주다발 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[위상수학]]에서 '''주다발'''(主-, {{llang|en|principal bundle}})은 올이 [[위상군]]인 [[올다발]]이다. 이 경우, 위상군의 군론적 및 위상학적 성질이 다발의 위상학적 성질과 서로 호환되어야 한다. 즉 밑이 위상 공간 <math>X</math>이고 올이 위상군 <math>G</math>인 주다발은 국소적으로 <math>X\times G</math>와 같으나, 대역적으로 다를 수 있다.

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>
* [[위상군]] <math>G</math>
그렇다면, 올이 <math>G</math>이고 밑이 <math>X</math>인 '''주다발'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* 올이 <math>G</math>인 [[올다발]] <math>\pi\colon P\twoheadrightarrow X</math>
* [[연속 함수|연속]] [[군의 작용|오른쪽 작용]] <math>P\times G\to P</math>
이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
* 모든 <math>g\in G</math>, <math>p\in P</math>에 대하여, <math>\pi(p\cdot g)=\pi(p)</math>. 즉, 각 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>G</math>는 올 <math>P_x</math> 위에 [[군의 작용|작용]]한다.
* 임의의 <math>p,p'\in G</math>에 대하여, 만약 <math>\pi(p)=\pi(p')</math>이라면, <math>p\cdot g=p'</math>인 <math>g\in G</math>가 유일하게 존재한다. 즉, 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, [[군의 작용|오른쪽 작용]] <math>P_x\times G\to P_x</math>는 [[정추이적 작용]]이다. 여기서 <math>P_x=\pi^{-1}(\{x\})</math>는 <math>x</math> 위의 <math>P</math>의 올이다.
두 조건 가운데 첫째 조건은 다음과 같은 가환 그림으로 표현된다.
:<math>
\begin{matrix}
\!\!P\times G\!\!&\overset\cdot\to&P\\
{\scriptstyle\!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname{proj}_1}\downarrow{\scriptstyle\color{White}{\operatorname{proj}_1}\!\!\!\!\!\!\!\!}&&{\!\!\!\!\scriptstyle\color{White}\pi}\downarrow\scriptstyle\pi\!\!\!\!\\
P&\underset\pi\to&X
\end{matrix}</math>
두 조건 가운데 둘째 조건은 다음과 같은 가환 그림으로 표현된다.
:<math>\begin{matrix}
&&\!\!\!\!\!\!\!\!P\times G\!\!\!\!\!\!\!\!\\
&{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!^{\operatorname{proj}_1}}\!\!\!\!\swarrow\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\color{White}^{\operatorname{proj}_1}\!\!\!\!\!\!}&{\scriptstyle\!\!\!\!\color{White}\exists!}\uparrow\scriptstyle\exists!\!\!\!\!&{\!\!\!\!\color{White}^\cdot}\searrow^\cdot\!\!\!\!\\
P&\xleftarrow p&\bullet&\xrightarrow{p'}&P\\
&{_\pi}\searrow{\color{White}_\pi}&&{\color{White}_\pi}\swarrow{_\pi}\\
&&X
\end{matrix}</math>

만약
* <math>G</math>가 [[리 군]]이며,
* <math>P</math>와 <math>X</math>가 [[매끄러운 다양체]]이며,
* <math>\pi\colon P\to X</math>가 [[매끄러운 함수]]이며,
* <math>G</math>의 [[군의 작용|작용]] <math>P\times G\to P</math> 역시 [[매끄러운 함수]]라면
<math>(X,G,P,\pi)</math>를 '''매끄러운 주다발'''(-主-, {{llang|en|smooth principal bundle}})이라고 한다.

