준동형 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[추상대수학]]에서 '''준동형'''(準同型, {{llang|en|homomorphism}}) 또는 '''준동형 사상'''(準同型寫像)은 두 [[구조 (논리학)|구조]] 사이의, 모든 연산 및 관계를 보존하는 [[함수]]이다. 이들은 [[범주 (수학)|범주]]의 [[사상 (수학)|사상]]을 이룬다.

==정의==
같은 부호수 <math>\sigma=(F,R)</math>의 두 [[구조 (논리학)|구조]] <math>(A,F_A,R_A)</math>, <math>(B,F_B,R_B)</math> 사이의 '''준동형'''은 다음 조건을 만족시키는 함수 <math>\phi\colon A\to B</math>이다.
* (연산의 보존) 모든 <math>n</math>항 연산 <math>f\in F</math> 및 <math>a_1,a_2,\dots,a_n\in A</math>에 대하여,
::<math>\phi(f_A(a_1,a_2,\dots,a_n))=f_B(\phi(a_1),\phi(a_2),\dots,\phi(a_n))</math>
* (관계의 보존) 모든 <math>n</math>항 관계 <math>r\in R</math> 및 <math>a_1,a_2,\dots,a_n\in A</math>에 대하여,
::<math>r_A(a_1,a_2,\dots,a_n)\implies r_B(\phi(a_1),\phi(a_2),\dots,\phi(a_n))</math>

같은 부호수 <math>\sigma=(F,R)</math>의 두 [[구조 (논리학)|구조]] <math>(A,F_A,R_A)</math>, <math>(B,F_B,R_B)</math> 사이의 '''강준동형'''(強準同型, {{llang|en|strong homomorphism}})은 다음 조건을 추가로 만족시키는 준동형 <math>\phi\colon A\to B</math>이다.
* 모든 <math>n</math>항 관계 <math>r\in R</math> 및 <math>a_1,\dots,a_n\in A</math>에 대하여,
::<math>r_A(a_1,a_2,\dots,a_n)\iff r_B(\phi(a_1),\phi(a_2),\dots,\phi(a_n))</math>

[[대수 구조]]의 경우, 관계가 없으므로 강준동형과 준동형의 개념이 일치한다.

== 예 ==
=== 마그마와 군 ===
[[마그마 (수학)|마그마]] <math>(M,\cdot)</math>는 하나의 [[이항 연산]]을 갖는 [[대수 구조]]이다. 마그마 준동형 <math>\phi\colon M\to N</math>은 모든 <math>m,n\in M</math>에 대하여
:<math>\phi(m\cdot n)=\phi(m)\cdot\phi(n)</math>
인 함수이다.

[[군 (수학)|군]] <math>(G,\cdot,^{-1},1)</math>은 [[이항 연산]] <math>\cdot</math>, 일항 연산 <math>^{-1}</math>, 영항 연산 <math>1</math>을 갖는 [[대수 구조]]이다. [[군 준동형]] <math>\phi\colon G\to H</math>는 모든 <math>g,g'\in G</math>에 대하여
# <math>\phi(g\cdot g')=\phi(g)\cdot\phi(g')</math>
# <math>\phi(g^{-1})=\phi(g)^{-1}</math>
# <math>\phi(1)=1</math>
인 함수이다. 군의 경우, 군의 공리에 따라 2번·3번 조건이 1번 조건에 의하여 [[함의]]되므로, 이들을 생략할 수 있다.

=== 유사환과 환 ===
[[유사환]] <math>(R,\cdot,+,-,0)</math>은 이항 연산 <math>\cdot</math> 및 <math>-</math>, 일항 연산 <math>-</math>, 영항 연산 <math>0</math>을 갖는 [[대수 구조]]이다. 유사환 준동형 <math>\phi\colon R\to S</math>는 모든 <math>r,r'\in R</math>에 대하여
# <math>\phi(r\cdot r')=\phi(r)\cdot\phi(r')</math>
# <math>\phi(r+r')=\phi(r)+\phi(r')</math>
# <math>\phi(-r)=-\phi(r)</math>
# <math>\phi(-0)=-\phi(0)</math>
인 함수이다. 환의 공리에 따라 3번·4번 조건이 1번 및 2번 조건에 의하여 [[함의]]되므로, 이들을 생략할 수 있다.

(단위원을 갖는) [[환 (수학)|환]] <math>(R,\cdot,+,-,1,0)</math>은 이항 연산 <math>\cdot</math> 및 <math>+</math>, 일항 연산 <math>-</math>, 영항 연산 <math>0</math> 및 <math>1</math>을 갖는 [[대수 구조]]이다. [[환 준동형]] <math>\phi\colon R\to S</math>는 모든 <math>r,r'\in R</math>에 대하여
# <math>\phi(r\cdot r')=\phi(r)\cdot\phi(r')</math>
# <math>\phi(r+r')=\phi(r)+\phi(r')</math>
# <math>\phi(-r)=-\phi(r)</math>
# <math>\phi(-0)=-\phi(0)</math>
# <math>\phi(1)=1</math>
인 함수이다. 환의 공리에 따라 3번·4번 조건이 1번 및 2번 조건에 의하여 [[함의]]되므로, 이들을 생략할 수 있다. 두 환 사이의 유사환 준동형은 일반적으로 5번 성질을 만족시키지 못하므로, [[환 준동형]]은 유사환 준동형보다 더 강한 조건이다. 예를 들어, <math>\mathbb Z\to\mathbb Z\times\mathbb Z</math>, <math>n\mapsto(0,n)</math>은 유사환 준동형이지만 [[환 준동형]]이 아니다.

