어=fr}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Baire property}}
* {{nlab|id=almost open subspace|title=Almost open subspace}}

{{전거 통제}}

[[분류:일반위상수학]]