준동형 정리 문서 원본 보기

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[[추상대수학]]에서 '''준동형 정리'''(準同型定理, {{llang|en|homomorphism theorem}})는 [[수학]]의 여러 분야에서 나타나는 [[준동형]]에 관한 기초적인 정리이다. [[동형 정리]]와 밀접한 관련이 있으며, 이를 증명하는 데 이용되기도 한다.

== 정의 ==
같은 형의 [[대수 구조]] <math>A</math>와 <math>B</math> 및 그 사이의 [[준동형]] <math>\phi\colon A\to B</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 <math>A</math> 위에 [[합동 관계]] <math>\sim_\phi</math>를
:<math>a\sim_\phi a'\iff\phi(a)=\phi(a')\;\forall a,a'\in A</math>
로 정의할 수 있다. <math>\sim_\theta</math>가 <math>\sim_\phi</math>보다 더 고른 <math>A</math> 위의 [[합동 관계]]라고 하자. 즉,
:<math>a\sim_\theta a'\implies a\sim_\phi a'</math>
라고 하자. 또한, <math>\theta\colon A\to A/{\sim}_\theta</math>가 자연스러운 몫 준동형이라고 하자. '''준동형 정리'''에 따르면, 다음 명제들이 성립한다.
* <math>\chi\circ\theta=\phi</math>인 [[준동형]] <math>\chi\colon A/{\sim}_\theta\to B</math>가 유일하게 존재한다.
* 만약 <math>\phi</math>가 [[전사 함수]]라면 <math>\chi</math> 역시 [[전사 함수]]이다.
* 만약 <math>{\sim}_\theta={\sim}_\phi</math>라면, <math>\chi</math>는 [[단사 함수]]이다.
이로부터 [[제1 동형 정리]]를 따름정리로 얻을 수 있다.

== 예 ==
이 정리는 [[보편 대수학]]의 정리이므로, 임의의 [[대수 구조]]에 대하여 성립한다.

=== 군에 대한 형태 ===
[[군 준동형]] <math>\phi\colon G\to H</math> 및 [[정규 부분군]] <math>K\vartriangleleft G</math>가 있고, <math>K\le\ker\phi</math>라고 하자. <math>\theta\colon G\to G/K</math>가 몫 준동형이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.<ref>Joseph A. Gallian (2006), ''Contemporary Abstract Algebra'', Houghton Mifflin Company(Boston, New York), p.206.</ref>
* <math>\chi\circ\theta=\phi</math>인 [[군 준동형]] <math>\chi\colon G/K\to H</math>가 유일하게 존재한다.
* 만약 <math>\phi</math>가 [[전사 함수]]라면 <math>\chi</math> 역시 [[전사 함수]]이다.
* 만약 <math>K=\ker\phi</math>라면, <math>\chi</math>는 [[단사 함수]]이다.

=== 환에 대한 형태 ===
[[환 준동형]] <math>\phi\colon R\to S</math> 및 <math>R</math>의 [[아이디얼]] <math>\mathfrak a\subset R</math>가 있고, <math>\mathfrak a\subset\phi^{-1}(0)</math>이라고 하자. 또한, <math>\theta\colon R\to R/\mathfrak a</math>가 몫 준동형이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.
* <math>\chi\circ\theta=\phi</math>인 [[환 준동형]] <math>\chi\colon R/\mathfrak a\to S</math>가 유일하게 존재한다.
* 만약 <math>\phi</math>가 [[전사 함수]]라면 <math>\chi</math> 역시 [[전사 함수]]이다.
* 만약 <math>\mathfrak a=\phi^{-1}(0)</math>이라면, <math>\chi</math>는 [[단사 함수]]이다.

=== 가군에 대한 형태 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 [[왼쪽 가군]] <math>M,N</math> 사이의 [[가군 준동형]] <math>\phi\colon M\to N</math> 및 <math>M</math>의 부분 가군 <math>P\subset M</math>가 있고, <math>P\subset\phi^{-1}(0)</math>이라고 하자. 또한, <math>\theta\colon M\to M/P</math>가 몫 준동형이라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.
* <math>\chi\circ\theta=\phi</math>인 가군 준동형 <math>\chi\colon M/P\to N</math>이 유일하게 존재한다.
* 만약 <math>\phi</math>가 전사 함수라면 <math>\chi</math> 역시 전사 함수이다.
* 만약 <math>P=\phi^{-1}(0)</math>이라면, <math>\chi</math>는 단사 함수이다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* [http://planetmath.org/encyclopedia/FundamentalHomomorphismTheorem.html 플래닛매스, 군론에서의 형태 증명]

== 같이 보기 ==
* [[동형 정리]]
* [[대수 구조]]
* [[준동형]]

{{전거 통제}}

[[분류:추상대수학]]
[[분류:기본 정리]]