=== 주다발 사상 ===
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 두 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>, <math>Y</math>
* [[위상군]] <math>G</math>와 <math>H</math>
* <math>G</math>-주다발 <math>\pi_P\colon P\twoheadrightarrow X</math>, <math>\pi_Q\colon Q\twoheadrightarrow Y</math>
이 두 주다발 사이의 '''주다발 사상'''({{llang|en|principal bundle morphism}}) <math>(f,\phi)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.<ref>{{저널 인용|arxiv=math/0201235|제목=Reductive ''G''-structures and Lie derivatives|저널=Journal of Geometry and Physics|doi=10.1016/S0393-0440(02)00174-2|권=47|호=1|쪽=66–86|날짜=2003-07|언어=en}}</ref>{{rp|§1}}
* [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>
* [[연속 함수]] <math>\Phi\colon P\to Q</math>
* [[연속 함수|연속]] [[군 준동형]] <math>\phi\colon G\to H</math>
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
:<math>\Phi(p\cdot g)=\Phi(p)\cdot\phi(g)\qquad\forall (p,g)\in P\times G</math>
:<math>f\circ\pi_P=\pi_Q\circ\Phi</math>
즉, 다음 가환 그림이 성립해야 한다.
:<math>\begin{matrix}
P\times G&\xrightarrow{(\Phi,\phi)}&Q\times H\\
{\scriptstyle\cdot}\downarrow{\scriptstyle\color{White}\cdot}&&{\scriptstyle\color{White}\cdot}\downarrow\scriptstyle\cdot\\
P&\xrightarrow\Phi&Q\\
{\scriptstyle\pi_P}\downarrow{\scriptstyle\color{White}{\pi_P}}&&{\scriptstyle\color{White}{\pi_Q}}\downarrow{\scriptstyle\pi_Q}\\
X&\xrightarrow[f]{}&Y
\end{matrix}</math>
주다발 사상 <math>(f,\Phi,\phi)</math>에서, 만약 <math>X=Y</math>이며, <math>f=\operatorname{id}_X</math>가 [[항등 함수]]이며, <math>\phi</math>가 [[단사 함수]]라면 (즉, [[부분군]]의 포함 사상이라면) <math>(\Phi,\phi)</math>를 '''구조군 축소'''(構造群縮小, {{llang|en|reduction of structure group}})라고 한다.

=== 주연장 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* <math>n</math>차원 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* [[리 군]] <math>G</math>
* <math>X</math> 위의 매끄러운 <math>G</math>-주다발 <math>\pi\colon P\twoheadrightarrow X</math>
* [[자연수]] (음이 아닌 정수) <math>0\le q\le p</math>
그렇다면, 다음과 같은, <math>M</math> 위의 올다발을 정의할 수 있다.
:<math>\mathrm W^{p,q}P=\mathrm F^pM\times_M\mathrm J^qP</math>
여기서
* <math>\mathrm F^pM</math>은 <math>M</math> 위의 <math>p</math>차 [[틀다발]]이다. 이는 <math>M</math> 위의 [[주다발]]이며, 그 올군은 <math>p</math>차 <math>n</math>차원 [[제트 군]] <math>\operatorname{Jet}(p,n)</math>이다.
* <math>\mathrm J^qP</math>는 <math>P</math> 위의 <math>q</math>차 [[제트 다발]]이다. 이는 <math>P</math> 위의 [[벡터 다발]]이다.
* <math>\times_M</math>은 <math>M</math> 위의 두 올다발의 곱이다.
즉, 국소적으로 <math>\mathrm W^{p,q}P</math>의 점은 다음과 같은 꼴이다.
:<math>(\mathrm j_0^pf,\mathrm j_x^hg)</math>
여기서
* <math>f\colon U\to V</math>은 단사 [[매끄러운 함수]]이며, <math>0\in U\subseteq\mathbb R^n</math>은 [[열린집합]]이며, <math>x\in V\subseteq M</math> 역시 [[열린집합]]이다.
* <math>\mathrm j_0^pf</math>는 <math>f</math>의, <math>0\in U</math>에서의 <math>p</math>차 [[제트 (수학)|제트]]이다.
* <math>s\colon V\to P</math>는 <math>P\restriction V</math>의 [[단면 (올다발)|단면]]이다.
이는 <math>P</math> 위의 주다발을 이룬다. 그 올군은
:<math>\operatorname{Jet}(n,p)\rtimes\mathrm T^qG</math>
이다. 여기서
:<math>\mathrm T^qG=\{\mathrm j_0^qg\colon g\colon\mathbb R^n\to G\}</math>
이며, 그 군 연산은 다음과 같다.
:<math>
(\mathrm j^p_0f,\mathrm j^q_0g)(\mathrm j^p_0f',\mathrm j^q_0g')
=\left(\mathrm j^p_0(f\circ f'),\mathrm j^q_0\left(\left(\mathrm g\circ f'\right)g'\right)\right)
</math>
이 군은 <math>\mathrm W^{p,q}P</math> 위에 다음과 같이 오른쪽에서 [[군의 작용|작용]]한다.
:<math>
(\mathrm j^p_0f,\mathrm j^q_xs)
(\mathrm j^p_0f',\mathrm j^q_xg)
=\left(\mathrm j^p_0(f\circ f'),\mathrm j^q_0\left(\sigma\cdot(g\cdot f'^{-1}\cdot f^{-1})\right)\right)</math>
이를 <math>P</math>의 <math>(p,q)</math>차 '''주연장'''(主延長, {{llang|en|principal prolongation}})이라고 한다.<ref name="KMS">{{서적 인용|last1=Kolář|first1=Ivan|last2=Michor|first2=Peter|last3=Slovák|first3=Jan|url=http://www.emis.de/monographs/KSM/kmsbookh.pdf|title=Natural operations in differential geometry|날짜=1993|publisher=Springer-Verlag|doi=10.1007/978-3-662-02950-3|isbn=978-3-540-56235-1|zbl=0782.53013|언어=en|확인날짜=2016-12-18|보존url=https://web.archive.org/web/20170330154524/http://www.emis.de/monographs/KSM/kmsbookh.pdf|보존날짜=2017-03-30|url-status=dead}}</ref>{{rp|150–151, §15.3}}<ref>{{저널 인용|arxiv=math/0201235|제목=Reductive ''G''-structures and Lie derivatives|이름=Marco|성=Godina|이름2=Paolo|성2=Matteucci|doi=10.1016/S0393-0440(02)00174-2|저널=Journal of Geometry and Physics|권=47|날짜=2003|쪽=66–86|bibcode=2003JGP....47...66G|zbl=1035.53035|언어=en}}</ref>{{rp|Definition 3.4}}

