정지 위상 근사 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''정지 위상 근사'''(停止位相近似, {{llang|en|stationary phase approximation}})는 진동적분을 근사하는 데 사용하는 근사법이다. 이 방법은 진동적분을 위상의 도함수가 0인 곳, 즉 위상이 정지해 있는 곳들만을 고려하여 근사한다.

== 정의 ==
유클리드 공간 <math>\mathbb R^n</math> 위에 다음과 같은 꼴의 적분이 있다고 하자.
:<math>I(k)=\int_{\mathbb R^n}d^n\mathbf x\,g(\mathbf x)\exp(ikf(\mathbf x))</math>
여기서 <math>f</math>와 <math>g</math>는 [[매끄러운 함수|매끄러운]] 실함수이며, <math>g</math>는 무한대에서 적분이 수렴하도록 충분히 빨리 0으로 간다고 하자. <math>k</math>는 임의의 양의 실수 매개변수이다.

이제, <math>f(\mathbf x)</math>가 <math>\mathbf x=\mathbf x_0</math>에서 유일한 정류점을 가진다고 하자.
:<math>\nabla f(\mathbf x_0)=0</math>
또한, 이 점에서의 [[헤세 행렬]] <math>Hf(\mathbf x_0)</math>이 [[고윳값]] 0을 갖지 않는다고 하며, 양의 고윳값들이 <math>n_+</math>개, 음의 고윳값들이 <math>n_-</math>개라고 하자.
그렇다면 매우 큰 <math>k</math>에 대하여 적분 <math>I(k)</math>를 다음과 같이 근사할 수 있다. 이를 '''정지 위상 근사'''라고 한다.
:<math>I(k)\approx g(\mathbf x_0)\exp(ikf(\mathbf x_0)+i(n_+-n_-)\pi/4)\sqrt{2\pi/(k|\det Hf(\mathbf x_0)|)}+\mathcal O(1/k)</math>
만약 여러 개의 고립된 정류점들이 존재한다면, 각 점들에서의 값들을 더하면 된다.

== 유도 ==
좌표 변환을 통해, 다변수 정지 위상 근사는 1변수의 경우로부터 유도할 수 있다. 1변수의 경우, 정지 위상 근사는 기본적으로 다음과 같은 꼴이다. <math>|k|</math>가 매우 크다면, <math>a</math>에 상관없이 다음이 성립한다.
:<math>\int_{-a}^adx\,\exp(ikx^2/2)=\sqrt{2\pi/|k|}\exp((\operatorname{sgn}k)i\pi/4)+\mathcal O(1/k)</math>
여기서 <math>\operatorname{sgn}k=k/|k|\in\{+1,-1\}</math>는 <math>k</math>의 부호이다. 이 1변수 적분은 쉽게 유도할 수 있다.

== 역사 ==
정지 위상 근사는 19세기에 [[조지 가브리엘 스토크스]]와 [[제1대 켈빈 남작 윌리엄 톰슨]]이 도입하였다.<ref>{{인용
| last = Courant
| first = Richard
| authorlink = 리하르트 쿠란트
| 공저자 = [[다비트 힐베르트|David Hilbert]]
| title =Methods of mathematical physics
| volume = 1
| page = 474
| year = 1953
| edition = 2판
| publisher = Interscience Publishers
| location = New York
| oclc = 505700
}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Stationary phase, method of the}}

== 같이 보기 ==
* [[라플라스 방법]]

{{전거 통제}}

[[분류:해석학 (수학)]]
[[분류:섭동 이론]]