제1 기본 형식 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서 '''제1 기본 형식'''(第一基本形式, {{llang|en|first fundamental form}})은 [[계량 텐서|계량 형식]]을 부분다양체에 국한시켜 얻는 계량 형식이다.

== 정의 ==
[[리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 속에 부분다양체 <math>f\colon\Sigma\to M</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 <math>\Sigma</math> 위의 '''제1 기본 형식'''은 [[매장 (수학)|매장]] <math>f</math>로부터 유도되는 [[계량 텐서]]이며, 다음과 같다.
:<math>\operatorname{I}_{\alpha\beta}=\partial_\alpha f^\mu \partial_\beta f^\nu g_{\mu\nu}</math>

=== 유클리드 공간의 경우 ===
고전적으로, 제1 기본 형식은 ''n''차원 유클리드 공간 속의 곡면 <math>\Sigma\subset\mathbb R^n</math>에 대하여 정의된다. 이 경우 '''제1 기본 형식'''은 2×2 [[양의 정부호]] [[대칭행렬]]이며, 다음과 같다. <math>\Sigma</math>에 좌표 <math>\xi=(\xi^1,\xi^2)</math>를 잡으면, [[매장 (수학)|매장]] <math>\mathbf f(\xi)\in\mathbb R^n</math>을 정의할 수 있다. 그렇다면 '''제1 기본 형식'''은 다음과 같다. 행렬 표현에서 기호 <math>E,F,G</math>는 전통적인 표기이다.
:<math>\operatorname{I}=\begin{pmatrix}d\xi^1&d\xi^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d\xi^1\\d\xi^2\end{pmatrix}=\sum_{i,j=1}^2\frac{\partial\mathbf f}{\partial\xi^i}\cdot\frac{\partial\mathbf f}{\partial\xi^j}\,d\xi^i\,d\xi^j</math>

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=미분기하학 입문|저자=원대연|공저자=이난이|출판사=경문사|isbn=978-89-6105-780-6|url=http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=7680|날짜=2014|언어=ko|access-date=2014-05-11|archive-date=2014-05-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20140512214856/http://www.kyungmoon.com/shop_product/shop_pdt_view.php?p_idx=7680|url-status=}}
* {{서적 인용|first=Heinrich|last=Guggenheimer|title=Differential geometry|year=1977|publisher=Dover|isbn=0-486-63433-7|언어=en}}
*{{서적 인용| 성=Kobayashi|이름= Shoshichi|공저자= Katsumi Nomizu | title = Foundations of differential geometry, volume 2 | publisher=Wiley-Interscience | year=1996 |edition=New |isbn = 0-471-15732-5|언어=en}}
* {{서적 인용|last=Spivak|first=Michael|title=A comprehensive introduction to differential geometry, volume 3)|year=1999|publisher=Publish or Perish|isbn=0-914098-72-1|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[제2 기본 형식]]
* [[가우스 곡률]]
* [[가우스의 빼어난 정리]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=First fundamental form}}
* {{매스월드|id=FirstFundamentalForm|title=First fundamental form}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분기하학]]