조건부 확률 문서 원본 보기

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{{확률론}}
[[파일:Conditional probability.svg|thumb]]
[[확률론]]에서 '''조건부 확률'''(條件附確率, {{llang|en|conditional probability}})은 주어진 사건이 일어났을 때 다른 한 사건이 일어날 [[확률]]을 뜻한다. 원래의 확률 함수를 <math>\operatorname{Pr}</math>라고 할 때, 사건 <math>B</math>가 일어났을 때 사건 <math>A</math>가 일어날 조건부 확률은 <math>\operatorname{Pr}(A|B)</math>로 표기한다.

== 정의 ==
[[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr})</math> 및 양의 확률의 사건
:<math>A\in\mathcal F</math>
:<math>\operatorname{Pr}(A)>0</math>
이 주어졌다고 하자. 임의의 사건 <math>B\in\mathcal F</math>에 대하여, <math>A</math>에 대한 <math>B</math>의 '''조건부 확률'''은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Pr}(B|A)=\frac{\operatorname{Pr}(A\cap B)}{\operatorname{Pr}(A)}</math>
이 경우, <math>(\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr}(\cdot|A))</math>는 새로운 [[확률 공간]]을 이룬다.
{{증명}}
우선
:<math>\operatorname{Pr}(\Omega|A)=\frac{\operatorname{Pr}(A\cap\Omega)}{\operatorname{Pr}(A)}=\frac{\operatorname{Pr}(A)}{\operatorname{Pr}(A)}=1</math>
이다. 이제 임의의 가산 개의 서로소 사건들 <math>\mathcal G\subseteq\mathcal F</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면 <math>\{A\cap B\}_{B\in\mathcal G}</math> 역시 서로소 사건들이므로
:<math>\operatorname{Pr}\left(\left.\bigcup\mathcal G\right|A\right)
=\frac{\operatorname{Pr}\left(\bigcup\mathcal G\cap A\right)}{\operatorname{Pr}(A)}
=\frac{\operatorname{Pr}\left(\bigcup_{B\in\mathcal G}(A\cap B)\right)}{\operatorname{Pr}(A)}
=\frac{\sum_{B\in\mathcal G}\operatorname{Pr}(A\cap B)}{\operatorname{Pr}(A)}
=\sum_{B\in\mathcal G}\operatorname{Pr}(B|A)
</math>
이다.
{{증명 끝}}

== 성질 ==
[[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr})</math> 및 두 사건 <math>A,B\in\mathcal F</math>이 주어졌다고 하자. 만약 한 사건이 양의 확률 <math>\operatorname{Pr}(A)>0</math>을 가질 경우, 두 사건의 교집합의 확률은 조건부 확률을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.<ref name="kim">{{서적 인용|제목=수리통계학 입문|날짜=1995-03-10|판=1}}</ref>{{rp|15}}
:<math>\operatorname{Pr}(A\cap B)=\operatorname{Pr}(A)\operatorname{Pr}(B|A)</math>
즉, 두 사건이 동시에 일어날 확률은 <math>A</math>가 일어날 확률과 <math>A</math>가 일어났을 때 <math>B</math>가 일어날 확률의 곱이다. 보다 일반적으로, 임의의 <math>n</math>개의 사건 <math>A_1,\dots,A_n\in\mathcal F</math>에 대하여, 만약 <math>\operatorname{Pr}(A_1\cap\cdots\cap A_{n-1})>0</math>이라면, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{Pr}(A_1\cap\cdots\cap A_n)=\operatorname{Pr}(A_1)\operatorname{Pr}(A_2|A_1)\operatorname{Pr}(A_3|A_1\cap A_2)\cdots\operatorname{Pr}(A_n|A_1\cap\cdots\cap A_{n-1})</math>

특히, 두 사건 가운데 하나가 양의 확률 <math>\operatorname{Pr}(A)>0</math>을 가질 경우 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>A,B</math>는 [[독립 사건]]이다.
* <math>\operatorname{Pr}(B|A)=\operatorname{Pr}(B)</math>. 즉 <math>B</math>의 조건부 확률과 무조건 확률이 일치한다.

임의의 세 사건 <math>A,B,C\in\mathcal F</math>에 대하여, 만약 <math>\operatorname{Pr}(A\cap B)>0</math>이라면, 다음 항등식이 성립한다.
:<math>\operatorname{Pr}((C|B)|A)=\operatorname{Pr}(C|A\cap B)</math>

[[확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F,\operatorname{Pr})</math> 및 [[가산 집합|가산]] 개의 양의 확률의 사건들의 족
:<math>\mathcal A\subseteq\mathcal F</math>
:<math>|\mathcal A|\le\aleph_0</math>
:<math>\operatorname{Pr}(A)>0\qquad\forall A\in\mathcal A</math>
이 주어졌다고 하고, <math>\mathcal A</math>가 전체 공간 <math>\Omega</math>을 [[집합의 분할|분할]]한다고 하자. 그렇다면, 임의의 사건 <math>B\in\mathcal F</math>에 대하여, 다음과 같은 항등식들이 성립한다.
:<math>\operatorname{Pr}(B)=\sum_{A\in A}\operatorname{Pr}(A)\operatorname{Pr}(B|A)</math> ([[전체 확률의 법칙]])
:<math>\operatorname{Pr}(A|B)=\frac{\operatorname{Pr}(A)\operatorname{Pr}(B|A)}{\sum_{A'\in\mathcal A}\operatorname{Pr}(A')\operatorname{Pr}(B|A')}\qquad(\mathcal A\in\mathcal A,\;B\in\mathcal F,\;\operatorname{Pr}(B)>0)</math> ([[베이즈 정리]])

== 같이 보기 ==
* [[몬티 홀 문제]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Conditional probability}}
* {{매스월드|id=ConditionalProbability|제목=Conditional probability}}

{{전거 통제}}

[[분류:조건부 확률| ]]
[[분류:확률론]]
[[분류:통계학 용어]]