주접속 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]에서 '''주접속'''(主接續, {{llang|en|principal bundle connection}})은 [[주다발]] 위에 정의되며, 그 [[군의 작용|군 작용]]과 호환되는 [[에레스만 접속]]이다.<ref name="Kobayashi">{{저널 인용|저널=Annali di Matematica Pura ed Applicata|권=43|호=1|연도=1957|쪽=119–194|doi=10.1007/BF02411907|이름=Shoshichi|성=Kobayaschi|제목=Theory of connections|zbl=0124.37604|issn=0373-3114|언어=en}}</ref> 이를 통해, 주다발 위에 [[평행 이동]]과 [[곡률]]을 정의할 수 있다.

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* [[리 군]] <math>G</math>. 그 [[실수 리 대수]]를 <math>\mathfrak{lie}(G)</math>라 하자.
* [[매끄러운 주다발]] <math>\pi\colon P\twoheadrightarrow M</math>
<math>P</math> 위의 주접속의 개념은 여러 가지로 정의할 수 있다.
* 주접속은 특정한 두 조건을 만족시키는, 리 대수 <math>\mathfrak{lie}(G)</math> [[리 대수 값 미분 형식|값의]] [[1차 미분 형식]] <math>\omega\in\Omega^1(P;\mathfrak{lie}(G))</math>으로 정의할 수 있다.
* 주접속은 특정한 호환 조건을 만족시키는 [[에레스만 접속]] <math>H\subseteq\mathrm TP</math>으로 정의할 수 있다.
* 주접속은 <math>\mathrm TM</math> 위의 특정한 [[올다발]]의 특정한 [[매끄러운 단면]]으로 정의할 수 있다.
* 주접속은 [[주다발]]의 국소 자명화에 대하여 각 조각 위의 <math>\mathfrak{lie}(G)</math> [[리 대수 값 미분 형식|값의]] [[1차 미분 형식]]들의 족으로 정의할 수 있다.
이 정의들은 모두 서로 동치이다.

=== 미분 형식을 통한 정의 ===
<math>P</math>의 '''주접속''' <math>\omega\in\Omega^1(P;\mathfrak{lie}(G))</math>는 다음과 같은 두 성질을 만족시키는, <math>P</math> 위의 [[리 대수 값 미분 형식|<math>\mathfrak{lie}(G)</math>값을 가진]] [[1차 미분 형식]]이다.
:<math>\operatorname{Ad}(g)(\cdot g)^*\omega=\omega\qquad\forall g\in G</math><ref name="Kobayashi"/>{{rp|144, §Ⅳ.3, (ω.2)}}
:<math>\omega(X_\xi)=\xi\qquad\forall \xi\in\mathfrak{lie}(G)</math><ref name="Kobayashi"/>{{rp|144, §Ⅳ.3, (ω.1)}}
여기서
* <math>(\cdot g)\colon P\to P</math>는 [[군의 작용|군의 오른쪽 작용]]을 나타내는 [[매끄러운 함수]] <math>h\mapsto h\cdot g</math>이다.
* <math>(\cdot g)^*\omega\in\Omega^1(P;\mathfrak{lie}(G))</math>는 1차 미분 형식 <math>\omega</math>의, <math>(\cdot g)</math>에 대한 [[당김 (미분기하학)|당김]]이다.
* <math>\operatorname{Ad}(g)\colon\mathfrak{lie}(G)\to\mathfrak{lie}(G)</math>는 <math>g\in G</math>의 [[딸림표현]]이다.
* <math>X_\xi\in\Gamma(\mathrm TP)</math>는 <math>G</math>의, <math>P</math> 위의 [[군의 작용|오른쪽 작용]]을 생성하는 [[벡터장]]이다.

