주 아이디얼 정역 문서 원본 보기

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[[가환대수학]]에서 '''주 아이디얼 정역'''(主ideal整域, {{llang|en|principal ideal domain}}, 약자 PID)은 모든 아이디얼이 하나의 원소로 생성되는 [[정역]]이다.

== 정의 ==
=== 주 아이디얼 환 ===
'''주 오른쪽 아이디얼 환'''({{llang|en|principal right ideal ring}})은 모든 [[오른쪽 아이디얼]]이 [[주 오른쪽 아이디얼]](즉, <math>r\in R</math>에 대하여 <math>rR</math>의 꼴)인 환이다.
'''주 왼쪽 아이디얼 환'''({{llang|en|principal left ideal ring}})은 모든 [[왼쪽 아이디얼]]이 [[주 왼쪽 아이디얼]](즉, <math>r\in R</math>에 대하여 <math>Rr</math>의 꼴)인 환이다. [[가환환]]의 경우 이 두 개념이 일치하며, '''주 아이디얼 가환환'''({{llang|en|principal ideal commutative ring}})이라고 한다.

===주 아이디얼 정역 ===
[[정역]] <math>D</math>에 대하여 다음 조건들을 정의하자.
* (B) [[베주 정역]]이다. 즉, 모든 유한 생성 [[아이디얼]]은 [[주 아이디얼]]이다.
* (D) [[데데킨트 정역]]이다.
* (UFD) [[유일 인수 분해 정역]]이다.
* (N) [[뇌터 환]]이다.

[[정역]] <math>D</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 정역을 '''주 아이디얼 정역'''이라고 한다.
* 주 아이디얼 환이다.
* 모든 [[소 아이디얼]]이 [[주 아이디얼]]이다.
* (N) + 모든 [[극대 아이디얼]]이 [[주 아이디얼]]이다.<ref>{{저널 인용|제목=Elementary divisors and modules|이름=Irving|성=Kaplansky|저자링크=어빙 커플랜스키|doi=10.1090/S0002-9947-1949-0031470-3 |저널=Transactions of the American Mathematical Society|권=66|날짜=1949-07|쪽=464-491|issn=0002-9947|언어=en}}</ref>{{rp|486, Theorem 12.3}}
* (UFD) + (D)<ref name="Lam"/>{{rp|56, Exercise §2.10}}
* (UFD) + (B)
* (UFD) + [[크룰 차원]]이 1 이하이다.<ref name="Rotman"/>{{rp|311, Exercise 5.17}}
* (UFD) + 모든 [[아이디얼]]이 [[평탄 가군]]이다.<ref name="Lam">{{서적 인용 | last=Lam | first=Tsit-Yuen | 저자링크=람짓윈 | title=Lectures on modules and rings | publisher=Springer | series=Graduate Texts in Mathematics | 권= 189 | isbn=978-0-387-98428-5 |mr=1653294 | year=1999 | doi=10.1007/978-1-4612-0525-8|언어=en}}</ref>{{rp|164, Exercise §4.51}}
* (UFD) + 모든 [[꼬임 없는 가군]]({{llang|en|torsion-free module}})은 [[평탄 가군]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|164, Exercise §4.51}}
* (B) + (N)
* (B) + [[주 아이디얼]]들의 [[부분 순서 집합]]은 [[오름 사슬 조건]]을 만족시킨다.
* 적어도 하나 이상의 데데킨트-하세 노름을 갖는다.
* (D) + [[피카르 군]]이 [[자명군]]이다.<ref name="Lam"/>{{rp|56, Exercise §2.10}}
* 모든 [[아이디얼]]이 [[자유 가군]]이다.<ref>{{서적 인용|url=http://www.mathunion.org/ICM/ICM1970.1/Main/icm1970.1.0273.0278.ocr.pdf|장=Free ideal rings and free products of rings|이름=P. M.|성=Cohn|제목=Actes du Congrès International des Mathematiciens 1970. Tome 1|날짜=1971|출판사=Gauthier-Villars|쪽=273–278|언어=en|확인날짜=2016년 4월 26일|보존url=https://web.archive.org/web/20131224112902/http://www.mathunion.org/ICM/ICM1970.1/Main/icm1970.1.0273.0278.ocr.pdf|보존날짜=2013년 12월 24일|url-status=dead}}</ref>{{rp|273}}
* [[자유 가군]]의 [[부분 가군]]은 자유 가군이다.<ref name="Rotman">{{서적 인용|이름=Joseph J.|성=Rotman|제목=Advanced modern algebra|총서=Graduate Studies in Mathematics|권=114|isbn=978-082184741-1|출판사=American Mathematical Society|판=2|날짜=2011|언어=en}}</ref>{{rp|639, Theorem 8.9(i)}}

