종순 바나흐 대수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[함수해석학]]에서 '''종순 바나흐 대수'''(從順Banach代數, {{llang|en|amenable Banach algebra}})는 1차 유계 [[호흐실트 호몰로지]]가 [[자명군]]인 [[바나흐 대수]]이다. 종순 [[폰 노이만 대수]]들은 완전히 분류되었으며, 상당량의 종순 [[C* 대수]]의 분류 역시 완결되었다.<ref name="Lin"/><ref>{{서적 인용|장=Classification of nuclear, simple C*-algebras|제목=Classification of nuclear C*-algebras. Entropy in operator algebras|doi=10.1007/978-3-662-04825-2_1|isbn=978-3-642-07605-3|총서=Encyclopaedia of Mathematical Sciences|issn=0938-0396|출판사=Springer-Verlag|쪽=1–145|이름=M.|성=Rørdam|날짜=2002|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
=== 바나흐 쌍가군 ===
두 [[복소수 바나흐 대수]] <math>A</math>, <math>B</math> 위의 '''바나흐 쌍가군''' <math>_AM_B</math>는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>(A,B)</math>-[[쌍가군]] <math>_AM_B</math>
* <math>M</math> 위의 [[복소수 바나흐 공간]] 구조 <math>(M,\|\|)</math>
이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
:<math>\sup_{a\in A\setminus\{0\},\;m\in M\setminus\{0\}}\|am\|/(\|a\|\|m\|)<\infty</math>
:<math>\sup_{b\in B\setminus\{0\},\;m\in M\setminus\{0\}}\|mb\|/(\|m\|\|b\|)<\infty</math>

이 경우, [[연속 쌍대 공간]] <math>M^*</math>은 자연스럽게 <math>(B,A)</math>-바나흐 쌍가군을 이룬다.

=== 유계 미분 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[복소수 바나흐 대수]] <math>A</math>
* <math>(A,A)</math>-바나흐 쌍가군 <math>_AM_A</math>
<math>M</math>값의 '''유계 미분'''({{llang|en|bounded derivation}})은 다음 두 조건을 만족시키는 [[복소수 선형 변환]]
:<math>\partial\colon A\to M</math>
이다.
* <math>\partial</math>은 [[미분 (대수학)|미분]]이다. 즉, 임의의 <math>a,b\in A</math>에 대하여 <math>\partial(ab)=(\partial a)b+a\partial b</math>이다.
* [[유계 작용소]]이다.

=== 종순 바나흐 대수 ===
[[복소수 바나흐 대수]] <math>A</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''종순 바나흐 대수'''라고 한다.
* 임의의 <math>(A,A)</math>-바나흐 쌍가군 <math>_AM_A</math> 및 유계 미분 <math>\partial\colon A\to M^*</math>에 대하여, <math>\partial=[-,\phi]</math>가 되는 <math>\phi\in M^*</math>가 존재한다. (여기서 <math>M^*</math>는 <math>M</math>의 [[연속 쌍대 공간]]이다.)
여기서, 유계 미분들의 군은 1차 유계 [[호흐실트 호몰로지|호흐실트]] 순환들의 군으로, <math>[-,\phi]</math> 꼴의 유계 미분들의 군은 1차 완전 [[호흐실트 호몰로지|호흐실트]] 순환들의 군으로 생각할 수 있다. 즉, 종순 바나흐 대수의 정의는 1차 유계 호흐실트 호몰로지가 자명하다는 조건이다.

만약 위 조건을 <math>M=A</math>인 경우에만 성립하게 약화시키면, '''약종순 바나흐 대수'''(弱從順, {{llang|en|weakly amenable Banach algebra}})의 개념을 얻는다.

== 성질 ==
[[폰 노이만 대수]] <math>A</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 종순 바나흐 대수이다.
* (초유한성 {{llang|en|hyperfiniteness}}) 부분 폰 노이만 대수들의 증가하는 열 <math>A_0\subseteq A_1\subseteq A_2\subseteq\cdots\subseteq A</math>가 존재하여, 각 <math>A_i</math>들은 모두 유한 차원 폰 노이만 대수이며, <math>\textstyle\bigcup_{i=0}^\infty A_i</math>는 <math>A</math>의 (노름 [[거리 위상]]에서의) [[조밀 집합]]을 이룬다.
종순 [[폰 노이만 대수]]는 '''단사 폰 노이만 대수'''({{llang|en|injective von Neumann algebra}}) 또는 '''초유한 폰 노이만 대수'''({{llang|en|hyperfinite von Neumann algebra}})라고도 불린다.

