준군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{대수 구조}}
[[추상대수학]]과 [[범주론]]에서 '''준군'''(準群, {{llang|en|groupoid|그루포이드}})은 [[군 (수학)|군]]과 유사한 대수적 구조이나, 그 위의 [[이항연산]]이 모든 원소에 대해 정의되어야 한다는 조건이 없다. 즉, [[결합법칙]]을 만족하는 부분적으로 정의된 [[이항연산]]이 존재하고, [[역원]]이 항상 존재하는 집합이다.

== 정의 ==
=== 대수적 정의 ===
'''준군''' <math>(\mathcal G,\mathcal S,\cdot)</math>은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 집합 <math>\mathcal G</math>
* <math>\mathcal G\times\mathcal G</math>의 [[부분 집합]] <math>\mathcal S\subseteq\mathcal G\times\mathcal G</math>
* <math>\mathcal S</math> 위에 정의된 함수 <math>\cdot\colon\mathcal S\to\mathcal G</math>. <math>\cdot(g,h)</math>를 <math>gh</math>로 쓰자.
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
* ([[결합 법칙]]) 임의의 <math>g,h,k\in\mathcal G</math>에 대하여, 만약 <math>(g,h),(h,k)\in\mathcal S</math>라면 <math>(g,hk),(gh,k)\in\mathcal S</math>이며, 또한 <math>g(hk)=(gh)k</math>이다.
* ([[역원]]의 존재) 임의의 <math>g\in\mathcal G</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 원소 <math>g^{-1}\in\mathcal G</math>가 존재한다. 이를 <math>g</math>의 '''역원'''(逆元, {{llang|en|inverse}})이라고 한다.
** (정의역과 공역) <math>(g,g^{-1})\in\mathcal S</math>이자 <math>(g^{-1},g)\in\mathcal S</math>이다.
** (오른쪽 [[항등원]]의 성질) 임의의 <math>h\in\mathcal G</math>에 대하여, 만약 <math>(h,g)\in\mathcal S</math>라면, <math>hgg^{-1}=h</math>이다.
** (왼쪽 [[항등원]]의 성질) 임의의 <math>h\in\mathcal G</math>에 대하여, 만약 <math>(g,h)\in\mathcal S</math>라면, <math>g^{-1}gh=h</math>이다.
이 공리들로부터 임의의 원소의 역원이 유일함을 보일 수 있으나, (부분적으로 성립하는) 항등원은 유일하지 않다. 즉, 임의의 <math>g,h\in\mathcal G</math>에 대하여 <math>gg^{-1}\ne hh^{-1}</math>일 수 있다.

=== 범주론적 정의 ===
[[범주론]]적으로, '''준군''' <math>\mathcal G</math>는 모든 [[사상 (수학)|사상]]이 [[동형 사상]]인 [[작은 범주]]이다. 이 정의는 대수적 정의와 동치이며, 대수적 정의와 범주론적 정의 사이를 다음과 같이 번역할 수 있다.
{| class=wikitable
! 대수적 정의 !! 범주론적 정의
|-
| <math>\mathcal G</math>의 원소 || <math>\mathcal G</math>의 사상
|-
| <math>\mathcal S\subseteq\mathcal G^2</math> || <math>\bigsqcup_{A,B,C\in\operatorname{Ob}(\mathcal G)}\hom_{\mathcal G}(A,B)\times\hom_{\mathcal G}(B,C)</math>
|-
| <math>(g,h)\in\mathcal S</math> || <math>\operatorname{codom}g=\operatorname{dom}h</math>
|-
| <math>\{gg^{-1}\colon g\in\mathcal G\}\subseteq\mathcal G</math> || <math>\mathcal G</math>의 대상 집합 <math>\operatorname{Ob}(\mathcal G)</math>
|-
| <math>gg^{-1},hh^{-1}\in\mathcal G</math>에 대하여, <math>\{
k\in\mathcal G\colon (gg^{-1},k),(k,hh^{-1})\in\mathcal S\}</math> || <math>A,B\in\operatorname{Ob}(\mathcal G)</math> 사이의 사상 집합 <math>\hom_{\mathcal G}(A,B)</math>
|-
| 이항 연산 <math>\cdot\colon\mathcal S\to\mathcal G</math> || 사상의 합성
|-
|}

