제1 범주 집합 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반위상수학]]에서 '''제1 범주 집합'''(第一範疇集合, {{llang|en|meager set, set of first category}})은 [[위상 공간 (수학)|위상]]만으로 정의할 수 있는, ‘매우 작은’ 집합의 개념이다. [[영집합]]의 개념과 유사하지만, [[측도]] 없이도 정의된다.

== 정의 ==
=== 조밀한 곳이 없는 집합 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 집합을 '''조밀한 곳이 없는 집합'''(稠密한 곳이 없는 集合, {{llang|en|nowhere dense set}})이라고 한다.
* (A) <math>\operatorname{int}(\operatorname{cl}(S))=\varnothing</math>.<ref name="Kechris">{{서적 인용|이름=Alexander Sotirios|성=Kechris|제목=Classical descriptive set theory|출판사=Springer-Verlag|날짜=1995|issn=0072-5285|doi=10.1007/978-1-4612-4190-4|isbn=978-1-4612-8692-9|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=156|zbl=0819.04002|mr=1321597|언어=en}}</ref>{{rp|41, §8.A}}<ref name="Oxtoby"/>{{rp|40, §9}}
* (A′) <math>X\setminus\operatorname{cl}(S)=\operatorname{int}(X\setminus S)</math>는 <math>X</math>의 [[조밀 집합|조밀]] [[열린집합]]이다.<ref name="Kechris"/>{{rp|41, §8.A}}
* (B) <math>\operatorname{cl}S=\partial U</math>인 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>가 존재한다.
* (C) <math>S\subseteq \partial U</math>인 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>가 존재한다.
* (B′) <math>\operatorname{cl}S=\partial F</math>인 [[닫힌집합]] <math>F\subseteq X</math>가 존재한다.
* (C′) <math>S\subseteq \partial F</math>인 [[닫힌집합]] <math>F\subseteq X</math>가 존재한다.
여기서 <math>\operatorname{cl}</math>은 [[폐포 (위상수학)|폐포]]이며, <math>\operatorname{int}</math>는 [[내부 (위상수학)|내부]]이며, <math>\partial</math>은 [[경계 (위상수학)|경계]]이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
조건 A ⇒ 조건 B: <math>U=X\setminus\operatorname{cl}S</math>로 놓는다. 그렇다면 <math>\operatorname{cl}(U)=X\setminus\operatorname{int}(\operatorname{cl}(S))=X</math>이며, <math>\partial U=\operatorname{cl}(U)\setminus U=X\setminus(X\setminus\operatorname{cl}S)=\operatorname{cl}S</math>이다.

조건 B ⇒ 조건 C: <math>\partial U=\operatorname{cl}(U)\cap(X\setminus U)</math>는 [[닫힌집합]]이므로, <math>S\subseteq\operatorname{cl}S\subseteq\partial S</math>이다.

조건 C ⇒ 조건 A: 우선, <math>\partial U=\operatorname{cl}(U)\cap(X\setminus U)</math>는 [[닫힌집합]]이다. 따라서 <math>\operatorname{cl}(S)\subseteq\operatorname{cl}(\partial U)=\partial U</math>이다. 또한, 임의의 [[열린집합]] <math>V\subseteq\partial U</math>에 대하여, <math>V\subseteq\partial U\subseteq X\setminus U</math>이므로 <math>V\subseteq\operatorname{int}(X\setminus U)=X\setminus\operatorname{cl}(U)</math>인데, 또한 <math>V\subseteq\partial U\subseteq\operatorname{cl}(U)</math>이다. 따라서 <math>V=\varnothing</math>이며, <math>\varnothing=\operatorname{int}(\partial U)\supseteq\operatorname{int}(\operatorname{cl}S)</math>이다.

조건 A ⇔ 조건 A′: [[조밀 집합]]의 정의에 의하여 자명하다.