=== 에레스만 접속을 통한 정의 ===
<math>P</math>의 [[에레스만 접속]] <math>H\subseteq\mathrm TP</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>H</math>를 '''주접속'''이라고 한다.
:<math>H_{p\cdot g}=(\mathrm T(\cdot g))(H_p)\qquad\forall p\in P,\;g\in G</math>
여기서
* <math>(\cdot g)\colon\colon P\to P</math>는 <math>g</math>의 <math>P</math> 위의 오른쪽 작용이다.
* <math>\mathrm T(\cdot g)\colon\mathrm TP\to\mathrm TP</math>는 위 매끄러운 함수의 미분이다.

미분 형식을 통한 정의에 따른 주접속 <math>\omega\in\Omega^1(P;\mathfrak{lie}(G))=\Gamma(\mathrm T^*P\otimes\mathfrak{lie}(G))</math>가 주어졌을 때, 이에 대응하는 에레스만 접속은 다음과 같다. 우선, 임의의 <math>m\in M</math>에 대하여, <math>G</math>의 오른쪽 작용을 생성하는 [[벡터장]]의 족을
:<math>X\colon \mathfrak{lie}(G)\to\Gamma(\mathrm TP)</math>
:<math>X\colon x\mapsto X_x</math>
로 표기하자. 그렇다면, 위 작용이 [[정추이적 작용]]이므로, <math>X</math>의 [[상 (수학)|상]]은 <math>P</math>의 [[수직 벡터 다발]] <math>\mathrm VP=\ker(\mathrm T\pi)\subseteq\mathrm TP</math>과 같으며, 이는 [[벡터 다발]]의 표준적인 동형 사상
:<math>P\times\mathfrak{lie}(G)\to\mathrm VP</math>
를 정의한다. (좌변은 올이 <math>\mathfrak{lie}(G)</math>인 자명한 벡터 다발이다.) 따라서, <math>\omega</math>를 <math>\mathrm T^*P\otimes\mathrm VP</math>의 단면으로 여길 수 있으며, <math>\omega</math>는 벡터 다발 사상
:<math>\omega\colon\mathrm TP\to\mathrm VP\subseteq\mathrm TP</math>
를 정의한다. 이는 [[멱등 함수]]이며 (<math>\omega\circ\omega=\omega</math>), 따라서 그 [[핵 (수학)|핵]]으로 완전히 명시된다. 그 핵 <math>\ker\omega\subseteq\mathrm TP</math>은 에레스만 접속이다.

=== 벡터 다발을 통한 정의 ===
[[딸림표현]]의 [[연관 벡터 다발]]<ref name="AB"/>{{rp|545–546, §3}}
:<math>\operatorname{ad}(P) = P \times_G \mathfrak{lie}(G)</math>
을 생각하자. 또한, <math>G</math>는 [[접다발]] <math>\mathrm TP</math> 위에 [[오른쪽 군 작용]]을 가지며, 이에 따라 몫공간 <math>\mathrm TP/G</math>를 정의할 수 있다. 그 차원은 <math>2(\dim M)+(\dim G)</math>이며, 또한
* 벡터장의 [[밂 (미분기하학)|밂]] <math>\pi_* \colon \mathrm TP/G \twoheadrightarrow\mathrm TM</math>는 [[매끄러운 올다발]]을 이룬다. (그러나 이는 일반적으로 [[벡터 다발]]이 아니다.)
* <math>\mathrm TP/G \twoheadrightarrow M</math>은 [[매끄러운 벡터 다발]]을 이룬다.
올다발 <math>\mathrm TP/G\twoheadrightarrow\mathrm TM</math>을 '''주접속 다발'''({{llang|en|bundle of principal connections}})이라고 한다.<ref name="Kobayashi"/>{{rp|141, §Ⅳ.1}} 즉, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.
:<math>\begin{matrix}
\mathrm TP & \to & \mathrm TP/G & \to & \mathrm TM \\
\downarrow && \downarrow && \downarrow \\
P & \to & P/G & = & M
\end{matrix}</math>

이는 다음과 같은 표준적인 <math>M</math> 위의 [[매끄러운 벡터 다발]]들의 [[짧은 완전열]]을 이룬다.<ref name="AB"/>{{rp|547, (3.2)}}
:<math>0 \to \operatorname{ad}(P) \,\xrightarrow\iota\, \frac{\mathrm TP}G \,\xrightarrow{\pi_*}\, \mathrm TM \to 0</math>
<math>G</math>는 이 열 위에 작용하며, <math>\iota</math>와 <math>\pi_*</math>는 <math>G</math>의 작용 아래 불변이다.

