제약된 극값 정리 문서 원본 보기

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'''제약된 극값 정리'''(制約된 極값 定理, {{llang|en|constrained extremum theorem}})는 [[선형대수학]]의 [[정리]]로, [[이차 형식]]의 [[최댓값]]과 [[최솟값]]을 [[단위구]] 상에서 구할 때의 조건에 관한 내용이다.<ref name="a">Howard Anton, Robert C. Busby, 고형준 외 공역, 《최신선형대수》, 학술정보, 2004, 684쪽.</ref>

== 공식화 ==
A를 [[실수]] 성분만을 갖는 n×n인 [[대칭행렬]]이라 하고, 그 크기의 [[내림차순]]으로 배열된 [[고윳값]]을 <math>\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n</math> 라 하자. 그러면, 제약된 극값 정리는 다음 세 명제가 성립하는 것으로 표현할 수 있다.<ref name="a"/>

# 단위구 ||'''x'''|| = 1 위에 '''x'''<sup>T</sup>A'''x'''의 최댓값과 최솟값이 존재한다.
# 최댓값은 가장 큰 고윳값인 <math>\lambda_1</math> 이고, 이 최댓값은 '''x'''가 <math>\lambda_1</math> 에 대응하는 A의 [[단위벡터|단위]] [[고유벡터]]일 때 존재한다.
# 최솟값은 가장 작은 고윳값인 <math>\lambda_n</math> 이고, 이 최솟값은 '''x'''가 <math>\lambda_n</math> 에 대응하는 A의 단위 고유벡터일 때 존재한다.

여기서 조건인 ||'''x'''|| = 1를 '''제약'''(constraint)이라 하고, 이 제약에서 '''x'''<sup>T</sup>A'''x'''의 최댓값 또는 최솟값을 '''제약된 극값'''(constrained extremum)이라 한다.<ref name="a"/>

== 같이 보기 ==
* [[최대 최소 정리]]
* [[라그랑주 승수법]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* Howard Anton, Robert C. Busby, 고형준 외 공역, 《최신선형대수》, 학술정보, 2004

[[분류:선형대수학]]
[[분류:행렬론]]
[[분류:수학적 최적화]]
[[분류:대수학 정리]]