조건 B ⇔ 조건 B′, 조건 C ⇔ 조건 C′: <math>U=X\setminus F</math>로 놓으면 <math>\partial U=\partial F</math>이다.
</div></div>

=== 바나흐-마주르 게임 ===
집합 <math>X</math> 속의 [[집합족]] <math>\mathcal W\subseteq\operatorname{Pow}(X)</math>이 주어졌을 때, 임의의 부분 집합 <math>S\subseteq X</math>에 대하여, 다음과 같은 2인(人) [[게임 이론|게임]]을 생각하자.
# 두 선수 갑(甲)과 을(乙)이 있다.
# 갑과 을은 수(手)를 두는 것을 반복하며, 갑이 먼저 수를 둔다. 여기서, 수를 둔다는 것은 <math>W\in\mathcal W</math>를 고르는 것이다. 수들을 <math>(W_0,W_1,W_2,\dots)</math>라고 하자. (즉, 갑은 <math>W_0,W_2,W_4,\dots</math>를 두고, 을은 <math>W_1,W_3,W_5,\dots</math>를 둔다.) 각 선수는 이전에 놓인 모든 수(手)들을 알고 있으며, 또한 <math>W_0\supseteq W_1\supseteq W_2\supseteq\cdots</math>이어야 한다.
# 만약 <math>S\cap W_0\cap W_1\cap\cdots\ne\varnothing</math>라면 갑이 이기며, 아니라면 을이 이긴다.
이를 '''바나흐-마주르 게임'''({{llang|en|Banach–Mazur game}}) <math>\operatorname{BM}(X,S,\mathcal W)</math>이라고 한다.<ref name="Telgarsky">{{저널 인용|제목=Topological games: on the 50th anniversary of the Banach–Mazur game|저널=Rocky Mountain Journal of Mathematics|issn=0035-7596|권=17|호=2|날짜=1987|이름=Rastislav|성=Telgársky|doi=10.1216/RMJ-1987-17-2-227|mr=892457|언어=en}}</ref>{{rp|232–233, §4}}<ref name="Kechris"/>{{rp|51, §8.H}}

=== 제1 범주 집합 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 속의 [[집합족]] <math>\mathcal W\subseteq\operatorname{Pow}(X)</math>가 만족시킬 수 있는 다음과 같은 성질 (∗)를 정의하자.
* 성질 (∗): 임의의 <math>W\in\mathcal W</math>에 대하여, <math>\operatorname{int}W\ne\varnothing</math>이며, 또한 임의의 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>에 대하여, <math>W\subseteq U</math>인 <math>W\in\mathcal W</math>가 하나 이상 존재한다.
(예를 들어, <math>\mathcal W</math>를 [[공집합]]이 아닌 모든 [[열린집합]]의 족으로 잡으면 성질 (∗)가 성립한다.)

그렇다면, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 임의의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math>에 대하여, 다음 세 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 집합 <math>S</math>를 <math>X</math>의 '''제1 범주 집합'''이라고 한다.
* <math>S</math>는 [[가산 집합|가산]] 개의 조밀한 곳이 없는 집합들의 [[합집합]]이다. 즉, <math>\textstyle S=\bigcup_{i\in I}S_i</math>가 되는, 가산 개의 조밀한 곳이 없는 집합들의 족 <math>\{S_i\}_{i\in I}</math>, <math>|I|\le\aleph_0</math>이 존재한다.<ref name="Munkres">{{서적 인용
|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page
|이름=James R.
|성=Munkres
|저자링크=제임스 멍크레스
|제목=Topology
|언어=en
|판=2
|출판사=Prentice Hall
|연도=2000
|isbn=978-0-13-181629-9
|zbl=0951.54001
|mr=0464128
}}</ref>{{rp|295}}<ref name="Kechris"/>{{rp|41, §8.A}}<ref name="Oxtoby"/>{{rp|40, §9}}
* 바나흐-마주르 게임 <math>\operatorname{BM}(X,S,\mathcal W)</math>에서 을이 필승 전략을 갖는, (∗) 조건을 만족시키는 집합족 <math>\mathcal W\subseteq\operatorname{Pow}(X)</math>이 존재한다.<ref name="Telgarsky"/>{{rp|233, §}}<ref name="Kechris"/>{{rp|51, Theorem 8.33}}
* (∗) 조건을 만족시키는 임의의 집합족 <math>\mathcal W\subseteq\operatorname{Pow}(X)</math>에 대한 바나흐-마주르 게임 <math>\operatorname{BM}(X,S,\mathcal W)</math>에서 을이 필승 전략을 갖는다.<ref name="Telgarsky"/>{{rp|233, §}}<ref name="Kechris"/>{{rp|51, Theorem 8.33}}

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''제2 범주 집합'''(第二範疇集合, {{llang|en|subset of the second category}}, {{llang|en|nonmeager set}})은 제1 범주 집합이 아닌 부분집합이다.<ref name="Kechris"/>{{rp|41, §8.A}}<ref name="Oxtoby"/>{{rp|40, §9}}

모든 제1 범주 집합의 [[여집합]]이 [[조밀 집합]]인 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]을 '''[[베르 공간]]'''이라고 한다. 조밀한 곳이 없는 집합들과 [[열린집합]]들을 포함하는 최소의 [[시그마 대수]]의 원소를 '''[[준열린집합]]'''이라고 한다.

