정칙 이차 미분 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[리만 곡면]] 이론에서, '''정칙 이차 미분'''(正則二次微分, {{llang|en|holomorphic quadratic differential}})은  [[표준 선다발]]의 2차 텐서곱의 정칙 단면이다.<ref>{{서적 인용|제목=Quadratic differentials|이름=Kurt|성=Strebel|날짜=1984|출판사=Springer-Verlag|doi=10.1007/978-3-662-02414-0|총서=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete|권=5|issn=0071-1136|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
[[리만 곡면]] <math>\Sigma</math> 위의 '''정칙 이차 미분'''은 그 [[표준 선다발]]의 2차 텐서곱의 정칙 단면이다. 즉, 정칙 이차 미분의 공간은 다음과 같은 [[층 코호몰로지]]이다.<ref name="MP">{{저널 인용|arxiv=math-ph/9811024|제목=Ribbon graphs, quadratic differentials on Riemann surfaces, and algebraic curves defined over ℚ̄|이름=Motohico|성=Mulase|이름2=Michael|성2=Penkava|저널=The Asian Journal of Mathematics|권=2|호=4|쪽=875–920|날짜=1998|bibcode=1998math.ph..11024M|언어=en}}</ref>{{rp|§4}}
:<math>\operatorname H^0(\Sigma,K_\Sigma^{\otimes 2})</math>
여기서 <math>K_\Sigma</math>는 <math>\Sigma</math>의 [[표준 선다발]]이다. 즉, <math>\Sigma</math>의 국소 좌표를 <math>z</math>라고 하면, 정칙 이차 미분은 국소적으로
:<math>f(z)\,\mathrm dz^2</math>
의 꼴이다.

=== 표준 좌표계 ===
[[리만 곡면]] <math>\Sigma</math> 위의 정칙 이차 미분 <math>q(z)=f(z)\;\mathrm dz^2</math>가 주어졌다고 하고, 임의의 점 <math>z_0\in\Sigma</math>에 대하여 <math>q|_{z_0}\ne0</math>이라고 하자. 그렇다면, <math>z_0</math>의 어떤 (충분히 작은) [[근방]] <math>U\ni z_0</math>에 다음과 같은 국소 좌표계를 정의할 수 있다.
:<math>w\colon U\to\mathbb C</math>
:<math>w\colon z_1\mapsto \int_{z_0}^{z_1}\sqrt q=\int_{z_0}^{z_1}\sqrt {f(z)}\,\mathrm dz</math>
이를 <math>q</math>로부터 정의되는 '''표준 좌표계'''(瓢樽座標系, {{llang|en|canonical coordinate}})라고 한다.

또한, <math>\{z\in\Sigma\colon q|_z\ne0\}</math>에서, [[리만 계량]]
:<math>|f(z)|\,\mathrm dz\,\mathrm d\bar z=|f(z)|\,\left(\mathrm dx^2+\mathrm dy^2\right)</math>
를 정의할 수 있다 (<math>z=x+\mathrm iy</math>). 이 [[리만 계량]]의 [[리만 곡률]]은 0이다.

=== 수직엽과 수평엽 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[리만 곡면]] <math>\Sigma</math>
* <math>\Sigma</math>의 한 점 <math>z_0\in\Sigma</math>
* <math>\Sigma\setminus\{z_0\}</math> 위의 정칙 이차 미분 <math>q</math>. 또한, <math>q</math>가 <math>z_0</math> 근처에서 <math>k</math>차 [[극 (복소해석학)|극]]을 갖는다고 하자. 즉, <math>q</math>는 <math>z_0</math> 근처에서 다음과 같은 꼴을 갖는다.
*:<math>q(z)\sim\frac{O(1)}{(z-z_0)^k}\mathrm dz^2</math>
그렇다면, 만약 어떤 연속 미분 가능 곡선
:<math>\gamma\colon (a,b)\to \Sigma</math>
에 대하여 다음과 같은 두 조건을 생각하자.
:㉠ <math>\forall t\in(a,b)\colon q|_{\gamma(t)}\left(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t)\right)\in\mathbb R^+\subsetneq\mathbb C</math>
:㉡ <math>\forall t\in(a,b)\colon q|_{\gamma(t)}\left(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t)\right)\in\mathbb R^-\subsetneq\mathbb C</math>
이 두 조건은 매개 변수의 재정의 <math>\gamma\mapsto\gamma\circ f</math>에 대하여 (만약 <math>\forall t\colon f'(t)\ne0</math>라면) 불변이다. 즉, 이들은 단순히 <math>\Sigma</math>의 부분 집합으로 취급할 수 있다. ㉠을 만족시키는 이러한 부분 집합들 가운데, 포함 관계에 대하여 [[극대 원소]]인 것을  <math>q</math>의 '''수평엽'''(水平葉, {{llang|en|horizontal leaf}})이라고 한다. 마찬가지로, ㉡을 만족시키는 이러한 부분 집합들 가운데, 포함 관계에 대하여 [[극대 원소]]인 것을 <math>q</math>의 '''수직엽'''(垂直葉, {{llang|en|vertical leaf}})이라고 한다.

== 성질 ==
[[리만 곡면]] <math>\Sigma</math> 위의 정칙 이차 미분의 벡터 공간은 그 [[타이히뮐러 공간]]의 [[공변접공간]]과 표준적으로 동형이다.

[[리만 곡면]] <math>\Sigma</math> 위의 정칙 이차 미분 <math>q</math>의 수직엽들의 족은 [[리만 곡면]] <math>\{z\in\Sigma\colon q|_z\ne0\}</math>의 (실수) 여차원 1의 [[엽층]]을 이루며, <math>q</math>의 수평엽들의 족 역시 마찬가지다.