[[C* 대수]] <math>A</math>의 경우 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 종순 바나흐 대수이다.
* <math>A</math>로 생성되는 [[폰 노이만 대수]]는 종순 바나흐 대수이다.
종순 C* 대수는 '''핵 C* 대수'''({{llang|en|nuclear C*-algebra}})라고도 불린다.

모든 [[C* 대수]]는 약종순 바나흐 대수이다.<ref>{{저널 인용|제목=All nuclear C*-algebras are amenable|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002099942|이름=U.|성=Haagerup|저널=Inventiones mathematicae|날짜=1983|권=74|쪽=305–320|issn=0020-9910|언어=en|확인날짜=2017-03-13|보존url=https://web.archive.org/web/20170313220345/http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002099942|보존날짜=2017-03-13|url-status=dead}}</ref>{{rp|306; §4}}

== 예 ==
모든 가환 C* 대수는 종순 바나흐 대수이다.<ref name="Lin">{{서적 인용|성=Lin|이름=Huaxing|제목=An introduction to the classification of amenable C*-algebras|doi=10.1142/4751|출판사=World Scientific|isbn=978-981-02-4680-8|날짜=2001-11|언어=en}}</ref>{{rp|79, Theorem 2.3.7}} 모든 유한 차원 C* 대수는 종순 바나흐 대수이다.<ref name="Lin"/>{{rp|77, Corollary 2.3.2}}

== 역사 ==
종순 바나흐 대수의 개념은 1972년에 도입되었다.<ref>{{서적 인용|이름=Barry Edward|성=Johnson|제목=Cohomology in Banach algebras|총서=Memoirs of the American Mathematical Society|권=127|날짜=1972|url=http://bookstore.ams.org/memo-1-127/|언어=en|확인날짜=2017-03-13|보존url=https://web.archive.org/web/20170313215839/http://bookstore.ams.org/memo-1-127/|보존날짜=2017-03-13|url-status=dead}}</ref> 이후 [[알랭 콘]]이 [[폰 노이만 대수]]의 경우 종순성이 초유한성 등 여러 다양한 조건들과 동치임을 증명하였다.<ref>{{저널 인용|성=Connes|이름=Alain|저자링크=알랭 콘|날짜=1976|제목=Classification of injective factors|저널=Annals of Mathematics|권= 104|호=1|쪽= 73–115|doi=10.2307/1971057|jstor=1971057|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|url=http://www.math.ku.dk/english/research/tfa/ncg/paststudents/RSB_bsthesis.pdf|제목=Amenable Banach algebras|이름=Rasmus Sylvester|성=Bryder|출판사=[[코펜하겐 대학교]]|기타=학사 학위 논문 (지도 교수 Niels Grønbæk)|날짜=2011-01-14|언어=en}}{{깨진 링크|url=http://www.math.ku.dk/english/research/tfa/ncg/paststudents/RSB_bsthesis.pdf }}
* {{서적 인용|url=http://math.ananas.nu/artikler/Injective_and_semidiscrete_von_Neumann_algebras_February_2013.pdf|제목=Injective and semidiscrete von Neumann algebras|이름=Rasmus Sylvester|성=Bryder|출판사=[[코펜하겐 대학교]]|기타=석사 학위 논문 (지도 교수 Magdalena Musat)|날짜=2013-02-15|언어=en|확인날짜=2017-03-13|보존url=https://web.archive.org/web/20170313214038/http://math.ananas.nu/artikler/Injective_and_semidiscrete_von_Neumann_algebras_February_2013.pdf|보존날짜=2017-03-13|url-status=dead}}
* {{저널 인용|제목=Why Banach algebras?|arxiv=1206.1366|이름=Volker|성=Runde|날짜=2012|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Nuclear-C*-algebra}}
* {{eom|title=Cohomology of Banach algebras}}
* {{매스월드|id=Amenable|이름= Mohammad Sal|성=Moslehian|title=Amenable}}
* {{매스월드|id=WeaklyAmenable|이름= Mohammad Sal|성=Moslehian|title=Weakly amenable}}
* {{nlab|id=nuclear C*-algebra|title=Nuclear C*-algebra}}
* {{nlab|id=uniformly hyperfinite algebra|title=Uniformly hyperfinite algebra}}

[[분류:연산자 이론]]