준반사 문서 원본 보기

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[[선형대수학]]과 [[군론]]에서 '''준반사'''(準反射, {{llang|en|pseudoreflection|슈도리플렉션}})는 유한 차원 [[벡터 공간]] 위의, [[고정점]] 공간의 [[여차원]]이 1인 [[멱일원|멱일]] [[자기 사상|자기]] [[선형 변환]]이다. [[유클리드 공간]]에서의 반사의 개념을 [[실수체]] 대신 임의의 [[체 (수학)|체]]에 대하여 일반화한 것이다.

== 정의 ==
체 <math>K</math> 위의 유한 차원 [[벡터 공간]] <math>V</math> 위의 '''준반사'''는 다음과 같은 [[자기 사상|자기]] [[선형 변환]] <math>f\colon V\to V</math>이다.
* [[멱일원]]이다. 즉, <math>f^r = \operatorname{id}</math>인 양의 정수 <math>r\in\mathbb N</math>이 존재한다.
* [[고정점]] 부분 벡터 공간 <math>V^f = \{v\in V\colon fv = v\}\subseteq V</math>의 [[여차원]]은 1이다.

여기서 <math>f^r = 1</math>이 되는 최소의 양의 정수 <math>r</math>는 <math>f</math>의 '''차수'''({{llang|en|order}})라고 한다. 이는 항상 2 이상의 양의 정수이다 (1일 경우, [[여차원]]이 0이 된다).

== 성질 ==
=== 차수 ===
체 <math>K</math> 위의 유한 차원 벡터 공간 <math>V</math> 위의 준반사 <math>f</math>의 차수 <math>r\in\mathbb Z^+</math>에 대하여, 다음 두 조건 가운데 하나 이상이 성립한다.
* <math>\operatorname{char}K>0</math>이며, <math>r=2</math>이다.
* <math>\{a\in K\colon a^r = 1\} \supsetneq \{1\}</math>이다.
즉, 특히 [[실수체]] <math>K=\mathbb R</math>일 경우, [[표수 0]]이며, [[1의 거듭제곱근]]이 ±1 밖에 없으므로, 준반사의 차수는 항상 2이다. 즉, 이 경우 준반사의 개념은 기초 기하학에서의 반사의 개념과 동치이다.

반면, 예를 들어 [[복소수체]]의 경우, 준반사의 차수는 2 이상의 임의의 양의 정수가 될 수 있다.

=== 고윳값 ===
체 <math>K</math> 위의 유한 차원 벡터 공간 <math>V</math> 위의 준반사 <math>f</math>의 차수가 <math>r</math>이라고 하자. 만약 <math>f</math>가 대각화될 수 있다면, <math>f</math>는 다음과 같이 표현된다.
:<math>f = \operatorname{diag}(1,1,\dotsc,1,\alpha)</math>
여기서 <math>\alpha</math>는 1이 아닌 [[1의 거듭제곱근]]이다. 만약 <math>f</math>가 대각화될 수 없다면, <math>f</math>는 다음과 같이 표현된다.
:<math>f = \begin{pmatrix}
1&1&0&\dotsm &0\\
0&1&0&\dotsm & 0\\
0&0&1&&0\\
\vdots&\vdots&&\ddots&\\
0&0&0&&1
\end{pmatrix}</math>
대각화될 수 없는 준반사를 '''이환'''(移環, {{llang|en|transvection}})이라고 한다. 이 경우 차수는 항상 2이다.

만약 <math>\operatorname{char}K \not\mid n</math>이라면, <math>f</math>는 항상 대각화될 수 있다.