=== 슈트레벨 미분 ===
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* 종수 <math>g</math>의 [[연결 공간|연결]] [[콤팩트 공간|콤팩트]]  [[리만 곡면]] <math>\Sigma</math> (<math>g\ge0</math>).
* <math>\Sigma</math> 속의 [[유한 집합]] <math>\{z_1,\dotsc,z_n\}\subseteq\Sigma</math>. 또한, <math>\min\{0,2-2g\}<n</math>이다. (즉, <math>g=0</math>일 때는 <math>n\ge3</math>이며, <math>g\ge 1</math>일 때는 <math>n\ge1</math>이다.)
* 각 <math>z_i</math>에 대하여, 양의 실수 <math>t_i\in\mathbb R^+</math>.
그렇다면, 다음 조건들을 만족시키는 유일한 정칙 이차 미분
:<math>q\in\Gamma(\Sigma\setminus\{z_1,\dotsc,z_n\},\operatorname{Sym}^2K_\Sigma)</math>
이 존재하며, 이를 <math>q</math>의 '''슈트레벨 미분'''(Strebel微分, {{llang|en|Strebel differential}})이라고 한다.<ref name="MP"/>{{rp|Theorem 4.2}}
* <math>q</math>는 각 <math>z_i</math> 근처에서, 국소적으로 다음과 같이 2차 [[극 (복소해석학)|극]]을 갖는다.
*:<math>q(z)=\frac{O(1)}{(z-z_i)^2}(\mathrm dz)^2</math>
* <math>q</math>의 수평엽들 가운데, [[콤팩트 공간]]이 아닌 것들의 [[합집합]]은 [[르베그 측도]] 0인 [[닫힌집합]]이다.
* <math>q</math>의 수평엽들 가운데, [[콤팩트 공간]]인 것 <math>\gamma\subseteq M</math>은 항상 어떤 <math>z_i\in\{z_1,\dotsc,z_n\}</math>을 한 번 휘감는 [[폐곡선]]이며, 또한 다음 조건을 만족시킨다. (여기서, 제곱근의 [[분지 절단|분지]]는 이 적분이 양수가 되게 택한다.)
*:<math>t_i=\oint_\gamma \sqrt q</math>

== 예 ==
=== 상수 정칙 이차 미분 ===
[[파일:Conformal grid before Möbius transformation.svg|thumb|right|<math>\mathrm dz^2</math>의 수평엽(푸른 선)과 수직엽(붉은 선)]]
비콤팩트 [[리만 곡면]]인 [[복소평면]] <math>\mathbb C</math> 위의 상수 정칙 이차 적분
:<math>q=\mathrm dz^2</math>
을 생각하자. 이는 영점을 갖지 않는다.

이 경우, 수평엽의 조건은
:<math>\dot\gamma^2\in\mathbb R^+\subsetneq\mathbb C</math>
인 것이다. 즉, <math>\dot\gamma\in\mathbb R\setminus\{0\}</math>이어야 한다. 이에 따라, 수평엽들은 다음과 같은 수평선들이다.
:<math>\mathbb R+\mathrm it\qquad(t\in\mathbb R)</math>
마찬가지로, 수직엽의 조건은
:<math>\dot\gamma^2\in\mathbb R^-\subsetneq\mathbb C</math>
인 것이다. 즉, <math>\dot\gamma\in\mathrm i\mathbb R\setminus\{0\}</math>이어야 한다. 이에 따라, 수직엽들은 다음과 같은 수직선들이다.
:<math>\mathrm i\mathbb R+t\qquad(t\in\mathbb R)</math>
이들은 물론 각각 [[복소평면]]의 [[엽층]]을 이룬다.

보다 일반적으로, 임의의 [[리만 곡면]] <math>\Sigma</math> 및 임의의 <math>z\in\Sigma</math> 및 임의의 정칙 이차 적분 <math>q</math>에 대하여, 만약 <math>q|_z\ne0</math>이라면, <math>z</math>의 충분히 작은 [[근방]] <math>U\ni z</math>에서 <math>q\restriction U</math>는 (표준 좌표계에서) 상수 정칙 이차 미분이 되며, 표준 좌표계에서 수평엽과 수직엽은 위와 같이 ([[복소구조]]로 정의되는 [[등각 계량]]에 대하여) 서로 직교한다.<ref name="MP"/>{{rp|Proposition 4.1}}

=== 2차 극 근처의 정칙 이차 미분 ===
[[파일:Polar graph paper.svg|thumb|right|<math>\mathrm dz^2/z^2</math>의 수평엽(푸른 반직선)과 수직엽(붉은 원)]]
복소평면 위의 정칙 이차 미분
:<math>q=\frac{\mathrm dz^2}{z^2}</math>
를 생각하자. 그렇다면, 수평엽의 조건은
:<math>\dot\gamma(z)\in z\mathbb R</math>
이므로, 수평엽은 원점에서 시작하는 [[반직선]]
:<math>t\mapsto t\exp(\mathrm i\theta)\qquad(\theta\in\mathbb R)</math>
이다. 마찬가지로, 수직엽의 조건은
:<math>\dot\gamma(z)\in\mathrm iz\mathbb R</math>
이므로, 수직엽은 원점을 중심으로 하는 원
:<math>t\mapsto r\exp(\mathrm it)\qquad(r\in\mathbb R^+)</math>
의 꼴이다.

== 역사 ==
슈트레벨 미분은 스위스의 수학자 쿠르트 슈트레벨({{llang|de|Kurt Strebel}}, 1921~2013)이 도입하였다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|arxiv=0910.4752|제목=Explicit examples of Strebel differentials|성=Tynan|이름=P.|날짜=2009|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:리만 곡면]]