== 성질 ==
=== 대역적 자명화의 존재 ===
위상 공간 <math>X</math> 위의 주다발 <math>P</math>에 대하여, 대역적 자명화(=주다발의 동형 <math>P\cong X\times G</math>)가 존재할 [[필요 충분 조건]]은 대역적 [[단면 (올다발)|단면]] <math>s\in\Gamma(P)</math>가 존재하는 것이다. (이는 <math>s\colon x\mapsto(x,1_G)</math>로 여길 수 있다.)

=== 분류 ===
{{본문|분류 공간}}
[[위상군]] <math>G</math>에 대하여, [[분류 공간]] <math>\mathrm EG\twoheadrightarrow\mathrm BG</math>을 구성할 수 있다. 그렇다면, (<math>X</math>에 대한 적절한 조건 아래) <math>X</math> 위의 <math>G</math>-주다발들의 동형류들은 [[연속 함수]] <math>X\to\mathrm BG</math>들의 [[호모토피류]]들과 표준적으로 [[일대일 대응]]한다. 구체적으로, 연속 함수 <math>f\colon X\to\mathrm BG</math>에 대응하는 <math>G</math>주다발은 <math>f^*\mathrm EG</math>이다.

== 예 ==
=== 자명 주다발 ===
임의의 위상 공간 <math>X</math>와 [[위상군]] <math>G</math>에 대하여, <math>X\times G</math>는 군 작용
:<math>(x,h)\cdot g=(x,h\cdot g)</math>
과 사영 사상
:<math>(x,h)\mapsto x</math>
을 주면 주다발을 이룬다. 이를 '''자명 주다발'''(自明主-, {{llang|en|trivial principal bundle}})이라고 한다.

=== 틀다발 ===
{{본문|틀다발}}
위상 공간 <math>X</math> 위의 <math>k</math>차원 [[벡터 다발]] <math>E</math>가 주어졌을 때, 어떤 표준적인 <math>\operatorname{GL}(k;\mathbb R)</math>-주다발을 정의할 수 있으며, 이를 '''[[틀다발]]'''이라고 한다.

== 응용 ==
주다발의 개념은 [[위상수학]] 및 [[미분기하학]]에서 쓰이고, [[물리학]]에서도 [[일반 상대성 이론]] 및 [[게이지 이론]]을 다룰 때 쓰인다. 예를 들어, [[필바인]]의 국소적 [[로런츠 대칭]]은 올이 [[직교군|SO(1,3)]]인 주다발로 나타내어진다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|저널=Annali di Matematica Pura ed Applicata|권=43|호=1|연도=1957|쪽=119–194|doi=10.1007/BF02411907|이름=Shoshichi|성=Kobayaschi|제목=Theory of connections|zbl=0124.37604|issn=0373-3114|언어=en}}
* {{저널 인용|title=Topology of fibre bundles and global aspects of gauge theories|first=Andres|last=Collinucci|coauthors=Alexander Wijns|arxiv=hep-th/0611201|bibcode=2006hep.th...11201C|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Principal fibre bundle}}
* {{매스월드|id=PrincipalBundle|title=Principal bundle}}
* {{nlab|id=principal bundle|title=Principal bundle}}

== 같이 보기 ==
* [[게이지 이론]]
* [[벡터 다발]]
* [[연관 다발]]

{{전거 통제}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:올다발]]