준마팅게일 문서 원본 보기

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[[확률론]]에서 '''준마팅게일'''(準martingale, {{llang|en|semimartingale}})은 국소 마팅게일과 [[유계 변동 함수|유계 변동]] [[확률 과정]]의 합이다. 준마팅게일 조건은 [[이토 적분]]이 잘 정의될 [[필요 충분 조건]]이다.

== 정의 ==
=== 실수 값의 준마팅게일 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[여과 확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F_t,\Pr)_{t\in[0,\infty]}</math>
그렇다면, <math>(\Omega,\mathcal F_t,\Pr)_{t\in[0,\infty)}</math> 위의 [[마팅게일]]의 개념을 정의할 수 있다. 이는 [[순응 확률 과정]]의 일종이다.

<math>(\Omega,\mathcal F_t,\Pr)_{t\in[0,\infty]}</math> 위의 과정 <math>(X_t)_{t\in[0,\infty)}</math>에 대하여, 만약 어떤 [[정지 시간]]의 열
:<math>(\tau_i\colon\Omega\to[0,\infty))_{i\in\mathbb N}</math>
이 다음 두 조건을 만족시킨다면, 이를 '''국소 마팅게일'''이라고 한다.
* [[거의 확실하게]] <math>\textstyle\lim_{i\to\infty}t_i = \infty</math>이다.
* 모든 <math>i</math>에 대하여, 정지화 <math>X^{|\tau_i}</math>는 [[마팅게일]]이다.

[[순응 확률 과정]] <math>(X_t)_{t\in[0,\infty)}</math>이 다음과 같은 꼴을 갖는다면, '''준마팅게일'''이라고 한다.
* 어떤 국소 마팅게일 <math>(M_t)_{t\in[0,\infty)}</math>과 [[거의 확실하게]] 국소 [[유계 변동 함수]]이자 [[카들라그 함수]]인 확률 과정 <math>(A_t)_{t\in[0,\infty)}</math>의 합 <math>X=M+A</math>으로 표현될 수 있다. (즉, 임의의 <math>0\le T<\infty</math>에 대하여, <Math>(A_t)_{t\in[0,T]}</math>는 [[거의 확실하게]] [[유계 변동 함수]]이다.)

=== 다양체 값의 준마팅게일 ===
임의의 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>이 주어졌다고 하자. <math>M</math> 값의 [[확률 과정]]
:<math>(X_t\colon\Omega\to M)_{t\in[0,\infty)}</math>
이 주어졌다고 하자. 만약 임의의 [[매끄러운 함수]] <math>f\colon M\to\mathbb R</math>에 대하여 <math>f(X_t)</math>가 준마팅게일이라면, <Math>X_t</math>를 '''준마팅게일'''이라고 한다.

== 성질 ==
임의의 전단사 [[증가 함수]]
:<Math>f\colon[0,\infty) \to [0,\infty)</math>
가 주어졌다고 하자. 만약 <math>X_t</math>가 준마팅게일이라면, <Math>X_{f(t)}</math> 역시 준마팅게일이다.

준마팅게일의 임의의 [[정지 시간]]에 대한 정지화 역시 준마팅게일이다.

준마팅게일의 합과 곱 역시 준마팅게일이다. 보다 일반적으로, 준마팅게일의 <math>\mathcal C^2</math> 함수에 대한 값은 준마팅게일이다.

== 예 ==
[[위너 확률 과정]] <math>W_t</math>에 대하여, [[정지 시간]]
:<math>\tau = \inf \{t \colon W_t \ge 1\}</math>
을 생각하자. 그렇다면,
:<math>X_t = \begin{cases}
W^{|\tau}_{t/(1-t)} & 0\le t < 1 \\
1 & 1 \le t 
\end{cases}</math>
를 생각하자. 이는 [[거의 확실하게]] [[연속 함수]]이지만, <math>t = 1</math>에서 마팅게일이 아니다. 그러나 이는 국소 마팅게일이며, 따라서 준마팅게일이다.

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Semi-martingale}}

{{전거 통제}}

[[분류:확률 과정]]