정규화 사슬 복합체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[호몰로지 대수학]]에서 '''정규화 사슬 복합체'''(正規化사슬複合體, {{llang|en|normalized chain complex}})는 [[아벨 범주]]의 [[단체 대상]]에 대하여 정의되는 [[사슬 복합체]]이다. 이는 [[아벨 범주]]의 [[단체 대상]]의 범주와 [[자연수]] 등급 [[사슬 복합체]]의 범주 사이의 [[범주의 동치|동치]]를 정의하며, 이 동치를 '''돌트-칸 대응'''(Dold–Kan對應, {{llang|en|Dold–Kan correspondence}})이라고 한다.<ref>{{서적 인용 | last1=Goerss | first1=Paul G. | last2=Jardine | first2=John Frederick | title=Simplicial homotopy theory | publisher=Birkhäuser | series=Progress in Mathematics | isbn=978-3-7643-6064-1 | 날짜=1999 | volume=174 |언어=en}}</ref>

== 정의 ==
=== 무어 복합체 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>
* [[준단체 대상]] <math>M_\bullet \colon \triangle_{\operatorname{pre}}^{\operatorname{op}}\to \mathcal A</math>
이제, 다음을 정의하자.
:<math>\operatorname C_n(M) = M_n \qquad (n\in\mathbb N)</math>
:<math>\partial_n = \sum_{i=0}^n (-)^i \partial_{n,i} M_i \qquad (n\in\mathbb N)</math>
그렇다면, <math>(\operatorname C_\bullet(M),\partial_\bullet)</math>은  [[사슬 복합체]]를 이루며, 이를 [[준단체 대상]] <math>M_\bullet</math>의 '''무어 사슬 복합체'''({{llang|en|Moore chain complex}})라고 한다.<ref name="Loday">{{서적 인용|이름=Jean-Louis |성=Loday|저자링크=장루이 로데|제목=Cyclic homology|총서=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften |권= 301 | 출판사=Springer-Verlag | 날짜= 1998 | isbn= 978-3-642-08316-7|issn=0072-7830|doi=10.1007/978-3-662-11389-9|zbl=0885.18007|판=2|mr=1217970|언어=en}}</ref>{{rp|45, Definition 1.6.2}}
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명''':
<div class="mw-collapsible-content">
편의상 집합
:<math>S=\{0,\dotsc,n-1\} \times \{0,\dotsc, n\}</math>
및
:<math>S_+ = \{(i,j)\in S\colon i < j \}</math>
:<math>S_- = \{(i,j)\in S\colon i \ge j \}</math>
을 정의하자. 이 사이에는 [[전단사 함수]]
:<math>S_+ \to S_-</math>
:<math>(j,i+1) \mapsto (i,j) </math>
가 존재한다.

그렇다면, 단체 항등식을 사용하면 다음과 같다.
:<math>
\begin{aligned}
\partial_{n-1} \circ \partial_n &=
\sum_{(i,j)\in S} \partial_{n-1,i}\circ\partial_{n,j} \\
&=\sum_{(i,j)\in  S_+} (-)^{i+j} \partial_{n-1,i} \circ \partial_{n,j}+\sum_{(i,j)\in  S_-} (-)^{i+j} \partial_{n-1,i} \circ \partial_{n,j} \\
&=\sum_{(i,j)\in  S_-}
\left(
(-)^{j+i-1} \partial_{n-1,i} \circ \partial_{n,j}
+
(-)^{i+j} \partial_{n-1,i} \circ \partial_{n,j}
\right)=0
\end{aligned}
</math>
</div></div>

=== 사슬 복합체에 대응하는 준단체 대상 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>
* <math>\mathcal A</math> 속의 [[자연수]] 등급 [[사슬 복합체]]
*:<math>\dotsb \to C_2 \xrightarrow{\partial_2} C_1 \xrightarrow{\partial_1} C_0 \to 0</math>
이제, <math>C_\bullet</math>에 다음과 같은 [[준단체 대상]]의 구조를 줄 수 있다.
:<math>M(n) = C_n</math>
:<math>M(\partial_{n,i}) \colon C_n \to C_{n-1}</math>
:<math>M(\partial_{n,i}) = \begin{cases}
0 & 0 \le i \le n-1 \\
(-)^n \partial_n & i = n
\end{cases}</math>

=== 퇴화 복합체와 정규화 복합체 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>
* [[단체 대상]] <math>M_\bullet \colon \triangle^{\operatorname{op}}\to \mathcal A</math>
이제, 다음을 생각하자.
:<math>f_n \colon \coprod_{i=0}^{n-1} s_{n,i} \colon M_{n-1}^{\oplus n} \to M_n </math>
:<math>g_n \colon \prod_{i=0}^{n-1} \partial_{n,i} \colon M_n \to M_{n+1}^{\oplus n}</math>
(※ <math>g_n</math>에서, 합이 <math>i=n</math>을 포함하지 않는다.)