=== 준반사로 생성되는 군 ===
임의의 체 <math>K</math> 위의 유한 차원 벡터 공간 <math>V</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[선형 변환]]으로 구성된 임의의 [[유한군]]
:<math>G \le \operatorname{GL}(V;K)</math>
:<math>|G| < \aleph_0</math>
이 주어졌을 때, 다음을 정의할 수 있다.
* <math>V</math> 값의 변수를 갖는 자유 가환 결합 대수 <math>K[V] = \operatorname{Sym}(V^*)</math>. 그 위에는 <math>G</math>가 <math>(g\cdot p)(v) = p(g^{-1}v)\qquad(p\in K[V],\;v\in V,\;g\in G)</math>와 같이 작용하여, 이는 [[군환]] <math>K[G]</math>의 [[가군]]을 이룬다.
* <math>G</math>에 대한 불변 다항식들의 부분 대수 <math>K[V]^G = \{p\in K[V]\colon g\cdot p = p\;\forall g\in G \}</math>.
또한, 다음을 가정하자.
* <math>\operatorname{char}K = 0</math>이거나, 또는 <math>\operatorname{char}K \not \mid |G|</math>
'''슈발레-셰퍼드-토드 정리'''(Chevalley-Shepard-Todd定理, {{llang|en|Chevalley–Shepard–Todd theorem}})에 따르면, <math>G</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>G</math>를 생성하는 (유한 개의) 준반사들의 집합 <math>P\subseteq\operatorname{GL}(V;K)</math>이 존재한다.
* <math>K[V]^G</math>는 <math>K</math> 위의 자유 결합 가환 대수([[다항식환]])이다.
* <math>K[V]^G</math>의 모든 [[소 아이디얼]]에서의 [[국소화 (환론)|국소화]]는 [[정칙 국소환]]이다.
* <math>K[V]</math>는 <math>K[V]^G</math> 위의 [[자유 가군]]이다.
* <math>K[V]</math>는 <math>K[V]^G</math> 위의 [[사영 가군]]이다.
이러한 꼴로 표현될 수 있는 [[유한군]]을 <math>K</math>-'''준반사군'''(準反射群, {{llang|en|pseudoreflection group}})이라고 한다.

두 <math>K</math>-준반사군의 [[직접곱]]은 역시 <math>K</math>-준반사군이다.
<div class="mw-collapsed mw-collapsible toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
두 <math>K</math>-준반사군
:<math>G\le\operatorname{GL}(V;K)</math>
:<math>H\le\operatorname{GL}(W;K)</math>
이 주어졌을 때, 자연스럽게
:<math>G\times H\le \operatorname{GL}(V;K)\times\operatorname{GL}(W;K)\le\operatorname{GL}(V\oplus W;K)</math>
이다.
</div></div>

== 역사 ==
슈발레-셰퍼드-토드 정리는 [[복소수체]]의 경우 제프리 콜린 셰퍼드({{llang|en|Geoffrey Colin Shephard}})와 존 아서 토드({{llang|en|John Arthur Todd}}, 1908~1994)가 1954년에 증명하였으며,<ref>{{저널 인용 | last=Shephard |first= Geoffrey Colin |last2= Todd |first2= John Arthur |title=Finite unitary reflection groups | url=https://archive.org/details/sim_canadian-journal-of-mathematics_1954_6_2/page/n117 | journal=Canadian Journal of Mathematics | year=1954 |volume=6 | pages=274–304 | doi=10.4153/CJM-1954-028-3|issn=0008-414X|mr= 0059914|언어=en}}</ref> 1955년에 [[클로드 슈발레]]가 더 간략한 증명을 발표하였다.<ref>{{저널 인용 | authorlink=클로드 슈발레 |first=Claude |last= Chevalley | title=Invariants of finite groups generated by reflections | url=https://archive.org/details/sim_american-journal-of-mathematics_1955-10_77_4/page/n160 | journal=American Journal of Mathematics |  날짜=1955-10 | pages=778–782 | volume= 77| issue=4 | doi=10.2307/2372597 | jstor=2372597|issn=0002-9327|언어=en}}</ref>

이후 [[장피에르 세르]]가 이 정리를 양의 [[체의 표수|표수]]에 대하여 일반화하였다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=Polynomial invariants of finite groups. A survey of recent developments|doi=10.1090/S0273-0979-97-00724-6 |mr=1433171 | 저널=Bulletin of the American Mathematical Society | 권=34 | 날짜=1997 | 쪽=211–250 | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Reflection group}}

[[분류:선형대수학]]
[[분류:군론]]