제한근 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[리 군론]]에서 '''제한근'''(制限根, {{llang|en|restricted root}})은 [[리 대수]]에서, 극대 부분 콤팩트 리 대수의 [[직교 여공간]]에 대한 [[고윳값]]들의 벡터이다.<ref name="Knapp">{{서적 인용|last=Knapp|first=Anthony W.|title=Lie groups beyond an introduction|edition= 2판|총서=Progress in Mathematics |권=140|publisher=Birkhäuser|place= Boston|날짜= 2002|isbn=0-8176-4259-5 | zbl=1075.22501|mr=1920389 |url=https://www.springer.com/birkhauser/mathematics/book/978-0-8176-4259-4|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* 실수 [[반단순 리 대수]] <math>\mathfrak g</math>
* <math>\mathfrak g</math>의 [[카르탕 대합]] <math>\theta</math>. 이에 대한 [[카르탕 분해]]를 <math>\mathfrak g = \mathfrak k\oplus\mathfrak p</math>라고 하자.
* <math>\mathfrak p</math>의 극대 아벨 부분 리 대수 <math>\mathfrak a\subseteq \mathfrak p</math>
그렇다면, [[쌍대 공간]] <math>\mathfrak a^\vee</math>의 원소
:<math>\lambda\in\mathfrak a^\vee</math>
에 대하여, 다음을 정의할 수 있다.
:<math>\mathfrak g_\lambda = \{
x\in\mathfrak g\colon [a,x] = \lambda(a) x\qquad\forall a\in\mathfrak a\}</math>
물론
:<math>\mathfrak g_0 = \bigcap_{a\in\mathfrak a}\ker \operatorname{ad}(a)</math>
이다.

만약 <math>\mathfrak g_\lambda \ne 0</math>이며 <math>\lambda\ne 0</math>이라면, <math>\lambda</math>를 <math>(\mathfrak g,\mathfrak a)</math>의 '''제한근'''이라고 하며, <math>\mathfrak g_\lambda</math>를 그 '''제한근 공간'''({{llang|en|restricted root space}})이라고 한다. <math>(\mathfrak g,\mathfrak a)</math>의 제한근들의 집합을 <math>\Sigma(\mathfrak g,\mathfrak a)</math>로 표기하자.

== 성질 ==
실수 [[반단순 리 대수]] <math>\mathfrak g</math>의 제한근은 다음 조건들을 만족시킨다.
:<math>\mathfrak g = \mathfrak g_0 \oplus \bigoplus_{\lambda\in\Sigma(\mathfrak g,\mathfrak a)}\mathfrak g_\lambda</math>
즉, 실수 반단순 리 대수 <math>\mathfrak g</math>는 그 제한근 공간들의 합으로 분해된다. 또한, 이 분해의 각 성분들은 [[킬링 형식]]에 대하여 서로 직교이다.

다음이 성립한다.
:<math>[\mathfrak g_\lambda,\mathfrak g_\mu] \subseteq\mathfrak g_{\lambda+\mu} \qquad(\lambda,\mu\in\operatorname\Sigma(\mathfrak g,\mathfrak a))</math><ref name="Knapp"/>{{rp|370, Proposition 6.40(b)}}
:<math>\theta\mathfrak g_\lambda = \mathfrak g_{-\lambda} \qquad(\lambda,\mu\in\operatorname\Sigma(\mathfrak g,\mathfrak a))</math><ref name="Knapp"/>{{rp|370, Proposition 6.40(c)}}
:<math>\mathfrak g_0 = \mathfrak a \oplus \{k\in\mathfrak k \colon [\mathfrak a,k]= 0\}</math><ref name="Knapp"/>{{rp|370, Proposition 6.40(d)}}

=== 이와사와 분해 ===
{{본문|이와사와 분해}}
<math>\operatorname\Sigma(\mathfrak g,\mathfrak a)</math>에서, 임의로 양근의 개념
:<math>\operatorname\Sigma^+(\mathfrak g,\mathfrak a)\subseteq \operatorname\Sigma(\mathfrak g,\mathfrak a)</math>
을 정의하자. 이제
:<math>\mathfrak n = \bigoplus_{\lambda\in\operatorname\Sigma^+(\mathfrak g,\mathfrak a)}\mathfrak g_\lambda</math>
를 정의하면,
:<math>\mathfrak g =\mathfrak k\oplus\mathfrak a\oplus\mathfrak n</math>
은 <math>\mathfrak g</math>의 [[이와사와 분해]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[사타케 도표]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Relative root system}}

{{전거 통제}}

[[분류:리 대수]]