그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.
:<math>\operatorname D_\bullet(M) = \operatorname{im} f_n </math>
:<math>\operatorname N_\bullet(M) = \ker g_n </math>

그렇다면, <math>(\operatorname D_\bullet(M),\partial_\bullet)</math>와 <math>(\operatorname N_\bullet(M),\partial_\bullet)</math> 둘 다 역시 [[사슬 복합체]]를 이룬다. <math>\operatorname D_\bullet(M)</math>을 '''퇴화 사슬 복합체'''(退化사슬複合體, {{llang|en|degenerate chain complex}})라고 하며, <math>\operatorname N_\bullet(M)</math>을 '''정규화 사슬 복합체'''(正規化사슬複合體, {{llang|en|normalized chain complex}})라고 한다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''퇴화 사슬 복합체의 존재의 증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
퇴화 사슬의 경계가 퇴화 사슬임을 보여야 한다. 즉, 다음과 같은 꼴의 항등식을 보이면 족하다.
:<math>\partial_{n+1} \circ s_{n,i} = \sum_{j=0}^n s_{n,j}\circ \phi_{i,j} </math>
여기서 <math>\phi_{i,j}</math>는 임의의 사상이다.

그런데
:<math>
\begin{aligned}
\partial_{n+1}\circ \circ s_{n,i}
& = \sum_{j=0}^{n+1}(-)^j \partial_{n+1,j} \circ s_{n,i} \\
& = \sum_{j=0}^{i-1}(-)^j \partial_{n+1,j} \circ s_{n,i} + \sum_{j=i}^{i+1}(-)^j \partial_{n+1,j} \circ s_{n,i} + \sum_{j=i+1}^{n+1}(-)^j \partial_{n+1,j} \circ s_{n,i} \\
&= \sum_{j=0}^{i-1}(-)^j s_{n-1,i-1} \circ \partial_{n,j} + \sum_{j=i}^{i+1}(-)^j + \sum_{j=i+1}^{n+1}(-)^j s_{n-1,i}  \circ \partial_{n,j-1} \\
&= s_{n-1,i-1} \circ \left(\sum_{j=0}^{i-1} (-)^j  \partial_{n,j}\right) - s_{n-1,i}  \circ \left(\sum_{j=i}^n(-)^j \partial_{n,j}\right) \\
\end{aligned}
</math>
이다.
</div></div>
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''정규화 사슬 복합체의 존재의 증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>g_{n+1}</math>의 핵의 경계가 <math>g_n</math>의 핵임을 보여야 한다. 즉, 다음과 같은 꼴의 항등식을 보이면 족하다.
:<math>\partial_{n,i}\circ\partial_{n+1} = 
\sum_{j=1}^n \phi_{i,j} \circ \partial_{n+1,j}
\qquad(j < n)
 </math>
여기서 <math>\phi_{i,j}</math>는 임의의 사상이다.

그런데
:<math>
\begin{aligned}
\partial_{n,i}\circ\partial_{n+1}
&= \sum_{j=0}^{n+1} \partial_{n,i} \circ\partial_{n+1,j} \\
&= \left(\sum_{j=0}^n \partial_{n,i} \circ\partial_{n+1,j} \right)
+ (-)^{n+1} \partial_{n,i} \circ \partial_{n+1,n+1} \\
&= \left(\sum_{j=0}^n \partial_{n,i} \circ\partial_{n+1,j} \right)
+ (-)^{n+1} \partial_{n,n} \circ \partial_{n+1,i} \\
\end{aligned}
</math>
이다.
</div></div>

=== 준단체 대상에 대응하는 단체 대상 ===
우선, 다음 기호를 정의하자.
* <math>\operatorname{Surj}(n,m)\subseteq\hom_\triangle(n,m)</math>은 모든 [[전사 함수|전사]] [[증가 함수]] <math>\{0,1,\dotsc,n\} \twoheadrightarrow \{0,1,\dotsc,m\}</math> (<math>0 \le m \le n</math>)들의 집합이다.

[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 속의 [[준단체 대상]]
:<math>C \colon \triangle_{\operatorname{pre}}^{\operatorname{op}} \to \mathcal A</math>
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 <math>\mathcal A</math> 위의 [[단체 대상]]을 정의할 수 있다.
:<math>\sigma(C_n) = \bigoplus_{m=0}^n \bigoplus_{\operatorname{Surj}(n,m)} C_m</math>
즉, 각 <math>\phi\in\operatorname{Surj}(n,m)</math>에 대하여 포함 사상
:<math>\beta_\phi \colon C_m \hookrightarrow \sigma(C_n)</math>
이 있다.