[[가환환]] <math>R</math> 위의 '''데데킨트-하세 노름'''({{llang|en|Dedekind–Hasse norm}}) <math>f\colon R\setminus\{0\}\to\mathbb N</math>은 다음 조건을 만족시키는 [[함수]]이다.
* 임의의 <math>r,s\in R\setminus\{0\}</math>에 대하여, <math>r\mid s</math>이거나 아니면 <math>f(r)<f(t)</math>인 <math>t\in(r,s)</math>가 존재한다. (여기서 <math>(r,s)=rR+sR</math>는 <math>r</math>와 <math>s</math>로 생성되는 [[아이디얼]]이다.)

==성질==
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[가환환]] ⊋ [[정역]] ⊋ [[정수적으로 닫힌 정역]] ⊋ [[크룰 정역]] ⊋ [[유일 인수 분해 정역]] ∪ [[데데킨트 정역]] ⊋ [[유일 인수 분해 정역]] ∩ [[데데킨트 정역]] = 주 아이디얼 정역  ⊋ [[유클리드 정역]]  ⊋ [[체 (수학)|체]]

주 아이디얼 정역의 임의의 두 원소 <math>a,b</math>에 대해, 이 둘로 생성되는 아이디얼 <math>(a,b)</math>의 생성원은 a와 b의 [[최대공약수]]가 된다.

모든 주 아이디얼 정역은 [[뇌터 환]]이며, [[정수적으로 닫힌 정역]]이다.

모든 환에서 임의의 [[극대 아이디얼]]은 [[소 아이디얼]]인데, 주 아이디얼 정역에서는 그 역이 '거의' 성립한다. 즉, 모든 0이 아닌 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 기하학적으로, 이는 [[크룰 차원]]이 1이하라는 것을 뜻한다. 보다 일반적으로, 이 조건은 [[데데킨트 정역]]에서도 성립한다.

=== 주 아이디얼 정역 위의 가군 ===
주 아이디얼 정역 위의 [[유한 생성 가군]]은 항상 극소 생성 집합을 갖는다. 이는 [[체 (수학)|체]] 상의 유한 차원 [[벡터 공간]]이 [[기저 (선형대수학)|기저]]를 갖는다는 사실의 일반화이다.

주 아이디얼 정역 <math>R</math> 위의 임의의 유한 생성 가군 <math>M</math>은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>M\cong\bigoplus_i R/(q_i)</math>
여기서 <math>(q_i)</math>는 <math>R</math>의 [[으뜸 아이디얼]]이다. 이를 <math>M</math>의 '''으뜸 분해'''({{llang|en|primary decomposition}})라고 하며, 유일하다.

주 아이디얼 정역 <math>R</math> 위의 임의의 유한 생성 가군 <math>M</math>은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>M\cong\bigoplus_{i=1}^n R/(d_i)</math>
:<math>R^\times\not\ni d_1\mid d_2\mid\cdots\mid d_n</math>
여기서 <math>(d_i)</math>는 <math>R</math>의 아이디얼들이며, 유일하다. 이를 <math>M</math>의 '''불변 인자 분해'''({{llang|en|invariant factor decomposition}})라고 한다.

