정규 스킴 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수기하학]]에서 '''정규 스킴'''(正規scheme, {{llang|en|normal scheme}})은 모든 [[국소환]]이 [[정수적으로 닫힌 정역]]인 [[스킴 (수학)|스킴]]이다.

== 정의 ==
[[국소환 달린 공간]] <math>(X,\mathcal O_X)</math>에서, 만약 모든 <math>x\in X</math>에 대하여 구조층의 [[줄기 (수학)|줄기]] <math>\mathcal O_{X,x}</math>가 [[정수적으로 닫힌 정역]]인 [[국소환]]이라면, <math>(X,\mathcal O_X)</math>를 '''정규 국소환 달린 공간'''({{llang|en|normal locally ringed space}})이라고 한다.

'''정규 스킴'''은 정규 국소환 달린 공간인 [[스킴 (수학)|스킴]]이다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=Algebraic geometry|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|91, Exercise II.3.8}} '''정규환'''(正規環, {{llang|en|normal ring}}) <math>R</math>는 그 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]] <math>\operatorname{Spec}R</math>가 정규 스킴인 [[가환환]]이다. 즉, 임의의 [[소 아이디얼]] <math>\mathfrak p</math>에 대하여, [[국소화 (환론)|국소화]] <math>R_{\mathfrak p}</math>가 [[정수적으로 닫힌 정역]]인 경우이다.

=== 정규화 ===
임의의 [[기약 스킴|기약]] [[축소 스킴]] <math>X</math>에 대하여, 다음과 같은 [[보편 성질]]을 만족시키는 기약 정규 스킴 <math>\tilde X</math> 및 스킴 사상 <math>\nu\colon\tilde X\to X</math>가 존재하며, 이를 <math>X</math>의 '''정규화'''({{llang|en|normalization}})라고 한다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|91, Exercise II.3.8}}
* 임의의 기약 정규 스킴 <math>Y</math> 및 [[우세 사상]] <math>f\colon Y\to X</math>에 대하여, <math>f=\nu\circ\tilde f</math>가 되는 스킴 사상 <math>\tilde f\colon Y\to\tilde X</math>가 유일하게 존재한다.
*:<math>\begin{matrix}
\forall Y&\overset{\exists!}\to&\tilde X\\
&{\scriptstyle\forall}\searrow&\downarrow\\
&&X
\end{matrix}</math>

이는 구체적으로 다음과 같이 구성된다. <math>X</math> 위에 열린 [[아핀 스킴]]들로 구성된 [[열린 덮개]] <math>\{\operatorname{Spec}R_i\}_{i\in I}</math>를 잡았을 때, 각 <math>R_i</math>의 [[정수적 폐포]] <math>\tilde R_i</math>들의 스펙트럼 <math>\{\operatorname{Spec}\tilde R_i\}_{i\in I}</math>을 이어붙여 스킴 <math>\tilde X</math>를 구성할 수 있다. 자연스러운 사상 <math>\tilde X\to X</math>는 가환환의 포함 준동형 <math>R_i\hookrightarrow\tilde R_i</math>으로부터 유도된다.

만약 <math>X</math>가 기약 스킴이 아닌 축소 스킴이라면, 그 정규화는 <math>X</math>의 각 기약 성분 <math>X_i</math>의 정규화 <math>\tilde X_i</math>들의 [[분리합집합]]
:<math>\tilde X=\bigsqcup_i\tilde X_i</math>
으로 정의된다.

== 성질 ==
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[축소 스킴]] ⊋ 정규 스킴 ⊋ [[정칙 스킴]] ⊋ [[체 (수학)|체]] 위의 [[매끄러운 스킴]]