그 위의 [[단체 대상]] 구조는 다음과 같다. [[단체 범주]] <math>\triangle</math> 속의 임의의 사상([[증가 함수]])은 [[전사 함수|전사]] [[증가 함수]]와 [[단사 함수|단사]] [[증가 함수]]의 합성으로 유일하게 표현된다.

임의의 [[단체 범주]] 사상
:<math>f\in \hom_\triangle(m,n)</math>
에 대하여,
:<math>\sigma(f) \colon \sigma(C_n) \to \sigma(C_m)</math>
은 다음과 같다.
:<math>\sigma(f) = \coprod_{
\scriptstyle
g\in \operatorname{Surj}(n,k) \atop \scriptstyle \iota\circ\phi = g\circ f }
\beta_\phi \circ C(\iota)
</math>
여기서,
* <math>\iota\circ\phi = g\circ f</math>은 <math>(\iota,\phi)</math>가 <math>g\circ f\in \hom_\triangle(m, k)</math>의, [[단사 함수]](<math>\iota\colon\{0,\dotsc, n'\}\hookrightarrow \{0,\dotsc, k\}</math>)와 [[전사 함수]](<math>\phi\colon\{0,\dotsc, m\}\twoheadrightarrow\{0,\dotsc, n'\}</math>)로의 (유일한) 분해임을 뜻한다.
* <math>C(\iota) \colon C_k \to C_{n'}</math>은 함자 <math>C\colon\triangle_{\operatorname{pre}}^{\operatorname{op}} \to \mathcal A</math> 아래의, <math>\iota\in\hom_{\triangle_{\operatorname{pre}}}(n',k)</math>의 [[상 (수학)|상]]이다.

== 성질 ==
=== 짧은 완전열 ===
[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 속의 단체 대상 <math>M_\bullet</math>에 대하여, 다음과 같은 [[사슬 복합체]]의 [[짧은 완전열]]이 존재한다.
:<math>0 \to \operatorname D_\bullet(M) \to \operatorname C_\bullet(M) \to \operatorname N_\bullet(M) \to 0</math>
즉,
:<math>\operatorname N_\bullet (M) \cong \frac{\operatorname C_\bullet(M)}{\operatorname D_\bullet(M)}</math>
이다.

=== 정규 사슬 복합체의 표준 분해 ===
[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 속의 [[단체 대상]] <math>M_\bullet</math>에 대하여, 다음과 같은 표준적인 [[동형]]이 존재한다.
:<math>i_n \colon \bigoplus_{m=0}^n \bigoplus_{\operatorname{Surj}(n,m)} \operatorname N_k(M) \cong \operatorname C_n(M)</math>

이 [[동형 사상]]은 다음과 같이 주어진다.
:<math>i_n = \coprod_{m=0}^n \coprod_{f\in\operatorname{Surj}(n,m)} M(f^{\operatorname{op}}) </math>
여기서
:<math>M(f^{\operatorname{op}}) \colon \operatorname N_m(M) \to M_n</math>
은 함자 <math>M \colon \triangle^{\operatorname{op}} \to \mathcal A</math> 아래 <math>f^{\operatorname{op}}\in\hom_{\triangle^{\operatorname{op}}}(m^{\operatorname{op}},n^{\operatorname{op}})</math>의 [[상 (수학)|상]]이다.

=== 돌트-칸 대응 ===
[[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math> 위에서, 다음과 같은 [[범주의 동치]]가 존재한다.
:<math>\operatorname s(\mathcal A) \leftrightarrows \operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)</math>
여기서
* <math>\operatorname s(\mathcal A)</math>는 <math>\mathcal A</math> 위의 [[단체 대상]]의 범주이다.
* <math>\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)</math>는 <math>\mathcal A</math> 위의, [[자연수]] (음이 아닌 정수) 등급의 [[사슬 복합체]]들의 범주이다.

이 동치를 정의하는 함자는 다음과 같다.
* <math>\operatorname N\colon \operatorname s(\mathcal A) \to \operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)</math>는 [[단체 대상]]에 대응되는 정규화 사슬 복합체이다.
* <math>\Gamma \colon \operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A) \to \operatorname s(\mathcal A)</math>는 자연수 등급 [[사슬 복합체]]에 대응되는 [[준단체 대상]]에 대응되는 [[단체 대상]]이다.