== 예 ==
[[군 (수학)|군]]의 개념은 하나의 대상을 가진 준군과 [[동치]]이다. 이 경우, 군의 원소는 준군의 사상들에 대응한다. [[집합]]의 개념은 [[항등 사상]] 밖의 사상을 갖지 않는 준군의 개념과 [[동치]]이다. 이 경우, 집합의 원소는 준군의 대상들에 대응한다. 따라서, [[작은 범주]]의 개념이 [[모노이드]]의 개념과 [[집합]]의 개념을 합성한 것처럼, 준군의 개념은 [[군 (수학)|군]]의 개념과 [[집합]]의 개념을 합성한 것으로 볼 수 있다.

=== 작용 준군 ===
{{본문|작용 준군}}
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>가 집합 <math>S</math> 위에 [[군의 작용|작용]]한다고 하자. 그렇다면, 작용의 데이터를 다음과 같이 '''[[작용 준군]]''' <math>\textstyle G\int S</math>로 여길 수 있다.
* <math>\textstyle G\int S</math>의 대상은 <math>S</math>의 원소이다.
* <math>s,t\in S</math>에 대하여, <math>\hom_{G\int S}=\{g\in G\colon gs=t\}</math>이다.

=== 기본 준군 ===
{{본문|기본 준군}}
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 및 <math>X</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, '''[[기본 준군]]''' <math>\Pi(X,S)</math>은 다음과 같다.
* <math>\Pi(X,S)</math>의 대상은 <math>S</math>의 원소이다.
* <math>s,t\in S</math>에 대하여, <math>\hom_{\Pi(X,S)}(s,t)</math>는 <math>s</math>에서 <math>t</math>로 가는 [[경로 (위상수학)|경로]]들의 (양끝을 고정시킨) [[호모토피류]]들의 집합이다.

== 역사 ==
하인리히 브란트({{llang|de|Heinrich Brandt}})가 [[1926년]]에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Über eine Verallgemeinerung des Gruppenbegriffes|이름=Heinrich|성=Brandt|저널=Mathematische Annalen|권=96|호=1|쪽=360–366|날짜=1927-12-01|doi=10.1007/BF01209171|언어=de}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|doi=10.1112/blms/19.2.113|이름=Ronald|성=Brown|제목=From groups to groupoids: a brief survey|저널=Bulletin of the London Mathematical Society|날짜=1987-03|권=19|호=2|쪽=113–134|언어=en|url=http://pages.bangor.ac.uk/~mas010/groupoidsurvey.pdf|확인날짜=2012-12-26|보존url=https://web.archive.org/web/20130516114813/http://pages.bangor.ac.uk/~mas010/groupoidsurvey.pdf|보존날짜=2013-05-16|url-status=dead}}
* {{서적 인용|제목=Groupoids in Analysis, Geometry, and Physics|이름=Arlan|성=Ramsay|공저자=Jean Renault|날짜=2001|isbn=978-0-8218-2042-1|doi=10.1090/conm/282|출판사=American Mathematical Society|총서=Contemporary Mathematics|권=282}}
* {{저널 인용|성=Weinstein|이름=Alan|제목=Groupoids: unifying internal and external symmetry — A tour though some examples|저널=Notices of the American Mathematical Society|권=43|호=7|날짜=1996-07|쪽=744–752|url=http://www.ams.org/notices/199607/weinstein.pdf|arxiv=math/9602220}} 재출판 {{서적 인용|성=Weinstein|이름=Alan|장=Groupoids: unifying internal and external symmetry — A tour though some examples|제목=Groupoids in Analysis, Geometry, and Physics|연도=2001|isbn=978-0-8218-2042-1|doi=10.1090/conm/282/04675|url=http://www.ams.org/books/conm/282/4675/conm4675.pdf|출판사=American Mathematical Society|쪽=1–19}}{{깨진 링크|url=http://www.ams.org/books/conm/282/4675/conm4675.pdf }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Groupoid}}
* {{매스월드|id=Groupoid|title=Groupoid}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/groupoid|제목=Groupoid|웹사이트=nLab|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[내적 준군]]

{{전거 통제}}

[[분류:추상대수학]]
[[분류:범주론]]
[[분류:대수적 위상수학]]