=== 세르 조건 ===
[[뇌터 환|뇌터 가환환]] <math>R</math>에 대하여, 다음과 같은 조건들을 정의하자.
* R<sub>''k''</sub>: 모든 소 아이디얼 <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R</math>에 대하여, 만약 <math>\operatorname{ht}\mathfrak p\le k</math>라면, 국소화 <math>R_{\mathfrak p}</math>는 [[정칙 국소환]]이다. 여기서 <math>\operatorname{ht}</math>는 [[아이디얼의 높이]]이다.
* S<sub>''k''</sub>: 모든 소 아이디얼 <math>\mathfrak p\in\operatorname{Spec}R</math>에 대하여, <math>\operatorname{depth}R_{\mathfrak p}\ge\min\{k,\operatorname{ht}\mathfrak p\}</math>. 여기서 <math>\operatorname{depth}</math>는 (스스로 위의 가군으로서의, 유일한 [[극대 아이디얼]]에 대한) [[깊이 (가환대수학)|깊이]]이다.
'''세르 조건'''({{llang|en|Serre’s criterion}})에 따르면, [[뇌터 환|뇌터]] [[가환환]]의 경우, 다음 표에서 각 행에 적힌 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
{| class=wikitable
|-
! 조건 !! [[뇌터 환|뇌터]] [[가환환]]에 대하여 동치인 조건
|-
| 정규환 || R<sub>1</sub> + S<sub>2</sub>
|-
| [[축소환]] || R<sub>0</sub> + S<sub>1</sub>
|-
| [[코언-매콜리 환]] || S<sub>∞</sub>
|}

[[대수기하학]]적으로, 정규 스킴의 세르 조건에서, R<sub>1</sub> 조건은 대략 "[[여차원]] 1의 특이 부분 집합이 존재하지 않음"을 뜻한다. 마찬가지로, [[대수기하학]]적으로 S<sub>2</sub> 조건은 [[하르톡스 확장정리]]에 해당한다.

=== 정규 대수다양체 ===
[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math> 위의 [[대수다양체]] <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>X</math>는 정규 대수다양체이다.
* <math>K</math> 위의 임의의 대수다양체 <math>Y</math> 및 (<math>Y</math> 전체에 정의된) 및 임의의 [[유한 사상|유한]] [[쌍유리 사상]] <math>f\colon Y\to X</math>에 대하여, <math>f</math>는 (대수다양체의) [[동형 사상]]이다.
이는 [[정수적으로 닫힌 정역]]의 정의를 그대로 기하학적으로 번역한 것이다. 즉, <math>x\in X</math>에 대하여 <math>R=\mathcal O_{X,x}</math>라고 놓으면, 모든 환 <math>S</math>에 대하여, 만약 다음 두 조건
* (쌍유리 사상) <math>R\subseteq S\subseteq\operatorname{Frac}R=\operatorname{Frac}S</math>
* (유한 사상) <math>S</math>는 <math>R</math> 위의 [[유한 생성 가군]]
이 성립한다면, <math>R=S</math>이어야 한다.

== 역사 ==
정규 스킴의 개념은 [[오스카 자리스키]]가 1939년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|mr=1507376|last=Zariski|first= Oscar|저자링크=오스카 자리스키|title=Some Results in the Arithmetic Theory of Algebraic Varieties.
|journal=American Journal of Mathematics|volume= 61 |year=1939|issue= 2|pages= 249–294|jstor=2371499|doi=10.2307/2371499|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Normal scheme}}
* {{eom|title=Normal analytic space}}
* {{nlab|id=normal variety|title=Normal variety}}
* {{웹 인용|url=http://math.stackexchange.com/questions/206099/what-are-normal-schemes-intuitively|제목=What are normal schemes intuitively?|출판사=StackExchange|언어=en|확인날짜=2016-04-18|보존url=https://web.archive.org/web/20160426052611/http://math.stackexchange.com/questions/206099/what-are-normal-schemes-intuitively|보존날짜=2016-04-26|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/109395/is-there-a-geometric-intuition-underlying-the-notion-of-normal-varieties|제목=Is there a “geometric” intuition underlying the notion of normal varieties?|출판사=Math Overfloow|언어=en|확인날짜=2016-04-18|보존url=https://web.archive.org/web/20161023222809/http://mathoverflow.net/questions/109395/is-there-a-geometric-intuition-underlying-the-notion-of-normal-varieties|보존날짜=2016-10-23|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=https://rigtriv.wordpress.com/2008/07/08/normalization-and-normal-varieties/|제목=Normalization and normal varieties|웹사이트=Rigorous Trivialities|날짜=2008-07-08|이름=Charles|성=Siegel|언어=en|확인날짜=2016-04-18|보존url=https://web.archive.org/web/20160618050857/https://rigtriv.wordpress.com/2008/07/08/normalization-and-normal-varieties/|보존날짜=2016-06-18|url-status=dead}}

{{전거 통제}}

[[분류:가환대수학]]
[[분류:스킴 이론]]