이 경우, <math>P</math>의 '''주접속'''은 위 [[짧은 완전열]]의 분할이다. 즉, [[아벨 범주]]의 [[분할 보조정리]]에 따라, 다음과 같은 두 데이터가 서로 [[동치]]이며, 이는 주접속의 데이터와 같다.
*  <math>\iota\colon\operatorname{ad}(P) \to \mathrm TP/G</math>의 [[왼쪽 역사상]]인 <math>M</math>-매끄러운 벡터 다발 사상 <math>A \colon \mathrm TP/G \to \operatorname{ad}(P)</math>
* <math>\pi_* \colon \mathrm TP/G \twoheadrightarrow \mathrm TM</math>의 [[오른쪽 역사상]]인 <math>M</math>-매끄러운 벡터 다발 사상 <math>A \colon \mathrm TM \to \mathrm TP/G</math><ref name="Kobayashi"/>{{rp|142, §Ⅳ.1}}

[[짧은 완전열]]의 성질에 따라, 두 주접속의 차는 매끄러운 벡터 다발 사상 <math>\mathrm TM \to \operatorname{ad}(P)</math>를 정의하며, 이는 [[벡터 값 미분 형식]]
:<math>\Omega^1(M;\operatorname{ad}(P))</math>
의 원소와 같다. 즉, 주접속의 [[모듈라이 공간]]은 이 [[실수 벡터 공간]]에 대한 [[아핀 공간]]이다.

=== 국소 자명화를 통한 정의 ===
<math>\pi</math>를 자명화할 수 있게 충분히 섬세한 임의의 <math>M</math>의 [[열린 덮개]] <math>(U_i)_{i\in I}</math>를 골랐다고 하자. 그렇다면, <math>P</math>의 '''주접속'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 각 <math>i \in I</math>에 대하여, [[리 대수 값 미분 형식|리 대수 값]] [[1차 미분 형식]] <math>A_i \in \Omega^1(U_i; \mathfrak{lie}(G))</math>
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* 임의의 <math>i, j\in I</math>에 대하여, 만약 <math>U_i \cap U_j \ne 0</math>이라면, 어떤 [[매끄러운 함수]] <math>g_{ij} \colon U_i \cap U_j \to G</math>에 대하여, 다음이 성립해야 한다.
*:<math>A_j = \operatorname{Ad}(g_{ij})^{-1} A_i + g_{ij}^{-1} \mathrm dg_{ij}</math>
여기서
* <math>\mathfrak{lie}(G)</math>는 리 군에 대응되는 [[실수 리 대수]]이다.
* <math>\operatorname{Ad} \colon G \to \operatorname{GL}(\mathfrak{lie}(G))</math>는 리 군의, 스스로의 [[리 대수]] 위의 [[딸림표현]]이다.

같은 [[열린 덮개]] <math>(U_i)_{i\in I}</math> 위에 정의된 두 주접속 <math>(A_i)_{i\in I}</math>, <math>(A'_i)_{i\in I}</math>에 대하여, 만약 어떤 [[매끄러운 함수]]들의 족
:<math>(g_i \colon U_i \to G)_{i\in I}</math>
에 대하여
:<math>A'_i = \operatorname{Ad}(g_i)^{-1} A_i + g_i^{-1} \mathrm dg_i</math>
라면, <math>A</math>와 <math>A'</math>을 같은 주접속으로 간주한다.