== 분류 ==
'''자리스키-사뮈엘 정리'''({{llang|en|Zariski–Samuel theorem}})에 따르면, 모든 주 아이디얼 가환환 <math>R</math>는 다음과 같은 꼴의 유한 [[직접곱]]으로 나타낼 수 있다.<ref name="ZS"/>{{rp|245, Theorem 33}}
:<math>R=\prod_{i=1}^nR_i</math>
여기서
* 각 <math>R_i</math>는 주 아이디얼 정역이거나 아니면 [[아르틴 환|아르틴]] [[국소환|국소]] 주 아이디얼 가환환이다.
'''헝거퍼드 정리'''({{llang|en|Hungerford theorem}})에 따르면, 모든 [[아르틴 환|아르틴]] [[국소환|국소]] 주 아이디얼 가환환 <math>R</math>는 [[이산 값매김환]]의 [[몫환]]이다.<ref name="Hungerford"/>

== 예 ==
* 임의의 [[체 (수학)|체]]는 주 아이디얼 정역이다.
* [[정수환]] <math>\mathbb Z</math>는 주 아이디얼 정역이다.
* [[가우스 정수]]환 <math>\mathbb Z[i]</math>와 [[아이젠슈타인 정수]]환 <math>\mathbb Z[\exp(2\pi i/3)]</math>는 주 아이디얼 정역이다.
* <math>K</math>가 [[체 (수학)|체]]일 때, <math>K</math> 위의 일변수 [[다항식환]] <math>K[x]</math>는 주 아이디얼 정역이다.

=== 반례 ===
정수 계수 다항식환 <math>\mathbb Z[x]</math>는 주 아이디얼 정역이 아니다. 아이디얼 <math>(2,x)</math>가 주 아이디얼이 아니기 때문이다. 체 <math>K</math>에 대하여, <math>K[x,y]</math>는 주 아이디얼 정역이 아니다. 아이디얼 <math>(x,y)</math>가 주 아이디얼이 아니기 때문이다.

[[가환환]]
:<math>\mathbb Z\left[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\right]</math>
는 주 아이디얼 정역이지만 유클리드 정역이 아니다.<ref>{{저널 인용|성=Wilson|이름=Jack C.|제목=A principal ring that is not a Euclidean ring|저널=Mathematics Magazine|권=46|날짜=1973-01|쪽=34-38|jstor=2688577|doi=10.2307/2688577|issn=0025-570X|언어=en}}</ref>

<math>K</math>가 임의의 체일 때, [[다항식환]] <math>K[x,y]</math>는 [[유일 인수 분해 정역]]이지만 주 아이디얼 정역이 아니다. 예를 들어, <math>(x,y)</math>는 [[주 아이디얼]]이 아니다.

=== 주 오른쪽 아이디얼 영역이 아닌 주 왼쪽 아이디얼 영역 ===
[[나눗셈환]] <math>K</math> 위의 <math>\sigma\colon K\to K</math>가 [[자기 준동형]]이지만 [[자기 동형]]이 아니라고 하자. 그렇다면 '''힐베르트 뒤틀린 다항식환'''({{llang|en|Hilbert’s twisted polynomial ring}})<ref name="Lam01"/>{{rp|9, Example 1.7}}
:<math>K[x;\sigma]=\{a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n\colon n\in\mathbb N,\;a_i\in K\}</math>
:<math>xa=\sigma(a)x\qquad\forall a\in K</math>
는 다음 성질들을 만족시킨다.<ref name="Lam01">{{서적 인용|제목=A first course in noncommutative rings|성 = Lam|이름=Tsit-Yuen|저자링크=람짓윈 | 출판사=Springer|날짜 = 2001|isbn =978-0-387-95183-6|doi=10.1007/978-1-4419-8616-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=131|issn=0072-5285|판=2|언어=en}}</ref>{{rp|21, Example 1.25}}
* 주 왼쪽 아이디얼 환이다. (따라서 [[왼쪽 뇌터 환]]이다.)
* [[영역 (환론)|영역]]이다.
* [[가환환]]이 아니다.
* [[오른쪽 뇌터 환]]이 아니다. (따라서 주 오른쪽 아이디얼 환이 아니다.)
따라서, [[영역 (환론)|영역]]의 경우에도 주 왼쪽/오른쪽 아이디얼 환 조건이 서로 다르다.

