제트 군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]에서 '''제트 군'''(jet群, {{llang|en|jet group}}) 또는 '''미분군'''(微分群, {{llang|en|differential group}})은 원점을 보존하는 [[유클리드 공간]]의 [[자기 함수|자기]] [[미분 동형 사상]]들의 [[제트 (수학)|제트]]로 구성된 [[리 군]]이다.<ref name="KMS"/>{{rp|§18, 128–138}} 실수 [[일반 선형군]]의 고차 일반화이다.

== 정의 ==
자연수 <math>n</math>과 <math>k</math>가 주어졌다고 하자.
:<math>\operatorname{Aut}_{\operatorname{Diff}_\bullet}(\mathbb R^n,0)=\left\{f\in\operatorname{Aut}_{\operatorname{Diff}}(\mathbb R^n),\;f(0)=0\right\}</math>
가 [[미분 동형 사상]] <math>f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n</math> 가운데, <math>f(0)=0</math>인 것(즉, [[점을 가진 공간]]의 사상인 것)들의 집합이라고 하자. 이는 [[함수의 합성]] 아래 자연스럽게 [[군 (수학)|군]]을 이룬다.

'''<math>n</math>차원 <math>k</math>차 제트 군'''(<math>n</math>次元<math>k</math>次jet群, {{llang|en|<math>n</math>-dimensional <math>k</math>th-order jet group}}) <math>\operatorname{Jet}(n,k)</math>는 <math>\operatorname{Aut}_{\operatorname{Diff}_\bullet}(\mathbb R,0)</math>의 원소들의, <math>0\in\mathbb R^n</math>에서의 <math>k</math>차 [[제트 (수학)|제트]]들의 집합이다.<ref name="KMS">{{서적 인용|last1=Kolář|first1=Ivan|last2=Michor|first2=Peter|last3=Slovák|first3=Jan|url=http://www.emis.de/monographs/KSM/kmsbookh.pdf|title=Natural operations in differential geometry|날짜=1993|publisher=Springer-Verlag|doi=10.1007/978-3-662-02950-3|isbn=978-3-540-56235-1|zbl=0782.53013|언어=en|확인날짜=2016-12-18|보존url=https://web.archive.org/web/20170330154524/http://www.emis.de/monographs/KSM/kmsbookh.pdf|보존날짜=2017-03-30|url-status=dead}}</ref>{{rp|119, §12.6}}<ref name="GM">{{저널 인용|arxiv=math/0201235|제목=Reductive ''G''-structures and Lie derivatives|이름=Marco|성=Godina|이름2=Paolo|성2=Matteucci|doi=10.1016/S0393-0440(02)00174-2|저널=Journal of Geometry and Physics|권=47|날짜=2003|쪽=66–86|bibcode=2003JGP....47...66G|zbl=1035.53035|언어=en}}</ref>{{rp|Definition 3.1}}
:<math>\operatorname{Jet}(n,k)=\left\{\mathrm j_0^kf\colon f\in\operatorname{Aut}_{\operatorname{Diff}_\bullet}(\mathbb R^n,0)\right\}</math>
이는 자연스럽게 [[매끄러운 다양체]]를 이룬다. 또한, 그 위의 [[리 군]] 구조는 다음과 같다.
:<math>(\mathrm j^k_0f)(\mathrm j^k_0g)=\mathrm j^k_0(f\circ g)</math>
즉, 자연스러운 [[전사 함수|전사]] [[군 준동형]]
:<math>\mathrm j^k_0\colon\operatorname{Aut}_{\operatorname{Diff}_\bullet}(\mathbb R^n,0)\to \operatorname{Jet}(n,k)</math>
이 존재한다.

== 성질 ==
<math>\operatorname{Jet}(n,k)</math>의 차원은 다음과 같다.
:<math>\dim\operatorname{Jet}(n,k)=n\left(\binom{n+k}k-1\right)</math>
<math>n>0</math>이며 <math>k>0</math>일 경우, 제트 군은 [[콤팩트 공간]]이 아니다.

<math>n</math>차원 [[매끄러운 다양체]]의 <math>k</math>차 [[틀다발]]은 자연스럽게 <math>\operatorname{Jet}(n,k)</math>를 구조군으로 갖는다.

=== 반직접곱 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[리 군]] <math>G</math>
* 자연수 <math>n</math>과 <math>k</math>
그렇다면, 제트 공간
:<math>\mathrm T_n^kG=\{\mathrm j_0^kg\colon g\colon\mathbb R^n\to G\}</math>
을 생각하자. 이는 점별 곱셈에 대하여 자연스럽게 다음과 같이 [[리 군]]을 이룬다.<ref name="GM"/>{{rp|Definition 3.3}}
:<math>(\mathrm j_0^kg)(\mathrm j_0^kg')=\mathrm j_0^k(gg')</math>
여기서
:<math>gg'\colon x\mapsto g(x)g'(x)</math>
는 두 함수의 점별 곱셈이다.

그렇다면, 제트 군 <math>\operatorname{Jet}(n,k)</math>는 <math>\mathrm T_n^kG</math> 위에 다음과 같이 [[군의 작용|오른쪽에서 작용]]한다.
:<math>(\mathrm j_0^kg)\cdot(\mathrm j_0^kf)=\mathrm j_0^k(g\circ f)\qquad(f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R^n,\;g\colon\mathbb R^n\to G)</math>
이는 [[군 준동형]]
:<math>\operatorname{Jet}(n,k)^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Aut}(\mathrm T_n^kG)</math>
을 이룬다. 따라서, [[반직접곱]]
:<math>\mathrm T_n^kG\rtimes \operatorname{Jet}(n,k)^{\operatorname{op}}</math>
을 정의할 수 있다.<ref name="GM"/>{{rp|Definition 3.4}}

== 예 ==
<math>k=0</math>이거나 또는 <math>n=0</math>인 경우, 제트 군은 [[자명군]]이다.
:<math>\operatorname{Jet}(n,0)=\operatorname{Jet}(0,k)=1\qquad\forall n,k\in\mathbb N</math>
<math>k=1</math>일 경우, 제트 군은 실수 [[일반 선형군]]이다.
:<math>\operatorname{Jet}(n,1)=\operatorname{GL}(n;\mathbb R)\qquad\forall n\in\mathbb N</math>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=jet group|title=Jet group}}
* {{nlab|id=jet groupoid|title=Jet groupoid}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:리 군]]