종결식 문서 원본 보기

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[[가환대수학]]에서 '''종결식'''(終結式, {{llang|en|resultant}})은 두 [[다항식]]이 근을 공유하는지 여부를 나타내는 값이며, [[실베스터 행렬]]의 [[행렬식]]이다.

== 정의 ==
[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>를 계수로 갖는 두 [[다항식]]
:<math>p(x)=p_{\deg p}x^{\deg p}+\cdots\in K[x]</math>
:<math>q(x)=q_{\deg q}x^{\deg q}+\cdots\in K[x]</math>
의 '''종결식'''은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{res}(p,q)=p_{\deg p}^{\deg q}q_{\deg q}^{\deg q}\prod_{x\colon p(x)=0}\prod_{y\colon q(y)=0}(x-y)</math>
즉, <math>p</math>의 근들과 <math>q</math>의 근들의 모든 차들의 곱이다. 이 경우, 근이 중복된다면 중복수만큼 거듭하여 계산한다.

두 다항식의 종결식은 [[실베스터 행렬]]의 [[행렬식]]과 같다. 이는 <math>p</math>와 <math>q</math>의 계수들의 [[다항식]]이므로, 대수적으로 닫힌 체가 아닌 임의의 [[가환환]]의 계수를 갖는 [[다항식환]]에서 정의할 수 있다.

== 성질 ==
임의의 [[가환환]] <math>R</math> 및 <math>p,q,r\in R[x]</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
* (등급 가환성) <math>\operatorname{res}(p,q)=(-1)^{\deg p\deg q}\operatorname{res}(q,p)</math>
* (승법성) <math>\operatorname{res}(pq,r)=\operatorname{res}(p,r)\operatorname{res}(q,r)</math>

[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math> 및 0이 아닌 <math>p,q\in K[x]</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.<ref name="Lang">{{서적 인용
|성=Lang
|이름=Serge
|저자링크=서지 랭
|제목=Algebra
|언어=en
|판=개정 3
|총서=Graduate Texts in Mathematics
|권=211
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2002
|issn=0072-5285
|isbn=978-1-4612-6551-1
|doi=10.1007/978-1-4613-0041-0
|zbl=0984.00001
|mr=1878556
}}</ref>{{rp|203, Corollary 8.4}}
* <math>\operatorname{res}(p,q)=0</math>
* <math>p</math>와 <math>q</math>는 적어도 하나의 근을 공유한다.
* <math>p</math>와 <math>q</math>의 최대 공약 다항식은 자명하지 않다.

== 같이 보기 ==
* [[판별식]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Resultant}}
* {{매스월드|id=Resultant|title=Resultant}}

[[분류:다항식]]
[[분류:행렬식]]
[[분류:가환대수학]]
[[분류:기호 계산]]