또한, 이 [[범주의 동치]]는 [[자연 동형]]으로부터 유도된다. 즉, [[자연 동형]]
:<math>\operatorname N \circ \operatorname \Gamma \Rightarrow 1_{\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)}</math>
:<math> \operatorname \Gamma \circ \operatorname N \Rightarrow 1_{\operatorname s(\mathcal A) }</math>
가 존재한다. 이에 따라, 이들은 두 가지 방향으로 [[수반 함자]]를 이룬다.
:<math>\operatorname N\dashv \operatorname \Gamma</math>
:<math>\operatorname\Gamma\dashv \operatorname N</math>

=== 모형 구조 ===
돌트-칸 대응을 사용하여, <math>\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)</math> 위의 [[모형 범주]] 구조를 <math>\operatorname s(\mathcal A)</math>에 부여할 수 있다. 이에 따라, 돌트-칸 대응은 <math>\operatorname{Ch}_{\ge0}(\mathcal A)</math>와 <math>\operatorname s(\mathcal A)</math> 사이의 [[퀼런 동치]]를 이룬다.

이 경우, <math>\operatorname s(\mathcal A)</math>의 약한 동치는 단체 대상의 사상 가운데, ([[단체 집합]]으로서) 모든 차수의 단체 [[호모토피 군]]의 동형을 유도하는 것이다.

== 역사 ==
돌트-칸 대응은 [[알브레히트 돌트]]<ref>{{저널 인용|이름=Albrecht|성=Dold|저자링크=알브레히트 돌트|제목=Homology of symmetric products and other functors of complexes|저널=Annals of Mathematics|권=68|호=1|날짜=1958-07|쪽=54–80|jstor=1970043|doi=10.2307/1970043|zbl=0082.37701|언어=en}}</ref>와 [[다니얼 칸]]<ref>{{저널 인용|이름=Daniel Marinus|성=Kan|저자링크=다니얼 칸|제목=Functors involving c.s.s. complexes|저널=Transactions of the American Mathematical Society|권=87|호=2|날짜=1958-03|쪽=330–346|doi=10.1090/S0002-9947-1958-0131873-8|mr=0131873|jstor=1993103|zbl=0090.39001|언어=en}}</ref>이 1958년에 독자적으로 발견하였다. (칸은 이 논문에서 [[칸 확대]]의 개념을 같이 도입하였다.) 돌트의 첫 논문은 [[가군]]의 범주에 국한되었으나, 이후 돌트와 [[디터 푸페]]는 곧 이를 임의의 [[아벨 범주]]에 대하여 일반화하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Albrecht |성=Dold|저자링크=알브레히트 돌트|이름2= Dieter |성2=Puppe|저자링크2=디터 푸페|제목=Homologie nicht-additiver Funktoren. Anwendungen|저널= Annales de l’institut Fourier|권= 11 |날짜=1961|쪽=201-312 |doi=10.5802/aif.114|zbl=0098.36005 |mr=150183 |언어=de}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Moore complex}}
* {{nlab|id=Dold-Kan correspondence}}
* {{nlab|id=monoidal Dold-Kan correspondence|title=Monoidal Dold-Kan correspondence}}
* {{nlab|id=simplicial group|title=Simplicial group}}
** {{nlab|id=model structure on simplicial groups|title=Model structure on simplicial groups}}

* {{웹 인용 | url=http://people.fas.harvard.edu/~amathew/doldkan.pdf | 제목=The Dold–Kan correspondence | 이름=Akhil | 성=Mathew | 언어=en | 확인날짜=2017-07-30 | 보존url=https://web.archive.org/web/20160913201635/http://people.fas.harvard.edu/~amathew/doldkan.pdf# | 보존날짜=2016-09-13 | url-status=dead }}
* {{웹 인용 | url=http://www.arponr.com/files/doldkan.pdf | 제목=The Dold–Kan correspondence | 이름=Arpon | 성=Raksit | 날짜=2015-01-17 | 언어=en | 확인날짜=2017-07-30 | 보존url=https://web.archive.org/web/20170921043540/http://www.arponr.com/files/doldkan.pdf# | 보존날짜=2017-09-21 | url-status=dead }}
* {{웹 인용 | url=http://math.columbia.edu/~dejong/wordpress/?p=3453 | 제목=Simplicial modules | 웹사이트=Stacks Project Blog | 날짜=2013-08-01 | 이름=Johan | 성=de Jong | 언어=en | 확인날짜=2017-07-30 | 보존url=https://web.archive.org/web/20171224125028/http://math.columbia.edu/~dejong/wordpress/?p=3453 | 보존날짜=2017-12-24 | url-status=dead }}

[[분류:호몰로지 대수학]]
[[분류:호모토피 이론]]