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[부분 집합]]에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
:{| style="text-align: center"
| colspan=2 | || [[정칙 열린집합]] ⇒ [[열린집합]]
|-
| || ⇗ ||  || ⇘
|-
| [[열린닫힌집합]]
|colspan=3| || [[보렐 집합]]
|-
| || ⇘ || || ⇗ || || ⇘
|-
| colspan=2 | ||  [[정칙 닫힌집합]] ⇒ [[닫힌집합]]
| colspan=3 | || [[준열린집합]] ⇒ [[부분 집합]]
|-
| colspan=5 | || ⇗
|-
| colspan=5 style="text-align: right" | [[조밀 집합|조밀]] [[열린집합]]의 [[여집합]] ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합 ⇒ 제1 범주 집합
|}

=== 연산에 대한 닫힘 ===
다음이 성립한다.
{| class="wikitable" style="text-align: center"
|-
! 집합의 종류 || 부분 집합에 대하여 닫힘? || 유한 합집합에 대하여 닫힘? || 가산 합집합에 대하여 닫힘? || 비가산 합집합에 대하여 닫힘?
|-
! 조밀한 곳이 없는 집합
| ⭕ || ⭕ || ❌ || ❌
|-
! 제1 범주 집합
| ⭕ || ⭕ || ⭕ || ❌
|}
즉, 조밀한 곳이 없는 집합들은 [[순서 아이디얼]]을 이루며, 제1 범주 집합들은 [[시그마 아이디얼]]을 이룬다.

=== 측도와 제1 범주성의 관계 ===
측도와 범주 사이에는 다음과 같은 아날로지가 성립한다.<ref name="Oxtoby">{{서적 인용|제목=Measure and category: a survey of the analogies between topological and measure spaces|판=2|이름=John C.|성=Oxtoby|날짜=1980|doi=10.1007/978-1-4684-9339-9|출판사=Springer-Verlag|isbn=978-0-387-90508-2|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=2|mr=584443|zbl=0435.28011|언어=en}}</ref>
{| class="wikitable" style="text-align: center"
! || 원래 [[시그마 대수]] || 추가되는 [[시그마 아이디얼]] || 확장된 [[시그마 대수]]
|-
! 측도
| rowspan=2 | [[보렐 집합]] || [[영집합]] || [[르베그 가측 집합]]
|-
! 범주
| 제1 범주 집합 || [[준열린집합]]
|}