[[체 (수학)|체]]는 ([[보편 대수학]]에서 다루는) [[대수 구조]]가 아니므로, 준동형의 개념이 존재하지 않는다. 체를 환으로 간주한다면, 체 사이의 환 준동형은 [[체의 확대]]이다. 체 사이의 유사환 준동형은 그 밖에 상수 함수 0만을 추가로 포함한다.

=== 벡터 공간 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대한 [[벡터 공간]] <math>(V,+,-,s\cdot_{s\in K},0)</math>은 이항 연산 <math>+</math>, 일항 연산 <math>-</math> 및 모든 <math>s\in K</math>에 대하여 <math>s\cdot</math>, 영항 연산 <math>0</math>을 갖는 [[대수 구조]]이다. 벡터 공간의 준동형은 [[선형 변환]]이라고 하며, 선형 변환 <math>\phi\colon V\to W</math>는 모든 <math>v,v'\in R</math>에 대하여
# <math>\phi(v+v')=\phi(v)+\phi(v')</math>
# <math>\phi(-v)=-\phi(v')</math>
# 모든 <math>s\in K</math>에 대하여, <math>\phi(-s\cdot r)=-s\cdot\phi(r)</math>
# <math>\phi(0)=\phi(0)</math>
인 함수이다. 벡터 공간의 공리에 따라 2번 및 4번 조건은 1번 및 3번 조건에 의하여 [[함의]]되므로, 이들을 생략할 수 있다.

=== 격자 ===
[[격자 (순서론)|격자]] <math>(L,\vee,\wedge)</math>는 이항연산 <math>\vee</math> 및 <math>\wedge</math>를 갖는 [[대수 구조]]이다. 격자의 준동형 <math>\phi\colon L\to M</math>은 모든 <math>a,b\in L</math>에 대하여
# <math>\phi(a\vee b)=\phi(a)\vee\phi(b)</math>
# <math>\phi(a\wedge b)=\phi(a)\wedge\phi(b)</math>
인 함수이다. 격자는 표준적인 [[부분 순서 집합]] 구조를 갖는데, 이 경우 위 두 조건으로부터 격자 준동형이 항상 [[단조함수]]임을 보일 수 있다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

[[유계 격자]] <math>(L,\vee,\wedge,\bot,\top)</math>는 이항 연산 <math>\vee</math> 및 <math>\wedge</math>, 영항 연산 <math>\bot</math> 및 <math>\top</math>을 갖는 [[대수 구조]]이다. 유계 격자의 준동형 <math>\phi\colon L\to M</math>은 모든 <math>a,b\in L</math>에 대하여
# <math>\phi(a\vee b)=\phi(a)\vee\phi(b)</math>
# <math>\phi(a\wedge b)=\phi(a)\wedge\phi(b)</math>
# <math>\phi(\bot)=\bot</math>
# <math>\phi(\bot)=\top</math>
인 함수이다. 이는 격자의 준동형보다 더 강한 조건이다. 즉, 두 유계 격자 사이의 유계 격자 준동형은 격자 준동형이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

=== 그래프 ===
[[그래프]]의 언어 <math>\langle\sim\rangle</math>는 아무런 연산을 갖지 않고, 하나의 [[이항 관계]] <math>v_1\sim v_2</math>를 갖는 언어이다. 이 경우 <math>v_1\sim v_2</math>는 "<math>v_1=v_2</math>이거나, 아니면 <math>v_1</math>과 <math>v_2</math> 사이에 변이 존재한다"로 해석한다.

이 언어의 구조는 [[그래프]]이며, 구조로서의 준동형은 그래프의 준동형이다.

=== 전순서 ===
[[전순서 집합]]의 언어 <math>\langle\le</math>는 아무런 연산을 갖지 않고, 하나의 [[이항 관계]] <math>\le</math>를 갖는 언어이며, 이 언어의 구조는 [[전순서 집합]]이다. 이 경우, 준동형은 순서 보존 함수(증가 함수)이다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|성=Burris|이름=Stanley N.|공저자=Hanamantagouda P. Sankappanavar|url=http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html|제목=A course in universal algebra|출판사=Springer|zbl=0478.08001|mr=0648287 |isbn=978-1-4613-8132-7|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=78|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[사상 (수학)|사상]]
* [[동형 사상]]
* [[준동형 정리]]
* [[동형 정리]]
* [[합동 관계]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Homomorphism}}
* {{매스월드|id=Homomorphism|title=Homorphism}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/homomorphism|제목=Homomorphism|웹사이트=nLab|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:함수와 사상]]
[[분류:추상대수학]]
[[분류:모형 이론]]