이러한 정의는 [[이론물리학]]에서 자주 쓰이며, 물리학에서 위와 같은 동치 관계를 '''[[게이지 변환]]'''이라고 한다.

이 정의는 다른 정의들과 [[동치]]이다. 구체적으로, 주접속을 <math>P</math> 위에 정의된 [[1차 미분 형식]] <math>A \in \Omega^1(P;\mathfrak{lie}(G))</math>으로 정의하였다고 하자. 이 경우, [[열린 덮개]] <math>(U_i)_{i\in I}</math>에 대한 국소 자명화는 각 <math>i \in I</math>에 대한 [[매끄러운 단면]] <math>s_i \in \Gamma(U,P)</math>으로 주어진다. 이 경우,
:<math>A_i = s_i^*A \in \Omega^1(U_i;\mathfrak{lie}(G))</math>
로 놓으면 국소 자명화를 통한 정의를 얻는다. 이 과정에서, 만약 사용한 자명화를
:<math>s'_i = s_ig_i</math>
와 같이 바꾸면
:<math>A'_i = (s'_i)^*A = \operatorname{Ad}(g_i)^{-1} A_i + g_i^{-1} \mathrm dg_i</math>
가 되어, 같은 주접속을 얻는다.

== 성질 ==
=== 곡률 ===
주접속 <math>\omega\in\Omega^1(P;\mathfrak{lie}(G))</math>의 '''곡률'''(曲率, {{llang|en|curvature}}) <math>\Omega \in \Omega^2(P;\mathfrak{lie}(G))</math>는 다음과 같다.
:<math>\Omega=d\omega+\frac12[\omega\wedge\omega]</math>
여기서 <math>[\cdot\wedge\cdot]</math>는 [[리 괄호]]와 외적을 결합한 연산으로, <math>[\alpha\otimes x\wedge\beta\otimes y]=(\alpha\wedge\beta)\otimes[x,y]</math>와 같이 정의한다.

곡률은 [[벡터 값 미분 형식]]
:<math>F \in \Omega^2(M;\operatorname{ad}(P))</math>
를 정의하며,<ref name="AB"/>{{rp|548, §3}} 이 데이터는 곡률의 개념과 동치이다.

곡률이 0인 주접속을 '''[[평탄 주접속]]'''이라고 한다.

== 분류 ==
=== 게이지 변환 ===
{{본문|게이지 변환군}}
다음과 같은 [[연관 다발]] <math>\operatorname{Ad}(P)</math>를 생각하자.<ref name="AB"/>{{rp|539, §2}}
:<math>\operatorname{Ad}(P)=P\times_G G</math>
이는 <math>G</math>의, 스스로 위의 켤레 [[군의 작용|작용]]
:<math>g\mapsto (h\mapsto ghg^{-1})</math>
에 대한, <math>P</math>의 연관 다발이다. 

<math>\operatorname{Ad}(P)</math>의 [[매끄러운 단면]]들의 공간은 마찬가지로 다음과 같은 [[매끄러운 함수]]의 공간으로 여겨질 수 있다.<ref name="AB">{{저널 인용|제목=The Yang-Mills Equations over Riemann Surfaces|이름=Michael F.|성=Atiyah|저자링크1=마이클 아티야|이름2=Raoul|성2=Bott|저자링크2=라울 보트|저널= Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences|권=308|호=1505|날짜=1983-03-17|쪽=523–615|jstor=37156|언어=en}}</ref>{{rp|539, §2}}
:<math>\Gamma^\infty(M,\operatorname{Ad}(P)) \cong \{\phi\in\mathcal C^\infty(P,G)\colon \phi(p\cdot g)=g^{-1}\phi(p)g\} \cong\operatorname{Aut}(P)</math>

<math>\mathcal G=\Gamma^\infty(M,\operatorname{Ad}(P))</math>는 점별 곱셈을 통해 [[위상군]]을 이루며, 그 원소를 '''[[게이지 변환]]'''이라고 한다.