그러나 다음 정리와 같이, 측도와 범주는 서로 잘 호환되지 않는다.
* [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math> 및 임의의 양의 실수 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>\operatorname{vol}(\mathbb R^n\setminus U)<\epsilon</math>인, [[르베그 가측]] 조밀한 곳이 없는 [[열린집합]] <math>U_\epsilon\subseteq\mathbb R^n</math>가 존재한다. (여기서 <math>\operatorname{vol}</math>은 [[르베그 측도]]이다.)
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
유리수 집합의 [[곱집합]]과 자연수 집합 사이의 임의의 [[전단사 함수]] <math>f\colon\mathbb Q^n\to\mathbb N</math>을 생각하자. 이제, 다음과 같은 [[열린집합]]들의 열을 생각하자.
:<math>V_i=\bigcup_{x\in\mathbb Q^n}\operatorname{ball}\left(x,2^{-f(x)-i}\right)\qquad(i\in\mathbb N)</math>
여기서 <math>\operatorname{ball}(x,r)</math>는 반지름 <math>r</math>, 중심 <math>x</math>의 열린 공이다.
그렇다면, 다음이 성립하는 것을 쉽게 알 수 있다.
* <math>\operatorname{vol}(V_i)\le \operatorname{vol}(\operatorname{ball}(0,1))\cdot 2^{1-i}</math>.
* <math>\mathbb R\setminus V_i</math>는 조밀한 곳이 없는 집합인 [[닫힌집합]]이다.
이제 <math>i=\lceil 1-\log_2(\epsilon/\operatorname{vol}(\operatorname{ball}(0,1)))\rceil </math>로 놓고 <math>U_\epsilon=V_i</math>로 놓으면 된다.
</div></div>
* <math>\mathbb R^n\setminus X</math>가 [[르베그 가측 집합|르베그]] [[영집합]]인 [[Gδ 집합|G<sub>δ</sub>]] 제1 범주 집합 <math>X\subseteq\mathbb R^n</math>가 존재한다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">집합
:<math>G=\bigcap_{i=1}^\infty U_{1/i}\subseteq\mathbb R^n</math>
를 정의하면, 정의에 따라 다음이 성립한다.
* <math>G</math>는 [[Gδ 집합|G<sub>δ</sub> 집합]]이다.
* <math>\mathbb R^n\setminus G</math>는 제1 범주 집합이다.
* <math>\textstyle\operatorname{vol}(G)\le\min_{i=1}^\infty\operatorname{vol}(U_{1/i})</math>이므로 <math>\operatorname{vol}(G)=0</math>이다.
</div></div>
따라서, 측도가 0인 것과 제1 범주 집합인 것은 둘 다 매우 ‘작은’ 집합임을 의미하지만, 이들은 매우 다른 개념인 것을 알 수 있다.

반면, '''에르되시-시에르핀스키 정리'''(Erdős-Sierpiński定理, {{llang|en|Erdős–Sierpiński theorem}})에 따르면, 만약 [[연속체 가설]]이 성립한다면 다음 조건들을 모두 만족시키는 [[전단사 함수]] <math>f\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>가 존재한다.<ref name="Oxtoby"/>{{rp|75, Theorem 19.3}}<ref name="Erdos">{{저널 인용|url=https://www.renyi.hu/~p_erdos/1943-08.pdf|제목=Some remarks on set theory|이름=P.|성=Erdös|저자링크=에르되시 팔|저널=Annals of Mathematics|권=44|호=4|날짜=1943-10|zbl=0060.13112|mr=0009614|issn=0003-486X|doi=10.2307/1969101|jstor=1969101|쪽=643–646|언어=en}}</ref>{{rp|643, §I}}
* [[대합 (수학)|대합]]이다. 즉, 임의의 <math>r\in\mathbb R</math>에 대하여 <math>f(f(r))=r</math>이다.
* 임의의 부분 집합 <math>A\subseteq R</math>에 대하여, <math>A</math>가 제1 범주 집합일 [[필요 충분 조건]]은 <math>f(A)</math>가 [[르베그 측도|르베그]] [[영집합]]인 것이다.
즉, [[연속체 가설]]이 성립한다면 [[영집합]]과 제1 범주 집합 사이의 아날로지가 완벽히 성립하는 것을 알 수 있다.

그러나 '''슈필라인 불가능성 정리'''에 따르면, 다음 두 조건을 만족시키는 [[전단사 함수]] <math>f\colon \mathbb R\to\mathbb R</math>는 존재할 수 없다.<ref name="Oxtoby"/>{{rp|82}}<ref name="Szpilrajn">{{저널 인용|제목=Remarques sur les fonctions complètement additives d’ensemble et sur les ensembles jouissant de la propriété de Baire|이름=Edward|성=Szpilrajn|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm22/fm22129.pdf|저널=Fundamenta Mathematicae|날짜=1934|권=22|호=1|쪽=303–311|issn=0016-2736|zbl=0009.30404|jfm=60.0037.04|언어=fr}}</ref>{{rp|306, §3}}
* <math>S\subseteq\mathbb R</math>에 대하여, <math>S</math>가 [[르베그 가측 집합]]일 [[필요 충분 조건]]은 <math>f(S)</math>가 [[준열린집합]]인 것이다.
* <math>S\subseteq\mathbb R</math>에 대하여, <math>S</math>가 [[르베그 측도|르베그]] [[영집합]]일 [[필요 충분 조건]]은 <math>f(S)</math>가 제1 범주 집합인 것이다.

