정지 시간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[확률 과정]] 이론에서, '''정지 시간'''(停止時間, {{llang|en|stopping time|스토핑 타임}}) 또는 '''마르코프 순간'''(Марков瞬間, {{llang|en|Markov moment}}<ref>{{서적 인용|last1=Kallenberg |first1=Olav |year=2017  |title=Random Measures, Theory and Applications|location= Switzerland |publisher=Springer |doi= 10.1007/978-3-319-41598-7|isbn=978-3-319-41596-3|pages=347}}</ref>)은 어떤 [[여과 확률 공간]]과 호환되는 성질을 갖는, 지표 집합의 원소(‘시각’)의 값을 갖는 [[확률 변수]]이다. 대략, 정지 시간이 ‘지났는지’ 여부는 ([[여과 확률 공간]]에 의하여 주어진) 이 시간 이전에 알려진 정보만으로 확인할 수 있어야 한다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[상계 (수학)|상계]] <math>\infty\in T</math>를 갖는 [[전순서 집합]] <math>(T,\le)</math>
* [[여과 확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F_t,\Pr)_{t\in T}</math>
이 데이터의 '''정지 시간'''은 다음 조건을 만족시키는 [[함수]]
:<math>\tau\colon \Omega \to T</math>
이다.
:<math>\forall t\in T\colon \{\omega\in\Omega\colon \tau(\omega)\le t\} \in\mathcal F_t </math>
다시 말해, <math>\tau \le t</math>인 사건이 발생하였는지 여부는 시각 <math>t\in T</math>에서 알려진 정보 <math>\mathcal F_t</math>만으로 확인할 수 있어야 한다.

정의에 따라, <math>T</math>에 [[순서 위상]]의 [[보렐 가측 공간]] 구조를 부여하면, 이는 [[확률 변수]]
:<math>\tau \colon(\Omega,\mathcal F_\infty,\Pr) \to T</math>
를 정의한다.

[[확률 과정]]의 정지 시간이란 그 [[자연 여과 확률 공간]]에 대한 정지 시간을 뜻한다.

=== 정지 과정 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[상계 (수학)|상계]] <math>\infty\in T</math>를 갖는 [[전순서 집합]] <math>(T,\le)</math>
* [[여과 확률 공간]] <math>(\Omega,\mathcal F_t,\Pr)_{t\in T}</math>
* <math>(\mathcal F_t)_{t\in T}</math>-정지 시간 <math>\tau\colon \Omega \to T</math>
* [[가측 공간]] <math>S</math>
* <math>(\mathcal F_t)_{t\in T}</math>-[[순응 확률 과정]] <math>(X_t\colon\Omega\to S)_{t\in T}</math>
그렇다면, <math>X</math>의 <math>\tau</math>에 대한 '''정지 과정'''(停止過程, {{llang|en|stopped process}})은 다음과 같은 [[순응 확률 과정]]이다.
:<math>X^\tau_t \colon \Omega \to S</math>
:<math>X^\tau_t \colon \omega \mapsto X_{\min\{t,\tau(\omega)\}}(\omega) = \begin{cases}
X_t & t \le \tau(\omega) \\
X_{\tau(\omega)} &t \ge \tau(\omega) \\
\end{cases}</math>
이는 흔히
:<math>X^\tau_t = X_{\min\{t,\tau\}}</math>
와 같이 표기된다.

== 예 ==
<math>0\in\mathbb R</math>에서 시작하는 표준 [[위너 확률 과정]] <math>(W_t \colon \Omega \to\mathbb R)_{t\in[0,\infty]}</math>을 생각하자. <math>S\subseteq\mathbb R</math>가 임의의 실수 [[보렐 집합]]이라고 하자. 그렇다면, 확률 변수
:<math>\tau_S \colon [0,\infty]</math>
:<math>\tau_S(t) = \inf \{ t\in T\colon W_t(\omega) \in S\}</math>
를 정의할 수 있다. 이는 <math>W</math>의 [[자연 여과 확률 공간]]에 대한 정지 시간을 이룬다.

== 각주 ==
<references />

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Markov moment}}

[[분류:확률 과정]]
[[분류:최적 결정]]