== 역사 ==
1949년에 토머스 모츠킨({{llang|en|Thomas Motzkin}})이 [[유클리드 정역]]이 아닌 주 아이디얼 정역의 예를 최초로 제시하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Thomas|성=Motzkin|저널=Bulletin of the American Mathematical Society|제목=The Euclidean algorithm|mr=0032592|zbl=0035.30302|doi=10.1090/S0002-9904-1949-09344-8|권=55|쪽=1142–1146|날짜=1949|issn=0273-0979|언어=en}}</ref>

자리스키-사뮈엘 정리는 1958년에 [[오스카 자리스키]]와 피에르 사뮈엘({{llang|fr|Pierre Samuel}})이 증명하였다.<ref name="ZS">{{서적 인용 | last1=Zariski | first1=Oscar | author1-link=오스카 자리스키 | last2=Samuel | first2=Pierre | title=Commutative algebra. Volume I | publisher=David Van Nostrand Company | 판=1 | series=University Series in Higher Mathematics | year=1958 | volume=28 | zbl=0081.26501 | 언어=en}}</ref>{{rp|245, Theorem 33}}

헝거퍼드 정리는 1968년에 토머스 윌리엄 헝거퍼드({{llang|en|Thomas William Hungerford}})가 증명하였다.<ref name="Hungerford">{{저널 인용|이름=Thomas William|성=Hungerford|제목=On the structure of principal ideal rings|저널=Pacific Journal of Mathematics|권=25|날짜=1968|쪽=543–547|mr=0227159|zbl=
0157.08503|url=http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102986148|issn=0030-8730|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[베주 항등식]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Principal ideal ring}}
* {{매스월드|id=PrincipalIdealDomain|title=Principal ideal domain}}
* {{매스월드|id=PrincipalRing|title=Principal ring}}
* {{nlab|id=principal ideal ring|title=Principal ideal ring}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Principal_ideal_domain|제목=Principal ideal domain|웹사이트=Commalg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://commalg.subwiki.org/wiki/Principal_ideal_ring|제목=Principal ideal ring|웹사이트=Commalg|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Principal_Ideal_Domain|제목=Definition: principal ideal domain|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://crazyproject.wordpress.com/2010/11/03/an-integral-domain-whose-every-prime-ideal-is-principal-is-a-principal-ideal-domain/|제목=An integral domain whose every prime ideal is principal is a principal ideal domain|날짜=2010-11-03|웹사이트=Project Crazy Project|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://crazyproject.wordpress.com/2010/12/16/exhibit-a-ring-which-is-a-union-of-pids-but-is-not-itself-a-pid/|제목=Exhibit a ring which is a union of PIDs but is not itself a PID|날짜=2010-12-16|웹사이트=Project Crazy Project|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://crazyproject.wordpress.com/2010/11/16/pids-are-precisely-those-ufds-which-are-also-bezout-domains/|제목=PIDs are precisely those UFDs which are also Bezout domains|날짜=2010-11-16|웹사이트=Project Crazy Project|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://crazyproject.wordpress.com/2010/11/05/rings-of-fractions-over-a-pid-are-pids/|제목=Rings of fractions over a PID are PIDs|날짜=2010-11-05|웹사이트=Project Crazy Project|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://crazyproject.wordpress.com/2010/10/31/every-quotient-of-a-pid-by-a-prime-ideal-is-again-a-pid/|제목=Every quotient of a PID by a prime ideal is again a PID|날짜=2010-10-31|웹사이트=Project Crazy Project|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://crazyproject.wordpress.com/2010/11/01/integral-domains-satisfying-bezouts-identity-and-having-divisibility-minimal-elements-are-pids/|제목=Integral domains satisfying Bezout’s identity and having divisibility-minimal elements are PIDs|날짜=2010-11-01|웹사이트=Project Crazy Project|언어=en}}

[[분류:가환대수학]]