=== 보렐 위계와의 관계 ===
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 부분 집합 <math>S\subset X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>S</math>는 조밀한 곳이 없는 집합이다.
* <math>\operatorname{cl}(S)</math>는 조밀한 곳이 없는 집합이다.

[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 부분 집합 <math>S\subset X</math>이 [[열린집합]]이며 조밀한 곳이 없는 집합이라면, <math>S</math>는 [[공집합]]이다.

임의의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 임의의 제1 범주 집합 <math>M\subseteq X</math>에 대하여, <math>M\subseteq\tilde M\in\boldsymbol\Sigma^0_2(X)</math>인 제1 범주 집합 <math>\tilde M</math>이 존재한다. (여기서 <math>\boldsymbol\Sigma^0_2(X)</math>는 [[Fσ 집합|F<sub>σ</sub> 집합]]들의 족이다.)
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
정의에 따라, <math>M</math>은 [[가산]] 개의 [[조밀한 곳이 없는 집합]] <math>\{M_i\}_{i\in\mathbb N}</math>들의 [[합집합]]으로 나타낼 수 있다.
:<math>M=\bigcup_{i\in\mathbb N}M_i</math>
조밀한 곳이 없는 집합의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]는 (자명하게) 조밀한 곳이 없는 집합이므로,
:<math>\tilde M=\bigcup_{i\in\mathbb N}\operatorname{cl}(M_i)</math>
로 놓으면 자명하게 <math>M\in\tilde M\in\boldsymbol\Sigma^0_2(X)</math>이다.
</div></div>

== 예 ==
[[실수]]선 <math>\mathbb R</math>의 부분 집합으로서, [[유리수]]의 집합 <math>\mathbb Q\subseteq\mathbb R</math>는 제1 범주 집합이다. 반면, [[무리수]]의 집합은 제1 범주 집합이 아니다. 또한, 유리수의 집합은 스스로의 부분 집합 <math>\mathbb Q\subseteq\mathbb Q</math>으로서도 제1 범주 집합이다. 따라서, 유리수의 공간은 [[베르 공간]]이 아니다.

실수선의 부분 집합으로서, [[칸토어 집합]]은 제1 범주 집합이다. 그러나 스스로의 [[부분 집합]]으로서 칸토어 집합은 [[베르 범주 정리]]에 따라서 제1 범주 집합이 아니다.

집합 <math>\{1/n\colon n\in\mathbb Z^+\}</math>은 실수선의 조밀한 곳이 없는 집합이며, [[닫힌집합]]이 아니다.

[[베르 공간 (집합론)|베르 공간]] <math>\mathbb N^{\aleph_0}</math>의 모든 [[콤팩트 집합]]은 조밀한 곳이 없는 집합이다.<ref name="Kechris" />{{rp|41, §8.A}}
{{증명}}
[[귀류법]]을 사용하여, <math>A\subseteq\mathbb N^{\aleph_0}</math>가 [[콤팩트 집합]]이지만, 조밀한 곳이 없는 집합이 아니라고 하자. <math>\mathbb N^{\aleph_0}</math>은 [[하우스도르프 공간]]이므로, <math>A</math>는 [[닫힌집합]]이다. 따라서 <math>\operatorname{int}A\ne\varnothing</math>이며, <math>A</math>는 다음과 같은 꼴의 [[열린집합]]을 포함한다.
:<math>\{a_0\}\times\{a_1\}\times\dotsb\times\{a_{n-1}\}\times\mathbb N\times\mathbb N\times\dotsb\subseteq A</math>
이는 [[닫힌집합]]이기도 하므로, [[콤팩트 집합]]이다. 하지만 그 [[열린 덮개]]
:<math>\{\{a_0\}\times\{a_1\}\times\dotsb\times\{a_{n-1}\}\times\{a\}\times\mathbb N\times\mathbb N\times\dotsb\colon a\in\mathbb N\}</math>
는 유한 부분 덮개를 갖지 않는다. 이는 모순이다.
{{증명 끝}}

