제곱근 행렬 문서 원본 보기

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수학에서 '''행렬의 제곱근'''(Square root of a matrix) 또는 '''제곱근 행렬'''은 [[제곱근]]이라는 개념을 [[수 (수학)|수의 체계]]에서 [[행렬]]로 확장한 것이다.

행렬 곱 B B 가 A와 같으면 행렬 B는 A의 제곱근이라고한다.<ref name="Higham">{{인용|last=Higham|first=Nicholas J.|authorlink=Nicholas Higham|date=April 1986|title=Newton's Method for the Matrix Square Root|journal=[[Mathematics of Computation]]|volume=46|issue=174|pages=537–549|doi=10.2307/2007992|url=http://www.ams.org/journals/mcom/1986-46-174/S0025-5718-1986-0829624-5/S0025-5718-1986-0829624-5.pdf|jstor=2007992|postscript=}}</ref>
== 성질 ==
일반적으로 임의의 한 행렬은 여러 개의 제곱근을 가질 수 있다. 예를 들어,
행렬<math>\left( \begin{smallmatrix}33&24\\ 48&57\end{smallmatrix} \right)</math>은 <math>\left( \begin{smallmatrix}1&4\\ 8&5\end{smallmatrix} \right)</math>과<math>\left( \begin{smallmatrix}5&2\\ 4&7\end{smallmatrix} \right)</math> 제곱근이있다. 또한 그들의 부가적인 반전을 포함한다.

:<math>\left( \begin{smallmatrix}5&2\\ 4&7\end{smallmatrix} \right)</math> <math>\left( \begin{smallmatrix}5&2\\ 4&7\end{smallmatrix} \right)</math> <math> = \begin{pmatrix} (5\cdot5+2\cdot4) & (5\cdot2 + 2\cdot7)  \\ (4\cdot5 + 7\cdot 4) & (4 \cdot 2 + 7 \cdot 7)  \end{pmatrix}</math> <math> = \begin{pmatrix} (25+8) & (10 + 14)  \\ (20 + 28) & (8 + 49)  \end{pmatrix}</math><math> = \begin{pmatrix} (33) & (24)  \\ (48) & (57)  \end{pmatrix}</math>

== 예 ==
2×2 [[단위 행렬]] <math>\bigl( \begin{smallmatrix}1&0\\ 0&1\end{smallmatrix} \bigr) </math>에서처럼 [[대칭행렬|대칭]]의 제곱근 행렬들도 포함하게 되므로 제곱근 행렬의 수는 보다 더 많아 진다.
:<math>\frac{1}{t}\left( \begin{matrix}s&r\\ r&-s\end{matrix} \right), \quad \frac{1}{t}\left( \begin{matrix}s&-r\\ -r&-s\end{matrix} \right), \quad \frac{1}{t}\left( \begin{matrix}-s&r\\ r&s\end{matrix} \right), \quad \frac{1}{t}\left( \begin{matrix}-s&-r\\ -r&s\end{matrix} \right), \quad \left( \begin{matrix}1&0\\ 0&\pm 1\end{matrix} \right),   \quad \left( \begin{matrix}-1&0\\ 0& \pm1\end{matrix} \right)</math>

<math>(r,s,t)</math>는 [[피타고라스 정리]]에 등장하는 등식 <math>r^2+s^2=t^2</math>을 만족시키는 세 양의 [[정수]] [[튜플]]이다.<ref>Mitchell, Douglas W. "Using Pythagorean triples to generate square roots of ''I''<sub>2</sub>". ''[[The Mathematical Gazette]]'' 87, November 2003, 499-500.</ref>

== 같이 보기 ==
* [[피타고라스 삼조]]
* [[부호 행렬]]

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:행렬]]
[[분류:행렬론]]