=== 주접속의 모듈러스 공간 ===
또한, 다음과 같은, [[딸림표현]]에 대한 [[연관 벡터 다발]]을 생각하자.<ref name="AB"/>{{rp|545–546, §3}}
:<math>\operatorname{ad}(P) = P\times_G\mathfrak{lie}(G)</math>
그 [[매끄러운 단면]]의 [[벡터 공간]]은 [[게이지 변환군]] <math>\mathcal G</math>에 대응하는 [[리 대수]]이다.
:<math>\operatorname{Lie}(\mathcal G) = \Gamma^\infty(M,\operatorname{ad}(P))</math>

그렇다면, <math>G</math>-[[주다발]] <math>P\twoheadrightarrow M</math> 위의 주접속의 [[모듈라이 공간]] <math>\mathcal A</math>는 다음과 같은 [[벡터 공간]]에 대한 [[아핀 공간]]이다.<ref name="AB"/>{{rp|547, §3}}
:<math>\mathrm T_A\mathcal A \cong \Omega^1(M;\operatorname{ad}(P))</math>

게이지 변환군 <math>\mathcal G\cong\operatorname{Aut}(P)</math>는 <math>\mathcal A</math> 위에 다음과 같이 자연스럽게 [[군의 작용|작용]]한다.
:<math>\phi\cdot A=\phi^*A \qquad(A\in\Omega^1(M;\operatorname{ad}(P)),\;\phi\in\operatorname{Aut}(P)\cong\mathcal G)</math>

== 예 ==
=== 자명한 주다발 ===
만약 <math>P = M \times G</math>가 자명한 [[주다발]]일 경우, <math>\operatorname{ad}(P) = M\times\mathfrak{lie}(G)</math>는 자명한 [[벡터 다발]]이며, 또한 표준적인 자명한 주접속 <math>A = 0</math>이 존재한다. 따라서, 이 경우 주접속의 모듈러스 공간은 [[리 대수 값 미분 형식]]의 [[실수 벡터 공간]] <math>\Omega^1(M;\mathfrak{lie}(G))</math>를 이루며, 주접속을 단순히 [[리 대수 값 미분 형식]]으로 간주할 수 있다.

=== 한원소 공간 위의 주접속 ===
만약 <math>M = \{\bullet\}</math>이 [[한원소 공간]]이라고 하자. 이 경우,
* 주다발 <math>P\twoheadrightarrow\{\bullet\}</math>은 <math>G</math>-토서({{llang|en|torsor}}, 군에서 원점을 망각한 구조)이다.
* 표준적으로 <math>\operatorname{ad}(P) = \mathfrak{lie}(G)</math>이다.
* <math>\mathrm TP/G = \operatorname{Vect}(P)^G</math>는 <math>P</math> 위의, <math>G</math>-[[오른쪽 군 작용]]에 대하여 불변인 [[벡터장]]들의 [[실수 벡터 공간]]이며, 이 역시 <math>\mathfrak{lie}(G)</math>와 표준적으로 대응한다. (리 대수의 원소는 이에 대한 군 작용으로서 불변 벡터장을 정의하며, 이는 [[전단사 함수]]를 이룬다.)
따라서, 이 경우 주접속이 유일하게 존재하며, 주접속 자체가 게이지 불변이다. <math>P</math> 위의 [[1차 미분 형식]]으로서, 이는 [[마우러-카르탕 형식]]이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Connection_on_a_principal_bundle|제목=Connection on a principal bundle|웹사이트=The Manifold Atlas|이름=Jost|성=Eschenburg|언어=en}}
* {{nlab|id=Ehresmann connection}}
* {{nlab|id=moduli space of connections|title=Moduli space of connections}}

[[분류:올다발]]
[[분류:미분기하학]]