== 역사 ==
[[파일:KsiegaSzkocka1.JPG|섬네일|right|슈코츠카 책의 현존하는 한 쪽]]
제1 범주 집합의 개념은 [[르네루이 베르]]가 1899년 박사 학위 논문에서 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=R.|성=Baire|저자링크=르네루이 베르|제목=Sur les fonctions de variables réelles|저널=Annali di Matematica Pura ed Applicata|권=3|쪽=1–123|날짜=1899|jfm=30.0359.01|doi=10.1007/BF02419243|issn=0373-3114|언어=fr}}</ref><ref>{{저널 인용|mr=1640007|성=Jones|이름=Sara Hawtrey|제목=Applications of the Baire category theorem|저널=Real Analysis Exchange|권=23|호=2|날짜=1999|쪽=363–394|url=http://projecteuclid.org/euclid.rae/1337001353|issn=0147-1937|zbl=0943.26013|언어=en}}</ref>

에르되시-시에르핀스키 정리는 1934년에 [[바츠와프 시에르핀스키]]가 [[대합 (수학)|대합]] 조건을 제외하고 증명하였으며,<ref>{{저널 인용|이름=W.|성=Sierpiński|저자링크=바츠와프 시에르핀스키|날짜=1934|zbl=0009.20405|jfm=60.0040.01|제목=Sur la dualité entre la premiere categorie et la mesure nulle|저널=Fundamenta Mathematicae|권=22|쪽=276–280|issn=0016-2736|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm22/fm22124.pdf|언어=fr}}</ref> 이후 1943년에 [[에르되시 팔]]이 [[대합 (수학)|대합]] 조건을 추가하여 증명하였다.<ref name="Erdos"/> 슈필라인 불가능성 정리는 1934년에 에드바르트 마르체프스키({{llang|pl|Edward Marczewski}}, 1907~1976)가 증명하였다.<ref name="Szpilrajn"/>{{rp|306, §3}} (마르체프스키의 본명은 에드바르트 슈필라인({{llang|pl|Edward Szpilrajn}})이었지만, 1940년에 [[나치 독일]]의 [[유대인]] 박해를 피하여 ‘마르체프스키’로 개명하였다.)

바나흐-마주르 게임은 [[스타니스와프 마주르]]가 1935년에 도입하였다. 당시 [[리비우]]에 살던 수학자들은 슈코츠카 카페({{llang|pl|Kawiarnia Szkocka|카비아르니아 슈코츠카}}, {{llang|pl|szkocka|슈코츠카}}는 {{llang|pl|Szkocja|슈코치아}}([[스코틀랜드]])의 형용사형)에 모여서 수학 문제들을 토론하였으며, 토론에 의하여 얻은 결과들을 "슈코츠카 책"({{llang|pl|Księga Szkocka|크시엥가 슈코츠카}})이라는 노트에 기록하였다. 마주르의 게임의 필승 전략과 제1 범주성 사이의 관계는 슈코츠카 책의 43번 문제로 수록되었으며, 같은 책에서 [[스테판 바나흐]]가 1935년 8월 4일 증명하였다고 기록되었다.<ref name="Mauldin">{{서적 인용 | first=R. Daniel | last= Mauldin | editor1-last=Mauldin | editor1-first=R. Daniel | title=The Scottish Book: mathematics from the Scottish Café with selected problems from the New Scottish Book | publisher=Birkhäuser | mr=666400 | 날짜=2015 | doi=10.1007/978-3-319-22897-6_6 | isbn= 978-3-319-22896-9 | 판=2 | 쪽=51–282 | 장=Chapter 6. Problems with commentary | 언어=en}}</ref>{{rp|116, Problem 43}} 그러나 바나흐는 이 증명을 기록하지 않았다.

이후 1957년에 존 옥스토비({{llang|en|John C. Oxtoby}}, 1910~1991)가 마주르의 추측의 증명을 출판하였다.<ref>{{서적 인용|이름=John C.|성=Oxtoby|장=The Banach–Mazur game and the Banach category theorem|제목=Contributions to the theory of games. Volume III|url=http://press.princeton.edu/titles/2902.html|총서=Annals of Mathematics Studies|권=39|출판사=Princeton University Press|날짜=1957|쪽=159–163|editor1-first= Melvin|editor1-last=Dresher|editor2-first= Albert William|editor2-last=Tucker|editor3-first=Philip|editor3-last=Wolfe|isbn=978-069107936-3|mr=0093741|zbl=0078.32903|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Category of a set}}
* {{eom|title=Nowhere-dense set}}
* {{eom|title=Banach-Mazur game}}
* {{매스월드|id=MeagerSet|title=Meager set}}
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[[분류:일반위상수학]]